传统的家政服务中介由于采用手工操作的匹配方式存在匹配效率低和匹配成本高等问题.随着电子商务的发展，电子中介的出现为雇主和家政服务人员提供更多实时有效的信息，在一定程度上减少了因信息不对称而造成的无效匹配^[1].但是，无论传统中介还是电子中介，主要是为雇主和家政服务人员提供供需信息，都不具备快速实现双方优化匹配的功能.因此，如何依据家政服务人员和雇主的供需信息实现最优的双边匹配，从而提高匹配的效率和降低匹配的成本，已经成为当前家政服务业亟需解决的问题.

双边匹配最早起源于Gale和Shapley关于婚姻匹配与大学录取问题的研究，并提出了著名的Gale-Shapley算法^[2].此后，Roth进一步发展了稳定匹配理论^[3].由于在稳定匹配理论和市场机制设计实践方面做出的贡献，Shapley和Roth在2012年荣获诺贝尔经济学奖.近年来随着社会服务业的快速发展，双边匹配研究已经扩展到了许多服务行业，如商品交易、风险投资、无线通讯网络等^{[4, 5, 6, 7]}.Guo研究了物流服务提供商(卖方)和顾客(买方)之间的物流服务交易匹配问题，建立了多属性组合交易匹配模型，优化的目标是实现顾客的满意度最大^[4].蒋忠中等针对电子中介中具有数量折扣的多属性商品交易匹配问题，建立了以买卖双方匹配度最大为目标的优化模型^[1].Korkmaz等提出了一种基于AHP方法和双边匹配的决策支持系统(DSS)，用于辅助军事人员的分配^[5].Jorswieck针对无线通讯网络中的用户和资源匹配问题，采用用户和资源提出的延迟接受算法获得稳定匹配并研究了稳定匹配的相关性质^[6].Chen和Song对信贷市场中企业与银行的双边匹配问题进行了研究，通过对美国信贷市场2003~2005年数据的分析，指出当企业与银行地理位置越近、彼此更愿意分享数据与专业知识，那么匹配的几率就会很大^[7].

虽然双边匹配已经在许多服务行业取得了丰富的研究成果，然而，目前尚未看到关于双边匹配在家政服务行业的研究.基于此，本文对家政服务人员与雇主的双边匹配决策问题进行了研究，重点考虑了家政服务人员和雇主的服务技能、服务时间和多指标评价等3方面信息，通过构建以双边满意度最大为目标的优化模型，来求得最优匹配方案.

