近年来，非线性系统理论的研究取得了长足发展，诸如混沌、分形等非线性理论已经在各个领域得到应用，其中包括资本市场.分形市场假说从价格波动的长记忆性、收益波动的自相似性角度，解释市场的非线性波动特征^[1].Malevergne等^[2]利用标准普尔500指数的高频数据，研究发现收益率存在负幂律性质.苑莹等^[3]研究了股市收益率与交易量长记忆性.汪冬华等^[4]基于每个交易日数据的多重分形分析，构造新的风险度量指标MFV，用以比较大盘股和中小盘股的风险.

综上，国内学者在研究资本市场分形特征时更多地关注于股票和外汇市场，而对我国大宗商品现货市场的关注较少.在金融危机的影响逐渐消退后，随着中国经济逐渐复苏，钢铁行业所面临的新形势如下：第一，产能过剩、供需矛盾问题尖锐.钢铁企业巨大的产能释放，对市场的供需平衡产生巨大的压力.第二，行业竞争加剧.我国钢铁行业跨地区、跨所有制大规模并购整合，促使行业集中度进程加快.第三，钢材市场价格出现大起大落，加大了钢铁企业的经营风险.但目前的研究多采用自相关函数及R/S等经典方法^{[5, 6, 7]}对市场的长记忆性及标度不变性进行确认，而很少使用多重分形的分析方法全面地研究分形市场的本质特征，例如自相似性特征、多标度特性等^{[8, 9]}.

本文对我国螺纹钢线材市场的标度特征进行实证研究.从我国螺纹钢线材市场的描述性统计入手，实证检验结果违背有效市场理论的假设前提，从而引入分形理论.并通过多重分形谱和R/S实证研究对我国螺纹钢线材市场的分形特征进行较全面的研究，发现钢材市场中多标度特征.

1 研究方法 1.1 BDS检验

依据空间重构方法，给定时间序列{r_t}(t=1,2,…,N)，构造延滞时间的嵌入向量为r_t^m=(r_t,r_t+1,…,r_t+m－1)，t=1,2,…,T-m+1，其中m≥2为嵌入维，定义关联积分为

当T→∞时，统计量BDS满足渐进的标准正态分布：

Brock等证明，当统计量BDS不收敛于N(0，1)，则时间序列存在非线性结构.

采用q阶矩结构分割函数法求解多重分形谱，步骤如下：

1) 将价格时间序列P_i标准化，即P_i=p_i/∑p_i.

2) 计算时间窗T的价位概率P_j(T)，给定q值，求配分函数：

3) 建立标度关系：

4) 求lnM_q(T)~lnT曲线的斜率τ(q)，计算多重分形谱f(α)：

α反映了时间序列中各个区间不同的奇异程度，f(α)值反映了α所对应的指数值出现的次数，则f(α_min)和f(α_max)是对应α_min与α_max子集的分形维数.

中国是全球最大的钢铁生产国和消费国，2013年粗钢产量突破7.82 亿吨，占全球产量的48.5%.其中螺纹钢和普通线材的产量大，对国际市场的影响力强.由于我国正处于工业化和城市化的加快发展阶段，多年来对螺纹钢和线材需求保持旺盛，同时我国也是全球最大的线材和螺纹钢出口国.但是二者的生产、消费、流通环节均处于行业集中度低、竞争激烈的市场格局中，市场价格波动大，上下游企业避险需求强烈.因此本文选取螺纹钢和线材中的高线两个品种进行研究.

实证研究数据取自螺纹钢和高线每天的现货价格.其中，螺纹钢选择的材质为HRB335(交割标准品二级螺纹)，规格为公称直径20 mm，高线选择的材质为Q235，规格为公称直径6.5 mm.数据样本区间为2005年1月4日~2010年11月3日，共1 456个观察数据.本文的数据来源：上海斯迪尔电子交易市场、上海大宗钢铁电子交易中心、上海中联钢电子交易市场的实盘交易数据.

为了分别降低螺纹钢线材和高线的异方差，本文对它们进行了对数化处理，根据现货市场价格原始数据分别得到螺纹钢和高线每日收益(对数收益率)时间序列并将其作为检验样本.其基本统计分析结果及Jarque-Bera，Kolmogorov-Smirnor统计量如表 1所示.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 螺纹钢、高线日收益基本统计量 Table 1 Basic statistics of daily yields of rebar and wire rod 钢材 样本数 均值 标准差 峰度 偏度 J-B统计量 K-S统计量 螺纹钢 1 456 0.000 066 2 0.002 524 34.660 56 -1.275 632 61 164.55 0.47(0.00) 高线 1 456 0.000 070 2 0.002 617 33.324 33 -1.391 396 56 218.09 0.46(0.00)   注：圆括号中的数字为p值.

