不同地域的软土特性不同.长江三角洲是由长江带来的泥沙冲淤而成，冲积层的厚度由西向东从几十米增加到400 m.软土在地铁移动荷载作用下的蠕变及软化现象较为明显；若产生较大沉降，不仅会影响地铁运营，而且会引起衬砌结构的开裂，严重时这些裂缝会引起漏泥，导致二次沉降.评价软土动力特性的动力参数是动剪切模量和动阻尼比，本文通过分析动剪切模量^{[1, 2]}来研究软土的动力特性及其软化发展规律，为工程事故的预警和防治提供依据.

初始动剪切模量Gmax的计算方法主要分为三类：根据现场剪切波试验计算^[3]，按照不排水强度值计算^[4]，以及考虑物理性质指标的经验计算法^{[5, 6, 7, 8, 9]}；但这些方法都没有考虑频率对初始动剪切模量的影响.

关于动剪切模量函数方面的研究，目前常用的分析函数是Hardin-Drnevich等效黏弹性线性模型的动剪切模量-动应变关系函数和沈珠江模型函数^{[10, 11]}，二者均基于动剪切模量和动应变关系函数进行研究，没有与振动次数联系起来，或者没有建立一个系统的计算方法^[12].

针对上述问题，本文建立了一个考虑振动频率影响的初始动剪切模量经验计算公式，并给出计算参数；同时建立了一个适用性广的动剪切模量-振动次数关系函数公式，引入稳定动剪切模量的概念，进行参数分析，并用其他土体进行验证，从机理上分析软土动剪切模量的发展规律，为研究移动地铁荷载作用下软土的动力特性提供理论指导及工程案例.

1.1 试验材料与仪器

取原状土之前在薄壁取土器内壁均匀涂抹一层凡士林，以降低取土时的摩擦和对土样的扰动.取样现场位于南京市河西地段，软土层为淤泥质粉质黏土，厚度达22 m以上，均匀分布于整个场地.土层的工程特性：流塑，局部软塑，高等压缩性.

试验采用英国GDS公司的动三轴仪，能进行静载、动荷载作用下的三轴试验.

用原状土制样，土样为圆柱形，直径38 mm，高75 mm.试验过程如下.

饱和：将试样进行室外抽真空饱和，再抽气饱和，然后用三轴仪进行反压力饱和，饱和围压为110 kPa，反压为100 kPa.

固结：试样进行等压固结，有效固结围压为σ′_c=75，150 kPa，当超静孔压力基本消散时视为完成固结.

加载：采用图1所示的半正弦波进行加载，动应力幅值σ_d分别为83，125，167Pa；加载时，设置振动次数N为10 000次.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 试验的加载方式 Fig. 1 Dynamic loading mode

2 初始动剪切模量研究

2.1 初始动剪切模量试验计算

初始动剪切模量G_max是土体动应变趋于零时对应的动剪切模量.根据动三轴试验结果进行数据分析.由Hardin-Drnevich等效线性模型计算初始动剪切模量的误差较大，而选取动应力、应变的平均值进行计算则导致结果偏小.根据文献^[10]的方法，本文选取滞回圈的顶点连线值动应力与动应变进行计算.荷载F_d=20 N，动应力比CSR=0.111，计算结果见表1.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 初始动剪切模量试验值 Table 1 Test values of original dynamic shear modulus 有效围压/kPa 75 75 75 150 150 150 频率/Hz 0.5 1 2 0.5 1 2 Gmax/MPa 26 33 39 41 45 54

表 1 初始动剪切模量试验值 Table 1 Test values of original dynamic shear modulus

在相同条件下，随着围压的升高，土被压密，孔隙减小，传播的振动波速增大，相同的动应力下土体变形减小，初始动剪切模量增大.在相同条件下，随着振动频率的增加，荷载作用于土的时间越短，相同的动应力下土体变形越小，初始动剪切模量越大.

经验计算法可以在缺乏试验仪器的情况下，根据土体的物理力学性质估算初始动剪切模量，在精度允许的范围内快速确定数值.