本文考虑的是一对多的家政服务人员与雇主的双边匹配问题，即一个家政服务人员可以为多个雇主服务，而一个雇主只雇佣一个家政服务人员.设A={A₁,A₂,…,A_m}为m个家政服务人员组成的集合，其中A_i代表第i个家政服务人员；B={B₁,B₂,…,B_n}为n个雇主组成的集合，其中B_j代表第j个雇主.设H={H¹,H²,…,H^l}为服务技能集合，其中H^k代表第k种服务技能.设h_i=(h_i¹,h_i²,…,h_i^l)为家政服务人员A_i所具备的技能向量，其中h_i^k=0或1，h_i^k=1表示家政服务人员A_i具备第k项技能；否则h_i^k=0.本文考虑家政服务人员具有多项服务技能.设g_j=(g_j¹,g_j²,…,g_j^l)为雇主B_j需要的服务技能向量，g_j^k=0或1，其中g_j^k=0表示雇主B_j不需要第k项服务技能；否则g_j^k=1.本文考虑雇主具有单项服务需求，故向量g_j中只有一个元素等于1，而其他元素都为0.进一步地，考虑家政服务人员每周实际的工作时间和雇主每周需要服务的时间.只有当时间不冲突时，家政服务人员才有机会与多个雇主进行匹配.首先，定义一个工作日集合R={R¹,R²,…,R⁷}，其中Rⁱ代表一周当中第i个工作日.设r_i=(r_i¹,r_i²,…,r_i⁷)为家政服务人员A_i每周实际的工作时间向量，其中，r_i^d=0或1，r_i^d=1表示家政服务人员A_i可以在第d个工作日进行工作；否则r_i^d=0.类似地，设s_j=(s_j¹,s_j²,…,s_j⁷)为雇主B_j每周需要服务的时间向量，其中，s_j^d=0或1，s_j^d=1表示雇主B_j在第d个工作日需要服务；否则s_j^d=0.设E={E₁,E₂,…,E_p}为家政服务人员在选择雇主时，除工作内容之外还考虑的其他指标集合，其中E_k表示家政服务人员考虑的第k个指标.w_i=(w_i1,w_i2,…,w_ip)^T为家政服务人员A_i给出的指标权重向量，其中，w_ik表示A_i给出的关于指标E_k的权重，0≤w_ik≤1，.a_ik=(a_ik¹,a_ik²,…,a_ikⁿ)为家政服务人员A_i在指标E_k下给出的关于所有雇主的严格偏好序向量，a_ik^j∈{1,2,…,f_i}∪{φ}，其中，f_i表示家政服务人员A_i感兴趣的雇主总数，1≤f_i≤n.若A_i对雇主B_j是感兴趣的，则a_ik^j∈{1,2,…,f_i}，其中，a_ik^j表示在第k个指标下，A_i认为雇主B_j在所有感兴趣的雇主中排在第a_ik^j位；若A_i对雇主B_j是不感兴趣的，则a_ik^j=φ.设U={U₁,U₂,…,U_q}为雇主在选择家政服务人员时，除家政服务人员具备的技能外考虑的指标集合，其中U_v代表雇主考虑的第v个指标.o_j=(o_j1,o_j2,…,o_jq)^T为雇主B_j给出的指标权重向量，其中，o_jv表示雇主B_j给出的关于指标U_v的权重，0≤o_jv≤1，.b_jv=(b_jv¹,b_jv²,…,b_jv^m)为雇主B_j在指标U_v下给出的关于所有家政服务人员的严格偏好序向量，b_jvⁱ∈{1,2,…,t_j}∪{φ}，其中，t_j表示雇主B_j感兴趣的家政服务人员总数，1≤t_j≤m.若B_j对家政服务人员A_i是感兴趣的，则b_jvⁱ∈{1,2,…,t_j}，其中，b_jvⁱ表示在第v个指标下，B_j认为A_i在所有感兴趣的家政服务人员中排在第b_jvⁱ位；若B_j对家政服务人员A_i是不感兴趣的，则b_jvⁱ=φ.

本文要解决的问题：依据家政服务人员和雇主给出的多指标评价信息a_ik和b_jv以及权重向量w_i和o_j，在充分考虑家政服务人员所拥有的服务技能h_i和工作时间r_i以及雇主需要的服务内容g_j和服务时间s_j基础上，根据某种决策方法，获得家政服务人员和雇主满意度尽可能高的匹配方案.

在实际的家政服务人员与雇主匹配过程中，需要考虑3个方面的因素：服务技能、服务时间和多指标评价信息.第一，只有当家政服务人员A_i具备的服务技能符合雇主B_j需求的服务技能时，双方才有可能进行匹配.第二，由于一个家政服务人员往往具备多种服务技能，因此，家政服务人员可以为多个不同的雇主提供服务，但前提是家政服务人员的工作时间要满足雇主服务时间的要求，同时家政服务人员为多个雇主服务的时间是不可冲突的.因而，本文构建的家政服务人员与雇主的双边匹配模型中，充分考虑了服务技能和工作时间的约束.第三，需要考虑家政服务人员和雇主的多指标评价信息.A_i对B_j的多指标评价信息的满意度越大，家政服务人员A_i越倾向于与雇主B_j形成匹配对；同样，B_j对A_i的满意度越大，B_j也越倾向于与A_i形成匹配对^[8].因而，本文构建的家政服务人员与雇主的双边匹配模型中，是以家政服务人员满意度最大和雇主满意度最大为目标.

首先，计算家政服务人员A_i对雇主B_j关于指标E_k的满意度α_ijk.

