起重机在提升过程中由于启动和制动承受着较强烈的冲击载荷^[1]，且该系统的特点是变参数系统,是往复和旋转运动的混合，变参数体现在同一个工作幅度下弹性件的刚度随重物的提升高度增加，其刚度增大，该参量在启动过程中因加载时间短变化较缓慢，针对该种情况采用具有定值参数的模型^{[2, 3]}，即以最大额定工作载荷，起吊重物离地的临界状态为计算条件，以获得近似合理值.

特别是在加载过程中，为保证整机平稳的工作性能，从动力学研究入手^{[4, 5, 6]}，确定合理的加载时间以控制动载荷.

1) 建立振动模型的假设条件.①将臂架结构件视为质量为m₁，长度为l的均质刚体，则绕支撑点的转动惯量J=m₁l²/3；②工作载荷已含弹性件(提升钢绳)的部分质量；③为了突出弹性件的动载荷特性，系统阻尼不予考虑；④ 干扰力为斜坡脉冲载荷^[7].

2) 斜坡脉冲载荷的特性.斜坡脉冲载荷引起的动载荷与加载的缓急程度有关^{[8, 9, 10]}.实际的加载规律是多种多样的，它依控制系统与操作系统而定，但大体上与图 1所示加载规律相近，它由3段组成；第1段和第3段是线性增长，即在0≤t≤t₁段，为加速，F=Q·t/t₁；在t₂≤t≤t₃时段为减速，F=Q[1－t/(t₃－t₂)]；第2段，即当t₁≤t≤t₂时，F=Q.显然最大动载荷发生在第2段，重点在研究第1段动态响应的基础上，拟研究此段弹性构件的受力变化.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 斜坡脉冲载荷 Fig. 1 The slope pulse load

3) 广义自由度的确定.将弹性支撑力和工作载荷简化到臂架的顶点A.OA为臂架中心线，取重物m₂离地的临界状态为平衡位置，即臂架在斜坡载荷作用下，臂架绕其支撑点左右摆动，形成摆动角θ及重物m₂在y方向的上下摆动，故将该系统简化为二自由度振动模型.如图 2所示.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 臂架系统的振动模型 Fig. 2 The vibration model of the boom

臂架在振动时，由初始位置A0运动到A₁，转过的弧长为lθ，并认为其弧长等于弦长，即弦长A₀A₁≈lθ，如图 3所示；支撑绳l0由初始位置A0点运动到A₁点，长度为O₁A₁，其支撑绳的伸长量Δl= O₁A₁－O₁A₀=l₁－l₀，OB线是θ角的角分线，Δl的计算方法如下：

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 相关量的计算简图 Fig. 3 The diagram of correlated amount

根据余弦定理并整理有

实际上，l₀与l是同量级，一般n=l/l0=1~1.5，令l≈l₀，则

实际的振动角很小，所以：

满足 泰勒级数展开公式中的条件，即 －1≤x≤1；并取其前两项，有

因θ很小，θ²→0，略去高阶无穷小，有

1)系统动能:

2)系统势能:

广义力.

代入拉氏方程得系统动力学方程：

3)二自由度的位移方程:

初始条件： t=0；y=θ=0；=0.

将位移方程的相应形式代入式(2),整理得：

显然满足此式的条件有：

令

H_i=(h_i/K₂)·(Q/t₁) .

式(4)、式(5)是固有频率算式，可计算p_i，i=1,2.

根据初始条件，求得位移方程y中的系数B：

4) 由振幅比值求振幅A:

有A_i=λ_iB_i，i=1,2 .

5) 位移及速度方程:

第2阶段的初始运动情况即是第1阶段的终了情况，即

① t=t₁时的速度为

② 运动方程为

该系统为两个自由度的线性系统，在t >t₁时，设运动由两部分组成，即

1)求y₁.

第2阶段开始时应符合第1阶段的终了情况，即

2)求y₂.

当t=t₁时：

故

3)计算总位移y=y₁+y₂. T=2π/p, p=2π/T .

由该式可知，弹性件力由两部分组成：一部分是刚性系统所受的基本载荷Q；第二部分是周期变化的振动力，其振幅完全决定于第二阶段的初始状况.如t₁为T₁的整倍数，振动消失，振幅为Q/K₂，弹性件力恰好是Q，而吊重物的速度也恰好为零，因而保持了稳定的平衡状况.

4)计算位移y的加速度a.

若t=t₁，p=2π/T，由式(17)求得a.

5)角位移θ.

1)提升钢绳的振动载荷及动载荷系数:

讨论：

①根据极限定理

k_Tzmax ≈2(h₁ + h₂).

②根据极限定理

k_Tzmin =(h₁ + h₂).

说明加载时间越长，动载荷系数越小.