南京软土的物理力学参数如下：含水量37.3%，土粒相对密度2.72，天然密度1.877 g/cm³，孔隙比0.99.用经验法计算南京软土的G_max，结果见表2.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 初始动剪切模量计算值 Table 2 Calculation of original dynamic shear modulus 计算方法 Gmax/MPa 有效围压75 kPa 有效围压150 kPa 剪切波速法 18.77 18.77 Seed[4] 法 65 65 Hardin-Black[5] 法 54.04 76.42 Hardin-Drnevich[6] 法 55.61 78.64 Hardin[7] 法 21.76 25.52 Richart[8] 法 42.41 59.97 Kagawa[9] 法 20.13 40.26

表 2 初始动剪切模量计算值 Table 2 Calculation of original dynamic shear modulus

通过对试验法和经验法计算结果进行对比得到：考虑物理力学性质指标的经验计算公式预测更准确，其中用Kagawa法的计算结果更适合分析南京软土，但是没有定量考虑振动频率对软土动力特性的影响.针对存在的问题，本文基于Kagawa经验公式进行改进.

地铁运行过程中因速度变化引起振动频率变化，随着地铁速度不断提升，振动频率的范围也相应增大，对土体的振动影响作用也加大；因此，地铁移动荷载作用下软土的振动频率是一个很重要的影响因素.计算得到的振动频率和南京软土初始动剪切模量成二次曲线关系，且相关系数较高，如图2所示,图中σ_d为动应力幅值.据此，基于Kagawa经验公式进行改进，考虑振动频率的影响.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 初始动剪切模量与振动频率的关系曲线 Fig. 2 Relationship curves between the original dynamic shear modulus and vibration frequency

Kagawa经验公式为

根据文献^[13]，软土在相同条件下，对不同振动频率下的初始动剪切模量值进行回归分析，得到

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 初始动剪切模量计算公式参数 Table 3 Formula coefficients of original dynamic modulus 围压/kPa 频率/Hz 系数 a1 a2 a3 0.5 -4.16 18.52 18.35 75 1 -1.74 14.91 11.15 2 0.31 11.12 4.58 0.5 -3.9 20.5 5.8 150 1 -5.3 20.1 23.3 2 0.22 8.14 37.4

表 3 初始动剪切模量计算公式参数 Table 3 Formula coefficients of original dynamic modulus

3 动剪切模量函数分析

3.1 动剪切模量函数概述

软土在动荷载作用下，随着动应变或者振动次数N(以下简称振次)增大，动剪切模量G_d也不同，因此可以定义一个关于动应变或者振次的动剪切模量函数公式.

动剪切模量函数计算公式可分为两类：

①动剪切模量-应变函数公式，其中沈珠江提出的计算公式参数少，准确度高，运用广，其表达式为

②动剪切模量-振次函数公式.文献^[12]建立的函数公式为上海软土动力特性评价提供参考，但它是完全的经验公式，没有讨论参数的物理意义，其推广验证工作还有待进一步研究.

3.2.1 建立公式

目前研究的动剪切模量函数公式建立在动剪切模量和应变关系的基础上，如果在函数公式中考虑列车振次^[14]，则可以分析软土在地铁运营期间移动荷载作用下动剪切模量随振次变化的规律，且避开应变测量，是一种简易而有效的确定动剪切模量的新方法.

本文采用动剪切模量-振次关系函数对南京软土室内动三轴试验数据进行分析.图3为南京软土试验值与计算值的结果比较，图中可以看出吻合较好.在动荷载作用下，试验值存在波动，即有一个波动幅值，取其平均值作为计算结果.式(4)为计算公式.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 动剪切模量-振次关系试验值与计算值对比图 Fig. 3 Test data and calculated values of dynamic shear modulus vs. the number of vibration

对于式(4)，当N→0时，G_d=G_max=m；当N→∞时，G_d=k，为稳定动剪切模量，即动应变达到无穷大时软土的动剪切模量.根据文献^[15]的结论：E_s,OC/E_s,NCi=(OCR)_qⁿ⁰(E_s,OC为初始动弹性模量，E_s,NCi为任意振次下的动弹性模量，(OCR)_q为等效超固结比，n₀为试验参数，通过最小二乘法得到).可以得出，不同土体在临界状态下动模量之比为一个定值.根据此规律，南京软土动剪切模量的初始值与稳定值的关系为：G_max/k=6.01，如图4所示.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 初始动模量与稳定动模量关系曲线 Fig. 4 Relationship between the original dynamic shear modulus and stable modulus

式(4)中参数N₀，p与振动幅值、围压以及频率等因素有关.当p=1时，式(4)同文献^[10]形式一致，可进行归一化.

