摩擦是无处不在的自然现象，且往往与振动相互联系，工程和日常生活中由摩擦引起的自激振动现象是非常普遍的，精密机床(例如，磨床，坐标镗床，数控机床)的工作台、溜板等移动部件的低速进给运动可能导致工作台的摩擦自激振动，即爬行，而高速切削运动又能导致刀具和工件的摩擦自激振动，即切削颤振，摩擦自激振动破坏了机床的准确性和连续性，使响应出现削顶、死区和突变等现象，降低跟踪精度，严重影响工件表面加工精度、表面粗糙度和定位度，甚至产生废品和事故^[1].

为了加强控制系统的精度，减轻甚至消除摩擦造成的危害，近几十年来国内外越来越多的学者开始对摩擦自激振动展开了研究^{[2, 3, 4]}，Elmer^[5]研究了没有阻尼和不同摩擦模型时质量块-带的黏滑和纯滑动振动，提供了黏滑和纯滑动振动之间转换的表达式.Thomse^[6]建立了一个典型的摩擦模型，然后给出了一个非线性摩擦模型的黏滑振动不同运动形式的幅值、频率的近似表达式，接着用摄动分析方法给出了滑动阶段和黏滑阶段的时间间隔，最后得出只要动静滑动摩擦系数相差不大，就能避免黏滑运动.Madeleine^[7]研究了一个两自由度的质量-阻尼-弹簧系统在受到间歇加载时的摩擦激振现象.黄毅等^[8]建立了双质体-传送带模型，通过数值仿真方法分析了系统内共振对干摩擦自激振动的影响.

本文通过建立含有Stribeck模型的典型质体-弹簧-传送带摩擦自激振动模型，并由李雅普诺夫判据对系统平衡点进行分析，确立了系统临界失稳速度，并通过理论计算出临界黏滑速度，然后通过数值仿真的方法分析各参数对系统稳定性的影响，最后总结出提高系统稳定性的措施.本文对摩擦自激振动系统的研究，对促进摩擦振动耦合动力学的发展、研究和解决由摩擦而产生的动力学问题具有重要的价值.

质体-弹簧-传送带的系统模型常用于分析机械进给系统的黏滑运动，质量块m以常速v运行在传送带上，固定端与刚度为k的弹簧和阻尼系数为c的阻尼器连接，质量块和带之间的摩擦力F为质量块提供驱动力.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 质体-弹簧-传送带自激振动系统模型 Fig. 1 Model of the friction self-excited vibration system of plastid-spring-conveyor belt

本文采用的是摩擦系数与运动速度的Stribeck曲线模型，用来描述一般机械部件运动结合面之间的摩擦行为^[9]，该摩擦模型的表达式为

建立Stribeck摩擦自激振动系统的动力学方程为

引入下列无量纲变量：，τ=ω₀t，X=xk/N，2β=cω/k，将F=μN代入式(2)，并将式中的量进行无量纲化后可简化为

式(3)即为该摩擦自激振动系统的无量纲动力学模型.

为了便于进行稳定性分析，由常微分方程理论可知，正规型高阶微分方程可以化为等价的一阶微分方程组，可将式(3)写为一阶微分方程组如式(4)所示：

当系统中输入速度很大时，质量块在摩擦力和弹簧力的作用下处于静平衡状态^[10]，并且平衡时满足.摩擦系数表达式中的符号函数sgn(v_r)=－1，系统参数分别取如下值：μ_s=0.4，μ_m=0.25，v_m=0.5m/s，通过李雅普诺夫稳定性理论对系统平衡点稳定性进行分析.

由方程(4)取求得系统的平衡点：

将式(4)的右边展开成泰勒级数，略去二次以上的项，得到系统的一次近似方程，求出一次近似微分方程在X₁=0，X₂=0处，相对变量X₁,X₂的雅可比矩阵如下：

取系统无量纲参数β=0.01,代入式(6)，得到矩阵A对应的特征方程为

式(7)可化为典型的特征方程：

根据Hurwits定律可知，系统临界失稳速度可以通过p=0求解出来：p=0.44－1.8v²₀=0，得到系统的临界失稳速度为：v₀=v_b1=0.4944m/s.

进给系统中临界黏滑速度^[11]的计算公式为

本文中μ_s=0.4，μ_m=0.25，c₁+c₂=2β=0.02，k=1，m=0.05，将参数代入式(9)，得到该系统的临界黏滑速度为0.4372，当进给速度低于0.4372时，质量块黏滞在带上，此时它进行的是黏滑振动；当进给速度在0.4372～0.4944m/s之间时，质量块的最小相对速度不为零，此时它进行的是纯滑动振动.因此，系统进行的运动也是两种振动形式：一种是纯滑动振动，它存在的进给速度区间很小；另一种是黏滑运动，在一个周期内既存在滑动又存在黏滞阶段.

仿真系统初始参数设定为：β=0.01，μ_s=0.4，μ_m=0.25；初始条件设置为：X=0，=0，将进给速度参数分别设定为0.76，0.54，0.48，0.44，0.36m/s，对系统进行仿真，捕捉特征相图如图 2所示，其对应的Poincare截面图如图 3所示，其中，v_b1=0.4944m/s，v_b0=0.4372m/s.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 不同进给速度下的相图 Fig. 2 The phase diagram of different feed speed (a)—v0=0.76 m/s >vb1； (b)—v0=0.54 m/s >vb1; (c)—v0=0.48 m/s∈[vb0, vb1]； (d)—v0=0.44 m/s∈[vb0, vb1]; (e)—v0=0.36 m/s < vb0.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 不同进给速度下对应的Poincare截面图 Fig. 3 The corresponding Poincare sectional view of different feed speed (a)—v0=0.48 m/s∈[vb0, vb1]； (b)—v0=0.44 m/s∈[vb0, vb1]; (c)—v0=0.43 m/s∈[vb0,vb1]； (d)—v0=0.36 m/s∈[vb0, vb1]; (e)—v0=0.1 m/s < vb0.