令N_t=t₁/T₁，则加载时间t₁应满足:

加载时间即设备启动时间，一般t₁=(3~5)s，由式(22)可得系统的提升绳刚度K_x，应满足：

2)惯性载荷及动载荷系数:

系统特性：臂架质量m₁=231×10³kg，臂架长度l=54m；吊重质量m₂=3.5×10⁶kg,

β=69°，α=85°，吊重的重力Q=3.5×10⁷N,

J=m₁ l²3=2.24532×10⁸kg·m²

K₁=1.33536×10⁸N/m,

K₂=2.405078261×10⁸N/m.

将有关数据代入相关方程得结果，见表 1.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 计算结果 Table 1 The calculation results pi,λi,hi 振幅Ai=Bi λi 振幅Bi=bi·Q/t1 ， bi=－hi/(K2pi) p1=8.22 λ1= －0.00343 h1=1.0163 A1=1.763×10－12 ×Q/t1 rad A2=－2.69×10－11 ×Q/t1 rad B1=－5.14 Q/t1×10－10 m B2=－5.92 Q/t1×10－12 m Q=3.5 ×107N，t1=5s p2=39.2 λ2=4.54 h2=0.056 T2=0.21 T1 A1=7.32×10－4(°) A2=－1.3×10－4(°) B1=－3.598mm B2=－4.15×10－2mm 若Q=3.5 ×107N，t1=3s A1=1.22×10－4(°) B1=－6mm A2=－2.2×10－4(°) B2=－6.9×10－2mm

表 1 计算结果 Table 1 The calculation results

将相关数据代入式(21)，得表 2、图 4所示.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 动载荷系数与加载时间的关系 Table 2 The relationship between dynamic load coefficient and the loading time 序号 t1/T1 kTz 加载时间/s 1 0 kTz max=2.145 t1→0 2 ∞ kTz min=1.072 t1→∞ 3 1.50 0.853 1.14 4 2.50 1.202 1.91 5 5.50 1.013 4.20 6 6.55 1.122 5.00 7 7.50 1.030 5.73

表 2 动载荷系数与加载时间的关系 Table 2 The relationship between dynamic load coefficient and the loading time

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 动载荷系数与t1/T1关系 Fig. 4 The relationship between dynamic load coefficient and t1/T1

以加载时间t₁与振动周期T₁的比值为变量，随着加载时间的增大，振动呈衰减状态.为保证起重机工作平稳，使动载荷系数k_Tz=(0.98~1.03)，由式(25)可计算提升绳应具备的刚度K_x及其与加载时间t₁的关系.

由表 3可知，当 k_Tz=(0.98~1.03)，应使加载时间t₁=(3~6)s，提升绳应具有的刚度K_x=(2.2~2.4)×10⁸ (N/m)为宜；根据提升系统已给定的提升绳刚度K₂=2.4×10⁸ (N/m)，取加载时间t₁=5s，即可保证动载荷系数k_Tz=1.03.

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 刚度Kx与加载时间t1的关系 Table 3 The relationship between stiffness Kx and loading time t1 序号 Nt =t1/T1 加载时间t1/s Kx×108/(N·m-1) 1 3.50 2.70≈3 1.90~0.686 2 6.55 5 6.67~2.400 3 7.50 5.73≈6 8.75~3.150

表 3 刚度Kx与加载时间t1的关系 Table 3 The relationship between stiffness Kx and loading time t1

加速度a与加载时间t₁的关系如表 4所示.

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 加速度a与加载时间t1的关系 Table 4 The relationship between acceleration a and the loading time t1 序号 t1/T1 a/(mm·s-2) 加载时间t1/s 1 1.50 0.26 1.14 2 2.50 －0.15 1.91 3 5.50 0.31 4.20 4 6.55 0.20 5 5 7.50 －0.32 5.73

表 4 加速度a与加载时间t1的关系 Table 4 The relationship between acceleration a and the loading time t1

由式(18)可知惯性动载荷系数kd=PD/Q=a/g=0.3/10=0.03.

总动载荷系数kz=1.03+0.03=1.06.

由式(19)可知，当 t₁/T₁=0.15，θ_max= 0.0085rad；当t₁/T₁=5.5~6.5，θ → 0.

1) 履带起重机臂架结构在重物起升离地过程中简化为两自由度的线性振动系统是合理可行的，该计算模型的假设条件和系统广义自由度的确定符合实际情况，并与计算结果相吻合.

2) 合理确定起升加载时间可使起升过程平稳，减小振动冲击，通过保证加载时间t₁≥5s，可使提升绳的动载荷系数降到1.03.

3) 通过加载时间与振动周期即频率的关系可求得提升系统的提升绳应具有的刚度的表达式： 当t₁/T₁=6.5时，t₁=5s，则K_x≈(67~68)m₂(N/m)，可保证设备平稳工作.