全要素生产率(total factor productivity，TFP)作为衡量 (加总后)单位投入所带来的总产量的指标，具有促进经济实现长期增长的效应，是经济增长的核心.

TFP的重要性使其成为经济增长研究领域的重要问题.国内外研究者们为更准确地估算TFP展开了大量的研究.现有的TFP估算方法研究主要有增长核算法、随机前沿分析以及数据包络分析(data envelopment analysis,DEA).其中，DEA由于具有不需要对生产函数形式以及误差项分布做先验假设等优势，在近年来的研究中受到广泛关注，尤其是以其为基础的Malmquist生产率指数(下称M指数)^{[1, 2, 3]}.

然而，学术界对M指数仍存在许多争议.首先，M指数对技术的要求过于苛刻，它要求技术是逆位似的且规模报酬不变，否则其对生产率变化的测度存在系统偏差^[4].其次，M指数不具有乘法完备性，因而不能彻底地分解为技术进步及多项效率变动之积^[5].最后，M指数不满足跨期比较时尤为重要的传递性^[6]，即若t到t+1期及t+1到t+2期的M指数分别为MTFP(t,t+1)及MTFP(t+1,t+2)，则MTFP(t,t+2)≠MTFP(t,t+1)×MTFP(t+1,t+2)，因而不相邻两期的生产率之间不可比.为了克服M指数的不足，本文引入一个新的基于DEA的TFP指数：Färe-Primont生产率指数(下称FP指数)，以对全要素生产率指数进行更加合理有效的诊断分析.

众所周知，当决策单元(decision making unit,DMU)用一种投入要素生产一种产品时，可以简单地用产出与投入之比来定义该DMU的生产率.而当DMU使用多种投入生产多种产品时，生产率的定义则要复杂一些.这时，通常用加总产出(aggregate output)与加总投入(aggregate input)之比来表示生产率，并称之为全要素生产率.顾名思义，TFP将生产过程所使用的多种要素均考虑在计算过程中.本文将基于这种TFP定义来展开，且为了行文简洁，在研究TFP变动(即TFP指数)的过程中，仅对同一DMU不同时期的TFP进行对比分析.

假设以N个DMU共T期的数据为研究对象，其中每个评价单元以K种投入，生产出J种产品.本文分别用向量x_t=(x_t1,…,x_tK)和 q_t=(q_t1,q_t2,…,q_tJ)表示第i个评价单元(DMU_i)第t期的投入产出向量.那么，根据前文中TFP的定义，可以得到DMU_i第t期TFP的表达式：

其中:Q_t≡Q(q_t)是产出加总函数;X_t≡X(x_t)是投入加总函数，且Q(·)和X(·)均为非负、非递减且线性齐次的函数.

事实上，通过选择不同形式的加总函数Q(·)与X(·)，可以得到多个具有乘法完备性的TFP指数.常见的Laspeyres，Pasche，Fisher以及Trönqvist等指数均具乘法完备性，但使用最为广泛的M指数却因不能表示成式(2)的形式而遗憾地不在其列.需要指出的是，尽管Laspeyres等指数也具乘法完备性，但其计算过程需要获得投入要素及产品的价格信息，而有些价格信息往往较难获得，甚至不存在(如污染物的价格).因此，本文选择仅获得投入产出数量信息就可以进行相关分析的FP指数来进行研究.

为构造FP指数，本文选择如下加总函数：

其中：t₀表示事先确定的参考期为t₀期；x₀和q₀为t₀期DMU_i的投入产出向量，且均为有限非零向量； Q代表J×N的t₀期观测产出矩阵；X为K×N的t₀期观测投入矩阵；ι是N×1的单位向量；θ则为N×1的决策向量，且θ=(θ₁,…,θ_N)≥0 表示∃n∈(1,…,N)使θ_n>0.由上述加总函数就可以得到FP指数^[10]：

按照前述定义，FP指数显然具有乘法完备性.因此，可以将FP指数彻底地分解为技术进步及多项效率变动的乘积，且分解过程中不需要对技术、企业行为及市场结构进行任何假设.同时，还容易验证FP指数具有传递性，这就为评价单元任意两期生产率的比较提供了极大的方便.

为了实现对FP指数的分解，本文首先需要在加总投入产出框架下，给出下列相关的效率概念(由于篇幅受限，下文将只讨论面向投入的情形，面向产出的结论可以通过类似过程得出).