序值a_ik^j越小，表明在指标E_k下，家政服务人员A_i对雇主B_j的满意度越大；相反，序值a_ik^j越大，表明在指标E_k下，家政服务人员A_i对雇主B_j的满意度越小.本文给出家政服务人员A_i对雇主B_j关于指标E_k的满意度α_ijk计算公式为

其中：i=1,2,…,m；j=1,2,…,n;k=1,2,…,p；M为足够大的正数.进一步考虑A_i给出的指标权重，可得家政服务人员A_i对雇主B_j的总体满意度为

类似地，B_j对A_i关于指标U_v的满意度β_ijv为

其中v=1,2,…,q.所以，B_j对A_i的总体满意度β_ij为

设x_ij为0-1型决策变量，x_ij=1表示家政服务人员A_i与雇主B_j形成匹配；否则x_ij=0.则依据家政服务人员对雇主的满意度α_ij和雇主对家政服务人员的满意度β_ij，可构建如下的以家政服务人员满意度最大和雇主满意度最大为目标的双边匹配优化模型：

在模型中，式(5)和式(6)为目标函数，式(5)表示家政服务人员对雇主的满意度最大；式(6)表示雇主对家政服务人员的满意度最大.约束条件(7)表示当某个雇主与家政服务人员匹配时，该雇主需要服务的时间必须得到满足；约束条件(8)表示每一个家政服务人员每天不能为两个或者更多的雇主同时提供服务；约束条件(9)表示家政服务人员所具备的技能必须能够满足雇主的需求；约束条件(10)表示每个雇主最多能够与一个家政服务人员进行匹配；约束条件(11)表示每个家政服务人员最多能够与n个雇主进行匹配.

模型(5)~(12)是一个双目标0-1整数规划模型，本文采用基于隶属函数的加权和方法进行求解，其中，两个隶属函数μ_Z1和μ_Z2分别定义如下^[9]：

其中：Z₁^min和Z₁^max为单独考虑目标函数Z₁的最小值和最大值；Z₂^min和Z₂^max为单独考虑目标函数Z₂的最小值和最大值；0≤μ_Z1,μ_Z2≤1.

依据式(13)和式(14)，将双目标的优化模型(5)~(12)转换为以式(15)为目标函数、以式(7)~式(12)为约束条件的单目标优化模型.

这里，ω₁和ω₂分别表示目标函数Z₁和Z₂的重要性，且0≤ω₁,ω₂≤1，ω₁+ω₂=1，为保证家政服务人员和雇主匹配的公平性，可令ω₁=ω₂=0.5.转换后的优化模型是一个单目标的0-1整数规划模型，当家政服务人员和雇主数量较小时，可采用分支定界算法进行求解；当家政服务人员和雇主数量较大时，可采用优化软件包(如Lingo,Cplex等)或设计智能优化算法(如遗传算法、模拟退火算法等)进行求解.

某家政服务中介机构收到3个家政服务人员{A₁,A₂,A₃}的个人基本信息和5个雇主{B₁,B₂,B₃,B₄,B₅}需要的服务信息.考虑的服务技能集合为H={H¹,H²,H³,H⁴,H⁵}，其中H¹表示“做饭保洁”、H²表示“护工”、H³表示“家教幼教”、H⁴表示“月嫂”、H⁵表示“育儿嫂”.家政服务人员在选择雇主时所考虑的指标集为E={E₁,E₂,E₃,E₄}，其中E₁代表工资、E₂代表食宿、E₃代表工作环境、E₄代表服务内容；雇主在选择家政服务人员时所考虑的指标集为U={U₁,U₂,U₃}，其中U₁代表年龄、U₂代表工作经验、U₃代表受教育程度.家政服务人员和雇主给出的相关信息如表 1~表 6所示，并根据式(1)~式(4)计算得到家政服务人员和雇主的满意度如表 7和表 8所示.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 家政服务人员具备的技能和工作时间 Table 1 Skills and working time of domestic service staffs 服务 人员 A1 A2 A3 hi (1,1,1,1,0) (0,1,1,1,1) (1,0,1,1,0) ri (1,1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1,1)

表 1 家政服务人员具备的技能和工作时间 Table 1 Skills and working time of domestic service staffs

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 雇主所需服务和服务时间 Table 2 Service type and time required by employers 雇主 gi sj B1 (1,0,0,0,0) (1,1,1,1,0,0,0) B2 (0,1,0,0,0) (1,0,1,0,1,0,1) B3 (1,0,0,0,0) (0,0,0,0,0,1,1) B4 (0,0,1,0,0) (0,0,1,1,1,1,1) B5 (1,0,0,0,0) (0,0,0,1,1,1,1)