表 1 螺纹钢、高线日收益基本统计量 Table 1 Basic statistics of daily yields of rebar and wire rod

从表 1可以看出，螺纹钢和高线的日收益率序列的峰度均远大于3，说明其呈现尖峰态势；偏度均小于0，说明其分布呈左偏态势；而J-B检验统计量估计值均远远大于1%和5%所对应的临界值(在零假设下，J-B~χ²(2)，χ²(2,0.01)=9.210 3，χ²(2,0.05)=5.991 5)，因而都拒绝了日收益率序列服从正态分布的零假设；同样，通过拟合优度检验，K-S统计量数值均大于给定的临界值.从上述统计结果分析，螺纹钢和高线的收益率序列都具有典型的“尖峰厚尾”特征，并且不服从正态分布，传统的正态分布假设在置信水平较高时会低估钢材现货市场的实际风险程度.厚尾性越大说明状态持续性越强，在预测价格走势时历史信息越重要，这也进一步表明螺纹钢线材市场价格波动的集群性.

螺纹钢线材市场价格收益率序列的ADF检验结果如表 2所示.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 收益率序列的ADF检验 Table 2 ADF test of stock price index return series 钢材 ADF统计量 临界值(1%) 临界值(5%) 临界值(10%) 螺纹钢 -16.022 49 -3.434 639 -2.863 322 -2.567 767 高线 -13.314 84 -3.434 642 -2.863 323 -2.567 768

表 2 收益率序列的ADF检验 Table 2 ADF test of stock price index return series

从表 2可以看出，螺纹钢和高线的日收益率序列的检验t统计量值分别是-16.022 49和-13.314 84，均远远小于显著性水平为1%，5%及10%所对应的临界值，因此至少可以在99%的置信度下拒绝非平稳假设，认为螺纹钢和高线日收益率序列不存在单位根，表明该收益率序列不服从随机游走的假设.

对螺纹钢线材的日收益率序列的线性相关性进行Ljung-Box检验.选择Ljung，Box提出的修正Q统计量：

表 3为螺纹钢和高线的日收益率序列的Ljung-Box检验结果.

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 Ljung-Box检验：修正Q统计量 Table 3 Ljung-Box test:modified Q statistic 钢材 5 10 20 30 40 50 螺纹钢 504.37 558.14 582.18 595.66 600.22 611.12 高线 4 911.9 9 669.2 17 725 24 180 29 090 32 556

表 3 Ljung-Box检验：修正Q统计量 Table 3 Ljung-Box test:modified Q statistic

表 3结果表明，螺纹钢和高线的日收益率序列Q值在1%水平下显著，表明螺纹钢线材市场收益率序列存在着较显著的相关性.

进一步选用BDS统计量来检验时间序列是否存在非相关性，发现用AR(6)拟合螺纹钢和高线的收益率序列的残差，其Q统计量检验结果如表 4所示.从表 4中可以看出，AR(6)模型的残差序列已消除收益率序列中的线性相关成分.

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 AR残差：Q统计量 Table 4 AR residual:Q statistic 钢材 5 10 15 20 25 30 35 40 螺纹钢 6.077 8 18.088 29.121 36.021 41.900 50.478 53.856 55.991 高线 2.018 8 12.669 22.190 31.880 35.774 50.108 52.005 53.467 注：各滞后阶数在1%的显著性水平下的检验结果.

表 4 AR残差：Q统计量 Table 4 AR residual:Q statistic

取嵌入维度为2~6，阈值r分别为拟合模型残差序列的标准差的0.5,1,1.5,2 倍，表 5和表 6给出了AR(6)模型残差序列的BDS检验结果，在1%和5%的显著性水平下，所计算的螺纹钢和高线的BDS统计量的概率值均为0，而且随着空间维数m的增加而增大，表明所有检验都是显著的，因此拒绝了AR(6)拟合模型的残差是独立的原假设，说明螺纹钢和高线的日收益率数据分布中存在非线性结构.