本文首先考虑一种简单的情形，即某一企业A以x_t=(x_1t,x_2t)为投入进行生产，获得产出q_t=(q_1t,q_2t).为方便起见，假定投入及产出加总函数分别为X(x_t)=β₁x_1t+β₂x_2t和Q(q_t)=α₁q_1t+α₂q_2t.首先，本文在投入空间中绘出A所在位置(见图 1).

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图1 双投入企业的面向投入技术效率示意图 Fig. 1 Input-oriented technical efficiency for a two-input firm

图 1中过A点的虚线为等投入线，线上每一点均与A有相等的加总投入X_t.过B点曲线上的任意一点代表产出与A同为q_t的投入组合.在产出 q_t固定且投入混合比例保持不变(即x_1t与x_2t的数量之比不变)的约束下，企业A可以通过投影到B点来实现将加总投入从原先的X_t最小化到B点的加总投入.而此时，线段OB与OA的长度之比，就是文献^[11]中定义的面向投入的技术效率(input-oriented technical efficiency,ITE)，即.

当投入产出向量的维度扩大时，图 1所示的投入空间不再适用，此时可以选择在加总投入产出空间来对问题进行描述，如图 2所示.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图2 多投入多产出企业的效率示意图 Fig. 2 Efficiencies for a multi-input multi-output firm

图 2中A点所代表企业的投入和产出向量分别为x_t=(x_t1,…,x_tK)和q_t=(q_t1,q_t2,…,q_tJ)，且加总投入及产出为X_t和Q_t.过点B，C的曲线代表混合比例约束生产前沿(mix-restricted production frontier)，其与横轴所包围的部分称为混合比例约束生产可能集(mix-restricted production possibilities set).由于该定义完全是在数量框架下讨论投入要素间以及产出间的数量搭配，未考虑投入产出的价格因素，故称为“混合比例约束生产可能集”而非“配置比例约束生产可能集”.该生产可能集仅包含那些投入和产出向量分别可以写成x_t倍数和q_t倍数的企业，即对于任一企业H( x_t^H,q_t^H)，如果x_t^H=ωx_t(ω≥0)且q_t^H=υq_t(υ≥0) ，则企业H位于混合约束生产可能集内.因此，图 2中的混合比例约束生产可能集及其前沿，仅对企业A以及与A具有相同投入混合比例和产出混合比例的企业有意义，而任何投入或产出混合比例与A不同的企业需要参考另一个混合比例约束前沿来进行相关分析.

由于混合比例约束生产前沿保持投入及产出混合比例均固定不变，因此可以将其与传统的单投入单产出生产前沿同等对待.故图 2中A点面向投入的技术效率为

显然，面向投入的技术效率可以通过观测点A与参考点B的TFP之比，或相应射线斜率之比来进行估算，即

通过对技术效率的分析可以获知，技术效率的改善意味着TFP有所增长.但图 2同时表明，尽管通过改善技术效率本文将企业从A点移动到B点，但仍未使其实现TFP最大化.企业A可以通过在混合比例约束生产可能集中，向图 2中的D点移动来实现自身TFP的最大化.本文将D这样的点称为混合比例不变下的最佳规模点. B和D点位于同一混合比例约束生产前沿上，因此均为技术有效且投入及产出混合比例均相同，故二者之间TFP差距的根源在于彼此投入产出规模的不同，或者说是投入产出的规模效应导致了TFP的差距.因此，将B点与D点的TFP之比称为面向投入的规模效率(input-oriented scale efficiency,ISE)，即

式 中和分别表示D点的加总产出与加总投入，且，其中，

到目前为止本文的讨论都是在混合比例约束生产可能集中进行的，考察的是投入及产出混合比例不变情况下的纯粹的技术效率和规模效率.下面，将通过放松混合比例约束继续展开讨论，以研究投入及产出混合比例的变化对生产率的影响.

毫无疑问，放松混合比例约束之后将使得生产可能集向外扩张成无混合比例约束生产可能集，而其边界可以称为无混合比例约束生产前沿.显然，混合比例约束生产前沿被无混合比例约束生产前沿包围着(如图 2所示)，其中过E点的曲线T_t即为无混合比例约束生产前沿.

从图 2中可以看出，通过技术效率及规模效率的改善，企业A在混合比例约束生产可能集中实现了TFP最大化(移动到了D点).一旦混合比例约束被放松，企业A的TFP还可以继续提升，一直移动到无混合比例约束生产前沿上的TFP最大点E.图 2中D点是混合比例约束前沿上的最优点，而E点是无混合比例约束前沿上的最优点.从根本上来说，促使企业A从D点向E点变动的显然是投入及产出混合比例发生的变化，因而本文将D点与E点TFP之比称为剩余混合效率：

Q_t^*=Q(q_t^*)和X_t^*=X(x_t^*) 分别为点E的加总产出及加总投入，而其产出投入向量的q_t^*和x_t^*满足 .