表 2 雇主所需服务和服务时间 Table 2 Service type and time required by employers

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 家政服务人员给出的偏好信息 Table 3 Preferences given by domestic service staffs 服务人员 指标 B1 B2 B3 B4 B5 A1 E1 3 7 5 φ 2 E2 2 4 8 φ 6 E3 4 6 2 φ 8 E4 6 3 4 φ 7 A2 E1 3 7 φ 4 2 E2 5 1 φ 3 7 E3 1 5 φ 7 3 E4 3 4 φ 2 5 A3 E1 φ 7 1 4 φ E2 φ 3 4 5 φ E3 φ 1 3 2 φ E4 φ 6 7 8 φ

表 3 家政服务人员给出的偏好信息 Table 3 Preferences given by domestic service staffs

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 家政服务人员给出的指标权重 Table 4 Criteria weight given by domestic service staffs 服务人员 E1 E2 E3 E4 A1 0.2 0.4 0.3 0.1 A2 0.3 0.3 0.2 0.2 A3 0.1 0.5 0.3 0.1

表 4 家政服务人员给出的指标权重 Table 4 Criteria weight given by domestic service staffs

表 5

Table 5

表 5(Table 5)

表 5 雇主给出的偏好信息 Table 5 Preferences given by employers 雇主 指标 A1 A2 A3 B1 U1 5 3 1 U2 4 2 1 U3 2 6 1 B2 U1 2 φ 3 U2 4 φ 1 U3 5 φ 2 B3 U1 4 2 6 U2 5 6 3 U3 1 2 3 B4 U1 1 2 3 U2 6 3 1 U3 3 1 6 B5 U1 5 4 φ U2 1 2 φ U3 4 5 φ

表 5 雇主给出的偏好信息 Table 5 Preferences given by employers

表 6

Table 6

表 6(Table 6)

表 6 雇主给出的指标权重 Table 6 Criteria weight given by employers 雇主 B1 B2 B3 B4 B5 U1 0.5 0.4 0.2 0.3 0.5 U2 0.2 0.4 0.6 0.3 0.2 U3 0.3 0.2 0.2 0.4 0.3

表 6 雇主给出的指标权重 Table 6 Criteria weight given by employers

表 7

Table 7

表 7(Table 7)

表 7 家政服务人员对雇主的满意度 Table 7 Domestic service staffs’ satisfaction on employers 雇主 B1 B2 B3 B4 B5 A1 0.77 0.61 0.62 －M 0.56 A2 0.75 0.67 －M 0.68 0.65 A3 －M 0.79 0.72 0.68 －M

表 7 家政服务人员对雇主的满意度 Table 7 Domestic service staffs’ satisfaction on employers

表 8

Table 8

表 8(Table 8)

表 8 雇主对家政服务人员的满意度 Table 8 Employers’ satisfaction on domestic service staffs 雇主 A1 A2 A3 B1 0.63 0.66 1.00 B2 0.64 －M 0.83 B3 0.63 0.60 0.66 B4 0.72 0.87 0.69 B5 0.59 0.57 －M

表 8 雇主对家政服务人员的满意度 Table 8 Employers’ satisfaction on domestic service staffs

根据家政服务人员和雇主的满意度，可构建多目标优化模型(5)~(12)，并将其转换为单目标模型后采用优化软件LINGO 11.0进行求解，得到的匹配结果为A₁↔B₁，A₁↔B₃，A₂↔B₅，A₃↔B₄.

1) 本文针对家政服务人员与雇主的双边匹配决策问题，提出了相应的决策分析方法.在该方法中，考虑了家政服务人员和雇主的服务技能、服务时间和多指标评价等3方面的信息.为了确定家政服务人员和雇主都尽可能满意的双边匹配方案，构建了双方满意度最大为目标的匹配优化模型.

2) 与以往的方法相比，本文采用双边匹配机制对家政服务人员和雇主进行匹配，不仅能够获得匹配双方都满意的匹配结果，而且还能提高匹配的效率，降低家政服务人员寻找工作和雇主寻求家政服务的成本.

3) 本文所提出的方法不仅可以解决家政服务人员与雇主的双边匹配决策问题，还可扩展解决其他双边匹配决策问题，如教育辅导机构中学生与辅导教师的匹配、具有多技能的技术人员与工作匹配等.