表 5

Table 5

表 5(Table 5)

表 5 螺纹钢BDS检验 Table 5 BDS statistics of rebar m 0.5 1 1.5 2 2 0.041(0.00) 0.042(0.00) 0.024(0.00) 0.012(0.00) 3 0.070(0.00) 0.094(0.00) 0.062(0.00) 0.036(0.00) 4 0.075(0.00) 0.128(0.00) 0.094(0.00) 0.059(0.00) 5 0.068(0.00) 0.148(0.00) 0.119(0.00) 0.079(0.00) 6 0.058(0.00) 0.162(0.00) 0.144(0.00) 0.100(0.00)

表 5 螺纹钢BDS检验 Table 5 BDS statistics of rebar

表 6

Table 6

表 6(Table 6)

表 6 高线BDS检验 Table 6 BDS statistics of wire rod m 0.5 1 1.5 2 2 0.086(0.00) 0.132(0.00) 0.105(0.00) 0.063(0.00) 3 0.123(0.00) 0.239(0.00) 0.224(0.00) 0.150(0.00) 4 0.121(0.00) 0.289(0.00) 0.306(0.00) 0.224(0.00) 5 0.111(0.00) 0.310(0.00) 0.363(0.00) 0.287(0.00) 6 0.099(0.00) 0.315(0.00) 0.401(0.00) 0.339(0.00)

表 6 高线BDS检验 Table 6 BDS statistics of wire rod

通过上述实验研究，正态分布检验、单位根检验、收益相关性检验以及非线性的BDS检验都表明，看似随机的螺纹钢线材市场收益率数据不是完全随机的，其中均存在着非线性相关结构，这说明我国的螺纹钢线材市场并不是弱势有效市场，这显然与有效市场假说相悖.

根据多重分形谱公式(9)，对我国螺纹钢线材市场中的螺纹钢和高线收益率序列进行多重分形检验，其中T和q为选取的参数，结果如图 1所示.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 收益率的多重分形谱 Fig. 1 Multi-fractal plot of returns (a)—lnMq(T)-lnT； (b)—r(q)-q; (c)—f(α)-α.

图 1a分别为螺纹钢和高线日收益率的多重分形谱lnM_q(T)~lnT图形，具有明显的多重分形特征.图 1b分别为螺纹钢和高线收益序列的τ(q)~q图形，该图形的非线性也说明螺纹钢线材市场具有多标度的特征.而从图 1c的f(α)~α多重分形谱图中可进一步看出，螺纹钢和高线市场的α值均非只有一个标度指数，其α值分别以(0.889~1.083)和(0.894~1.069)为标度范围，且整个标度范围均大于0.5，这不仅再一次证实了螺纹钢线材市场收益率序列具有长记忆性的分形特征，而且通过f(α)图形关于α值的不对称性，表明在不同波动幅度下其标度指数也不同的多标度特性.另外，螺纹钢和高线时间收益率序列的f(α)多重分形谱图形均呈现右钩状，表明在样本区间时间内，线材价格处于低价位的机会比处于高价位的机会要大.

根据文献[10]重标级差分析方法，对我国螺纹钢线材市场的日收盘价对数收益率来进行检验，分别得出螺纹钢和高线日收盘对数收益率的R/S值对时间间隔n的ln(R/S)~lnn回归拟合直线(图 2,图 3).

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 螺纹钢日收益率的R/S分析结果 Fig. 2 Classical R/S analysis of rebar

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 高线日收益率的R/S分析结果 Fig. 3 Classical R/S analysis of wire rod

回归计算得到螺纹钢市场日收益率的H=0.678 1，高线市场日收益率的H=0.682 8，H值明显大于0.5，这表明市场存在长期记忆的分形特征，即波动性聚类特性.而且高线市场日收益率的H值大于螺纹钢市场日收益率的H值，表明高线市场的风险要大于螺纹钢市场的风险.另外，根据得到的H值，可以计算出我国螺纹钢线材市场的分形维(2-H)，螺纹钢和高线市场的分形维分别为1.321 9和1.311 8，数值大于1表明至少需要两个变量来解释我国螺纹钢线材市场特征.

1) 我国螺纹钢线材市场价格变化特性同有效市场理论下市场的特性相比具有很大差异.收益数据的分布呈典型的“尖峰厚尾”特征，正态分布难以拟和时间序列分布的厚尾性特征，因此基于正态分布的我国螺纹钢线材市场的价格波动定量模型分析的精确性也较低.

2) 我国螺纹钢线材市场表现出明显的分形特性，存在多标度特征与长期记忆性的分形特征，用单一的标度指数不能对其进行全面细致的刻画，用多标度模型对其描述分析更为合适.这是因为市场是由具有不同收益率期望的短期和长期投资者共同构成的，市场的特征表现与各类投资者的参与程度密切相关.

3) 螺纹和钢线市场的价格分形维数大于1，证明了我国螺纹钢线材市场是个复杂系统，具有明显的分形特征，说明市场的运行及价格形成机制受到多个因素的共同影响.

综上所述，我国的螺纹钢线材市场具有非线性特征，其收益具有多标度性、长程相关性等明显的分形特征，螺纹钢线材市场是一个复杂的系统，其更适合用分形市场假说和多标度理论进行表述和解释，借助分形工具可以度量钢材市场的多标度特性，研究市场价格特性及预测市场运行规律.