尽可能地降低公路桥梁的地震响应一直是学者们研究的重点^{[1,2, 3]}.半主动控制凭借其适应性强且对能源依赖度低等优势，日益成为公路桥梁振动控制的主力军.目前常用的半主动控制算法有Clipped-Optimal(CO)^[4]和Lyapunov^[5]等.由于控制系统自身的非线性，不能保证以上算法的控制效果会逼近主动控制.此外，目前所采用的半主动控制策略均是采用加速度作为结构状态的反馈形式^[6].然而这种反馈控制策略对位移及剪力的控制效果却不理想.因此提出一种以半主动控制装置的性能为出发点，且采用力作为结构状态反馈形式的半主动控制策略具有重要意义.

本文设计了基于力反馈的半主动闭环控制系统.分别采用Passive-on，Passive-off，FF和CO算法对一座隔震桥梁进行了振动控制，得出了一些重要结论，可供类似桥梁减震设计时参考.

本文以一座三跨LRB隔震连续梁桥(简称为桥梁)为工程背景.在地震激励下，受磁流变阻尼器(MRD)控制的桥梁非线性运动方程为

本文提出的基于力反馈形式的控制策略为

本文提出的适合式(1)的两项假设为

假设1 恢复力F_b采用Bouc-Wen模型描述，即

假设2 地震干扰－Mη_g(t)是未知但有界的.假设存在一个未知常数G满足：|_g(t)|≤G，且∀t≥0；确保w(t)存在一个与x(t)的有界性无关且可计算的上界α_w，即满足：|w(t)|≤α_w.

定理1 如果式(1)的非线性系统和式(2)的力反馈控制律均满足地震干扰的有界性假设，则式(1)和式(2)中的闭环系统的有界输入和输出是稳定的.

证明：式(1)和式(2)中的闭环系统可表示为

对上式进行拉普拉斯变换，可得到

采用逆模型^[8]可获得施加于MRD的指令电流i(t)的解析解.对式(3)进行逆模型化处理，得到MRD的输出力Q(t)的表达式为

,a

,b

式(7)中的i(t)满足：

式(3)中的w(t)可表示为

故MRD的输出力Q(t)可重新记为

电流i(t)可以通过求解以下二次方程得到：

本文通过改变电流i来促使MRD产出预期阻尼力f_d，应用于此策略的指令电流i(t)的解为

式(12)和(14)即为基于力反馈的半主动控制器.由f_d并运用式(13)便可算出相应的施加于MRD的指令电流i，其表达式为

桥梁参数见文献[9].逆模型参数见表 1.MRD的名义最大出力和冲程分别为1000 kN和50 cm.地震波选用Loma Prieta (L)，El Centro (E)，Ninghe-Tianjin (N)和Kobe (K)等4条强震记录，并将它们的地震动峰值加速度PGA均调至0.25g^[10].梁体及支座位移限值均为6.00 cm，梁墩的相对位移限值为4.00 cm.表 2中的评价指标平均值(Avg)和最大值(Max)分别定义为

表 1

Table 1

表 1 (Table 1)

表 1 逆模型的参数取值 Table 1 Parameters of the inverse model 参数 取值 参数 取值 μ,a/(N·m-1) 326.51 μw,a/N -137 290 μ,b/(N·m-1) 36.27 μw,b/N 61 680 αa/mm-1 12.18 μw,c/N 550 αb/mm-1 -3.62 αc/mm-1 0.96 d 1.65 β 1.83

表 1 逆模型的参数取值 Table 1 Parameters of the inverse model

表 2

Table 2

表 2 (Table 2)

表 2 不同控制策略下的隔震桥梁各评价指标值 Table 2 Various evaluation criteria of seismically isolated bridges controlled by different strategies 评价指标 无控制 Passive-off Passive-on CO FF Max Ave Max Ave Max Ave Max Ave Max Ave 墩底剪力峰值J1/kN 568 552 547 532 519 505 473 461 196 187 墩底弯矩峰值J2/(kN·m) 5 029 4 943 4 911 4 853 4 676 4 517 4 221 4 125 1 765 1 673 中跨梁体位移峰值J3/cm 6.02 5.79 5.98 5.71 5.93 5.67 5.86 5.73 3.77 3.64 中跨梁体加速度峰值J4/(m·s-2) 5.21 5.12 4.62 4.55 4.37 4.31 2.11 2.06 2.05 1.98 墩顶位移峰值J5/cm 1.93 1.84 1.91 1.82 1.89 1.79 1.87 1.75 0.73 0.65 墩底剪力均方差J6/kN 335 321 308 296 282 273 232 218 93 86 墩底弯矩均方差J7/(kN·m) 2 956 2 847 2 717 2 604 2 489 2 395 2 087 1 991 841 774 中跨梁体位移均方差J8/cm 3.47 3.32 3.25 3.13 3.08 2.97 2.74 2.65 1.73 1.65 中跨梁体加速度均方差J9/(m·s-2) 3.34 3.16 2.76 2.63 2.28 2.16 1.13 1.05 0.97 0.88 墩顶位移均方差J10/cm 1.25 1.19 1.13 1.08 1.02 0.97 0.93 0.89 0.45 0.37 桥台处支座位移均方差J11/cm 3.45 3.36 3.11 3.03 2.94 2.87 2.72 2.61 1.71 1.62 桥墩处支座位移均方差J12/cm 3.42 3.23 3.09 3.02 2.91 2.84 2.69 2.58 1.67 1.58 结构耗能量J13/kJ 381 372 336 327 315 308 151 144 72 69 塑性铰数目J14 26 24 22 20 22 20 10 8 0 0 MRD的实际最大出力J15/kN - 326 317 351 343 907 897 995 986 MRD的实际最大冲程J16/cm - 18.3 17.9 19.6 19.2 40.1 39.3 49.6 49.2 所需的外部能量J17/kJ - 0 9.823 9.714 5.265 5.137 3.385 3.246 所需的MRD数目J18 - 16 16 16 16 所需的传感器数目J19 - - - 28 20 所需的计算模态数目J20 - - - 28 0

