大型空分装备的动设备如压缩机、增压机等经常出现各种故障，故障往往发生在局部，但是其会影响整个轴系，从而使各个节点、各个位置的响应都呈现非线性.及时掌握转子系统的振动响应情况，对旋转机械的稳定运行具有重要意义.

学者们对故障转子系统的非线性响应做了大量研究，主要分为理论分析方法和实验方法.理论分析方法是建立转子系统的非线性动力学模型，通过对微分方程的求解得到系统的响应，求解方法主要有解析法和数值法，以及两者结合的半解析半数值方法，如增量谐波平衡(IHB)法^[1].解析方法以Lindstedt-Poincare(L-P)法为主，如线性增量扩展的L-P法^[2]、多重时间变量的扩展L-P法^[3].解析方法可以给出系统响应具体的表达式，便于分析系统的动态特性及实现参数控制，但并不是所有的非线性方程都能求解出具体的表达式，数值方法解决了这个问题，成为研究非线性振动的重要方法，如Runge-Kutta法、Newmark法、Newton-Raphson增量迭代法等^{[4, 5, 6]}.数值解法可以给出系统任意时刻的广义量的数值，其结果往往可以作为检验理论分析结果的标准^[7]，但数值解法存在收敛性与精度的问题，并且只能提供离散的解，不能给出响应的具体表达式.

实验方法是使用各种传感器和信号采集器直接检测故障转子系统非线性响应的方法，通常用来验证理论研究方法的正确性或直接分析简单系统的非线性特性^{[8, 9]}.

针对目前研究故障转子非线性响应的问题，本文提出一种基于系统动力学模型、利用一些点的响应求其他任意点响应的方法——转子系统局部碰摩故障的传递机制，即轴系某一处发生碰摩故障后对其他位置产生的影响.

典型的转子系统由一些离散的叶轮、具有分布质量及弹性的轴段和支承等部件组成.沿轴线把转子系统划分为圆盘、轴段等单元，如图 1所示.忽略轴向变形，系统的广义坐标分别为节点水平和垂直方向的位移和转角.各单元彼此在节点处联结.由Lagrange方程计算得到故障系统动力学方程为

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 轴段单元有限元模型 Fig. 1 The finite element model of shaft

在旋转机械中，偏心质量引起的激振力和碰摩力均具有周期性，可以将其展开成各阶谐波分量和的形式，即

在确定系统中，周期激励产生周期响应，故响应也展开成各阶谐波分量和的形式，即

根据谐波平衡理论^[11]，有

设碰摩故障节点L_rub响应向量第l阶谐波分量为u_l(2Lrub－1)e^jlωt，其他任意节点k，k₁和k₂响应向量第l阶谐波分量分别为u_l(2k－1)e^jlωt，u_l(2k1－1)e^jlωt和u_l(2k2－1)e^jlωt，则有

A_l和B_l由下式求得：

则有

即节点k响应的第l阶谐波分量可以由故障节点L_rub响应的第l阶谐波分量求得，式(7)为故障传递机制.故有

即利用故障节点L_rub的响应可以得到任意节点k的响应.

同时还可以得到故障力的信息，即

有n个故障的转子系统，仅需要任意n+2个节点的响应就可以得到剩余所有节点的响应.

建立碰摩转子的有限元模型，如图 2所示，具体参数如表 1所示.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 碰摩转子系统有限元模型 Fig. 2 The finite element model of rub rotor system

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 有限元模型参数 Table 1 Parameters of the finite element model 参数名称 数值 参数名称 数值 单元数 42 弹性模量 210 GPa 节点数 43 联轴器长度 61 mm 轴段单元直径 10 mm 支承刚度 1×106 kg/m 轴段单元长度 15 mm 偏心量 1×10-5 kg/m 圆盘直径 75 mm 碰摩刚度 2×105 kg/m 圆盘厚度 25 mm 碰摩间隙 1×10-9 m

表 1 有限元模型参数 Table 1 Parameters of the finite element model

偏心在节点30处，碰摩在节点10处，测点分别在节点6,21和24处.采用Newmark与Newton-Raphson相结合的方法求解此非线性响应，转速为500 rad/s，得到的碰摩点x方向时域响应曲线如图 3所示.从图中可以明显看到碰摩故障所引起的削波现象，整个转子都呈现非线性响应.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 碰摩点x方向时域响应曲线 Fig. 3 Time domain response curve of rub point in x direction

利用测点6,21和碰摩点10的响应，根据故障传递机制，取前6阶谐波分量，得到测点24的响应及碰摩故障力曲线，如图 4所示.从图中可以看到采用数值方法求得的响应曲线与采用故障传递机制求得的响应曲线完全重合，碰摩力理论模型曲线与采用故障传递机制求得曲线基本重合.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 仿真结果 Fig. 4 Simulation results (a)—响应曲线； (b)—故障力曲线.

利用Bently转子实验台和B&K3560B信号采集器完成实验，实验设备如图 5所示，实验台动力学模型与数值仿真的模型相同，碰摩点和偏心点分别在节点16和34处，位移传感器分别放置在节点9,15,21和31处，在转速为3 600 r/min时采集信号，采样频率为3.2 kHz.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 实验设备 Fig. 5 Experimental facilities

图6为节点21实验测量的时域响应曲线.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 节点21的响应曲线 Fig. 6 Response curve at node 21

图 7为实验分析计算结果.从图中可以看出，实验测得的响应曲线与采用故障传递机制计算的曲线基本重合，验证了故障传递机制的正确性和可行性.

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 实验结果 Fig. 7 Experimental results

1) 本文以谐波平衡理论和有限元理论为基础，提出转子系统的故障传递机制，即局部碰摩转子系统某一位置发生碰摩故障后对其他部位产生的影响.

2) 利用故障传递机制，通过n+2个点的非线性响应可以求得n点碰摩故障转子系统其他任意点的响应，并通过数值仿真和实验验证了本文方法的正确性和有效性.

3) 实际工程中，对于一些不便测量响应或测量效果不佳的位置，故障传递机制提供了一个良好的解决方法.

4) 故障传递机制不仅适用于转子碰摩故障，不平衡、不对中和裂纹等故障力可视为外部周期力的转子系统常见故障均适用.