同时，本文将E点的TFP记为

TFP_t^*=Q_t^*/X_t^*.

将评价单元实际的TFP与使用现有技术所能获得的最大TFP之比定义为TFP效率(TFPE).由前文可知，对于企业A而言，所能获得的最大TFP就是E点的全要素生产率TFP_t^*，因此，可以给出如下TFPE的计算公式：

由此，可以对TFPE作如下分解：

故由式(7)

进一步地，可以将FP指数写成如下形式：

式(9)等式右侧的第一项为t期和s期技术条件下，TFP的两个最大可能值之比，因此可以视为两期的技术变化，即技术进步^[11]；第二项为t期和s期的面向产出的技术效率之比，即面向产出的技术效率变化；第三项为两期的面向产出的规模效率之比，即面向产出的规模效率变化；最后一项是两期剩余混合效率之比，即混合效率变化.

2 实证分析

本文以2001~2010年我国29个省市GDP为产出，资本存量和劳动力人数为投入(将重庆并入四川省，并剔除了西藏自治区)，利用前面的理论结果对我国全要素生产率变动情况进行分析(见表 1).数据的选取过程可参见文献^[12].

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 2001~2010年我国TFP指数及其分解结果(TFP2001=1) Table 1 TFP and its components of 2001~2010 in China(TFP2001=1) 年份 TFP指数 技术进步 技术效率变化 规模效率变化 混合效率变化 2001 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 2002 1.0343 1.0638 0.9798 1.0026 0.9896 2003 1.0698 1.1434 0.9626 1.0057 0.9665 2004 1.1085 1.2174 0.9468 1.0028 0.9589 2005 1.1246 1.2174 0.9424 1.0021 0.9782 2006 1.1414 1.2174 0.9456 1.0032 0.9883 2007 1.1615 1.2174 0.9504 1.0143 0.9898 2008 1.1605 1.2174 0.9496 1.0144 0.9895 2009 1.1501 1.2174 0.9294 1.0066 1.0098 2010 1.1415 1.2174 0.9242 1.0066 1.0078   注：表中各年的结果为当年29个省市结果的几何均值.

表1 2001~2010年我国TFP指数及其分解结果(TFP2001=1) Table 1 TFP and its components of 2001~2010 in China(TFP2001=1)

利用DPIN3.0软件对式(9)的分解结果进行估算，计算结果见表 1.在具体估算过程中，本文假设技术不发生倒退且技术在地区间是可获得的.从表 1中的计算结果可以看出，2001~2010年间，我国的TFP年均增长率为1.48 % (从1.0000增长到1.1415).这一结果在已有相关研究中，尤其是在利用M指数进行的研究中处于中等水平，在一定程度上说明了FP指数的稳定性.从整体上来看，TFP指数呈现先上升后下降的情况，2001~2004年间的增长速度最快，随后增速有所下降但仍保持增长态势.2007年，我国的TFP指数达到最大值后，转而开始出现缓慢下降的现象. 从各分解项的情况来看，只有2001~2004年间出现技术进步，此后的若干年技术均未发生变化.与其余三个分解项技术相比，技术进步是TFP指数增长的主要驱动力，这一结果与文献^{[13, 14]}的研究结果一致；技术效率在期初和期末均出现下滑，且在整个考察期内始终小于1.也就是说，2001~2010年间技术效率是阻碍我国TFP指数增长的主要因素；规模效率变化始终略大于1，变化较小，且对TFP变化的影响也不大；混合效率变化的结果是以往TFP研究中没有的，它反映了投入及产出混合比例的优化过程.考察期内，我国的混合效率均值经历了先下降后上升的过程，对TFP指数的作用也从期初的阻碍作用变为 期末的促进作用.这说明从数量框架下来看，我国在资源混合比例优化上取得了一定的成绩.

1) 这十年间，我国的TFP整体上缓慢上升，但从2007年开始呈现出缓慢下降趋势.

2) 技术进步对TFP增长的贡献最大，而技术效率则起到了阻碍作用.这说明以往只重视技术进步而忽略了生产效率.因此，不能只片面地引进先进技术，而更应该加强技术的消化吸收，辅以资源的合理配置，才能避免造成资源的浪费.