由图 2和图 3可以看出，随着带速的不同，系统响应的数值仿真结果也不同.以两个临界速度v_b0=0.4372 m/s和v_b1=0.4944 m/s为界分析系统的运动状态,可将系统运动分为以下3个阶段：当带速v₀>v_b1=0.4944时，系统将稳定在平衡点X，且进给速度越大，系统的稳定性越好；当带速v₀< v_b1时，系统的平衡点发生失稳，开始产生自激振动，该过程可以分成两个阶段，开始阶段即v_b0< v₀< v_b1时，摩擦自激振动为纯滑动形式，其相图为不存在黏滞阶段的极限环，这时质量块和带之间的最小相对速度始终不为零；后一阶段即v₀< v_b0=0.4372m/s时，自激振动为黏滑运动形式，极限环中出现比较明显的黏滞阶段.从系统Poincare截面图可以看出，当速度比较低时，系统进行的是准周期运动，即表明纯滑动和黏滑运动都属于准周期运动.

系统初始参数设定为：μ_s=0.4，μ_m=0.25，v_m=0.5m/s；初始条件设置为：X=0，=0；取β=0.02,0.06,0.6对整个系统进行仿真，来观察阻尼系数对系统的影响.捕捉特征相图如图 4所示.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 不同阻尼系数下的相图 Fig. 4 The phase diagram of different damping coefficients (a)—β=0.02； (b)—β=0.06; (c)—β=0.6.

从图 4可以看出，随着系统阻尼的增大，系统的运动黏滞阶段所占的比例越来越小；当增大到一定程度的时候，黏滞阶段消失，系统开始进行稳定的纯滑动运动；当阻尼再次增大到一个临界值时，系统开始稳定在平衡点，所以，在一定程度上增大系统的阻尼可以抑制自激振动的发生，从而提高系统运动的稳定性.

系统初始参数设定为：β=0.01，μ_s=0.4，μ_m=0.25m/s，v_m=0.5m/s，取k=1,4,8,20,40，对整个系统进行仿真，来观察刚度对系统的影响，捕捉特征相图如图 5所示，其对应的Poincare截面图如图 6所示.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 不同刚度下的相图 Fig. 5 The phase diagram of different stiffness (a)—k=1； (b)—k=4; (c)—k=8； (d)—k=20; (e)—k=40.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 不同刚度下的Poincare截面图 Fig. 6 The Poincare sectional view of different stiffness (a)—k=1； (b)—k=4; (c)—k=8； (d)—k=20; (e)—k=40.

从图 5和图 6可以看出，随着刚度的增大，系统的黏滞阶段所占的比例越来越小，当刚度增加到一定程度的时候，黏滞阶段消失，系统开始进行稳定的纯滑行运动，并且纯滑动阶段对应的极限环也随着刚度的增大逐渐减小.所以在一定程度上提高系统的刚度可以缩短黏滞阶段的运动，从而提高系统运动的稳定性.

系统初始参数设定为：β=0.01，v_m=0.5m/s，k=1，动、静摩擦差值分别取值为0.01,0.02,0.05,0.1,0.2，对系统进行仿真，观察动、静摩擦差值对系统的影响，捕捉特征相图如图 7所示.

随着动、静摩擦差值越来越小，轨迹也逐渐呈螺旋状向中间一点聚集，表明系统逐渐从不稳定状态向稳定状态变化.从相图可以发现，差值越大，则响应的振动幅值也越大，并在v₀=v_b0时达到了最大值；并且差值越小，黏滞阶段所占的总极限环比例也逐渐减小，在达到一定程度的时候，黏滑振动会消失，转化为稳定的纯滑动运动.

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 不同动、静摩擦差值下的相图 Fig. 7 The phase diagram of different dynamic and static friction coefficient (a)—μs=0.4, μm=0.2； (b)—μs=0.4, μm=0.3; (c)—μs=0.4, μm=0.35； (d)—μs=0.4, μm=0.38; (e)—μs=0.4, μm=0.39.

1) 本文建立了基于Stribeck摩擦模型的质体-弹簧-传送带的自激振动动力学模型，通过李雅普诺夫稳定性判据对系统平衡点做稳定性分析，获得系统临界失稳速度为0.4944m/s，通过理论公式获得系统临界黏滑速度为0.4372m/s.

2) 从仿真结果可以看出，低速状态下的自激振动可分为两个阶段：当v₀< 0.4372 m/s时，自激振动形式为黏滑运动形式；当0.4372m/s < v₀<0.4944m/s时，自激振动为纯滑动形式，这两种运动均为准周期运动.

3) 随着进给速度、阻尼和刚度的增大、动、静摩擦差值的减小，系统的黏滞阶段所占的比例减小；当达到一定程度的时候，黏滞阶段消失，系统开始进行稳定的纯滑动运动.

4) 通过比较各参数对系统稳定性的影响知，进给速度影响系统的运动状态是影响系统稳定性的主要因素.