表 2 不同控制策略下的隔震桥梁各评价指标值 Table 2 Various evaluation criteria of seismically isolated bridges controlled by different strategies

由表 2可知，FF策略对J₁，J₂，J₃，J₄和J₅等响应峰值的控制效果比Passive-off，Passive-on和CO的都要好.无控制桥梁的J₃最大值超出了梁体位移限值.无控制，Passive-off和Passive-on的梁墩相对位移(J₃~J₅)最大值均已超出限值；CO对J1，J2，J₃和J₅的控制效果较差，其控制下的J₃~J₅最大值逼近限值；FF的J1~J₅比CO的要小得多.FF的J₃~J₅最大值已远离限值；FF对J₆，J₇，J₈，J₉，J₁₀，J₁₁和J₁₂等响应均方差的控制效果比Passive-off，Passive-on和CO的都要好；FF的J₁₃比Passive-off，Passive-on和CO的都要少.FF的J₁₄为零，而后三种策略均出现了不同数目的塑性铰；FF的J₁₅和J₁₆比Passive-off，Passive-on和CO的都要大得多.可见FF比后三者更利于MRD性能的发挥；FF的J₁₇比Passive-on和CO的都要少；FF的J₁₈与Passive-off，Passive-on和CO的相同，FF的J₁₉比CO的要少.FF的J₂₀为零，而CO的J₂₀却较大.

由图 1可以看出，在N波激励的整个时程内，FF的梁体位移及墩底剪力比CO和无控制的都要小得多；图 2为不同工况(地震波(L，E，N和K)+控制策略(无控制，Passive-off，Passive-on，CO和FF))下的桥墩处支座位移峰值.可以看出，FF能将桥墩处的支座位移降至理想值，而CO的该位移值仍接近限值；由图 3可知，在E波激励下，FF的半主动控制力曲线光滑且无抖振出现.

图 1 (Figure 1)

Fig. 1

图 1 无控制与半主动控制桥梁的地震响应对比 Fig. 1 Seismic response comparison between non-control bridges and semi-active control bridges (a)—中跨梁体位移； (b)—墩底剪力.

图 2 (Figure 2)

Fig. 2

图 2 各种工况下的支座位移峰值 Fig. 2 Peak bearing displacements of various cases

图 3 (Figure 3)

Fig. 3

图 3 FF策略的控制力时程 Fig. 3 Time history of control force generated by FF strategy

表 3

Table 3

表 3 (Table 3)

表 3 ±30%桥梁刚度扰动下的部分评价指标 Table 3 Partial evaluation criteria due to ±30% bridge stiffness perturbed 评价指标 +30% -30% CO FF CO FF J1/kN 467 189 471 191 J3/cm 5.78 3.67 5.83 3.70 J5/cm 1.81 0.68 1.85 0.71 J7/(kN·m) 2 027 785 2 084 787 J11/cm 2.65 1.65 2.69 1.67 J13/kJ 149 71 154 73 J15/kN 892 984 898 986 J17/kJ 5.447 3.328 5.492 3.356 J20 28 0 28 0

表 3 ±30%桥梁刚度扰动下的部分评价指标 Table 3 Partial evaluation criteria due to ±30% bridge stiffness perturbed

由表 3可知，FF的评价指标值都明显小于CO的相应指标值.可见在面对桥梁刚度发生±30%扰动时，FF策略的性能要明显优于CO策略，故FF控制器的鲁棒性要明显优于CO控制器.

本文提出的FF半主动控制策略能显著降低隔震桥梁的梁体及支座位移、梁体加速度、墩顶位移及墩底内力等响应峰值及均方差；FF策略比Passive-off，Passive-on和CO策略更有利于MRD性能的发挥.FF策略所需的传感器比后三种策略要少，且FF策略无需任何计算资源；FF策略产出的控制力曲线很光滑且无抖振出现；FF控制器的鲁棒性明显优于CO控制器.