式(4)最终可转化为

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 动剪切模量函数参数值 Table 4 Parameters of dynamic shear modulus function 围压/kPa 频率/Hz 参数 N0 p 0.5 0.042 0.26 75 1 0.086 0.29 2 0.121 0.32 0.5 1.51 0.48 150 1 6.75 0.42 2 5.37 0.41

表 4 动剪切模量函数参数值 Table 4 Parameters of dynamic shear modulus function

不同条件下N₀与p参数值可以通过已有数据建立回归曲线求得.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 南京软土不同条件下的动剪切模量-振次关系 Fig. 5 Relationship between dynamic shear modulus and the number of vibration on different conditions for Nanjing clay(a)—不同频率； (b)—不同荷载；(c)—不同含水量； (d)—不同围压.

由图5可知，曲线分为两部分，首先经历急剧的振动软化，然后进入稳态过程，最终为稳定值.其中，急剧软化和稳态之间存在一个转折点，该点为临界振动次数.可以得到，南京软土动剪切模量随振次增加逐渐减小，随振动频率的增大而增大.图5a中，频率0.5和1 Hz的曲线较接近，考虑到土体不均匀性，在f=2 Hz时的曲线出现变异，但其变化规律基本一致.

软土在动荷载作用下产生超静孔隙水压力，随着振次增大，软土的有效应力逐渐减小，进而引起应变、强度以及动力参数的变化.对南京软土动三轴试验结果进行计算分析，可以得到不同影响因素下，动剪切模量-振次关系的软化规律：相同条件下，动剪切模量随着振动频率、荷载、围压的增大而升高，随着含水量的增大而减小.

对文献^[12]的数据用本文提出的动剪切模量函数公式进行验证，其中，计算结果用E_d=G_d×2(1+μ)进行换算得到动弹性模量E_d，泊松比μ取0.3，上海软土物理力学指标如下：含水量41.3%，天然重度20.0 kN/m³，土粒相对密度3.3，黏聚力31.3 kPa，内摩擦角11.3°.验证结果见图6，对应的计算参数分别为表5和表6.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 上海软土不同条件下动弹性模量-振次关系试验与计算值 Fig. 6 Calculated and test values of dynamic elasticity modulus and the number of vibration on different conditions for Shanghai clay(a)—不同频率； (b)—不同荷载.

表 5

Table 5

表 5(Table 5)

表 5 上海软土动剪切模量函数参数值 Table 5 Parameters of dynamic shear modulus function of Shanghai clay 围压/kPa 频率/Hz 参数 Gmax N0 p 0.5 30 352 0.45 200 1.5 30.2 259 0.66 2.5 31.6 152 0.49

表 5 上海软土动剪切模量函数参数值 Table 5 Parameters of dynamic shear modulus function of Shanghai clay

表 6

Table 6

表 6(Table 6)

表 6 上海软土动剪切模量函数参数值 Table 6 Parameters of dynamic shear modulus function of Shanghai clay 围压/kPa σd/kPa 参数 Gmax N0 p 20 26 97.8 0.46 200 30 33 81.5 0.38 40 51 60.2 0.43

表 6 上海软土动剪切模量函数参数值 Table 6 Parameters of dynamic shear modulus function of Shanghai clay

验证结果表明，计算值与试验值吻合很好，动剪切模量函数公式具有较好的适用性，可推广使用.

从图6可知：上海软土动剪切模量-振次关系曲线可分为急剧软化阶段和平稳阶段，但是和南京软土动剪切模量-振次关系曲线相比，南京软土的临界振次界定更明显，并且很快趋于稳定.

目前，地铁现场试验有测加速度法、布置基准点监测土体内部动态孔压和土压力法.依据本文提出的动剪切模量函数公式可以从振次方面来评价软土的动力特性，室内试验也建议研发相应的计算方法与现场结果进行统一.动剪切模量-振次关系曲线，可以推广用于分析地铁移动荷载作用下软土随着振次或时间的动力特性发展规律，进而计算地铁运营阶段产生的附加沉降.

1) 对南京软土进行动三轴试验，计算得到初始动剪切模量的试验值和计算值，进行对比分析.通过回归分析对公式进行改进，考虑地铁运营时的重要影响因素——振动频率，从而能更准确地预测初始动剪切模量值.

2) 建立了一个动剪切模量-振次关系函数计算公式，提出了稳定动剪切模量的概念.以南京软土为例，从机理上分析围压、动荷载幅值、频率等因素对动剪切模量的影响，同时利用不同地区的软土试验数据进行验证，证明了公式的适用性，并可推广分析地铁荷载作用下软土随振次变化的动力特性.