钻孔是常用的材料去除加工工艺之一，随着汽车工业和航空工业的发展，对孔加工数量的需求和质量的要求大幅度上升,因而钻孔正变得越来越复杂且要求更高.尽管对孔加工的要求显著增加，但是在钻孔和钻头制造过程中，钻尖的几何形状、磨削工艺参数和过程力学等之间的关系仍在研究^{[1, 2, 3, 4, 5, 6]}.钻头的几何形状比大多数刀具更复杂，如何对它进行刃磨，对于提高钻孔的效率、孔的加工质量、钻头的使用寿命十分重要^[1].螺旋面钻尖的刃磨是沿后刀面进行的，刃磨时应该满足主切削刃上各点的后角由外缘转点向钻心方向逐渐增大，并要求有适当的横刃斜角和横刃前、后角^{[1, 2, 3, 4, 5]}.螺旋面钻尖后刀面对钻头设计非常重要，它的几何参数(后角、半顶角、横刃斜角等)对于切削力、钻削温度和钻头耐用度的影响较大，而且针对不同工件材料和不同切削条件有相应的最佳几何参数.因此，对钻头后刀面刃磨特性进行具体研究，刃磨出高精度钻头后刀面具有重要意义.

文献[2, 3, 6]对螺旋面钻头提出的模型是基于钻头的几何参数的，而不是基于刃磨参数的.有些文献中提出了几种基于刃磨参数的螺旋面钻尖数学模型^{[4, 7, 8]}，然而，所提出的方法只限于特定的多轴数控刀具磨床并且其控制系统比较复杂、成本高，该数学模型不适用于二并联机床的钻头磨削.

本文在机械结构相对简单的二并联机床上进行了基于刃磨参数的螺旋面钻尖数学模型推导，描述了钻尖的几何形状和刃磨参数之间的关系.利用遗传算法得出优化刃磨参数，根据所求得的钻尖几何形状，获得了刃磨出高精度螺旋面钻头后刀面的理论依据.

渐开螺旋面刃磨的原理如图 1所示.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 渐开螺旋面刃磨法示意图 Fig. 1 Explanatory view of grinding involute helical surface1—砂轮自转运动；2—麻花钻自转运动；3—麻花钻沿垂直轴线方向的运动；4—麻花钻沿轴线方向的进给运动.

本文的二并联机床结构如图 2所示：工作平台由蜗轮蜗杆转动副在电机的驱动下上下运动;两个滑块作直线运动，由直线电机直接驱动丝杠实现.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 二并联机床结构图 Fig. 2 Structure chart of biglide parallel machine1—滑动拖板;2—滚珠丝杆;3—滑块;4—杆;5—钻头； 6—运动平台;7—砂轮;8—工作平台;9—蜗轮蜗杆传动.

平动机构并联杆杆长固定，并与运动平台及滑块间通过转动副连接.通过并联杆的驱动，运动平台整体可以实现横向和铅直方向运动，而在纵向上，其运动与并联杆无关.运动平台在空间内的三维平移正好满足刃磨所需的运动.

用二并联机床的螺旋面钻尖刃磨坐标系如图 3 所示.如图 1所示的麻花钻沿轴线方向进给运动4和麻花钻沿垂直轴线方向运动3的合成由并联杆驱动运动平台实现，ω表示钻头绕自身轴线的角速度，θ表示钻头轴线与砂轮轴线夹角，ω₀表示砂轮旋转角速度.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 刃磨坐标系 Fig. 3 Coordinate system of grinding

根据图 3，很容易求出钻尖坐标系o₁(x₁y₁z₁)和机床结构坐标系o(xyz)的关系方程：

通过式(1)可以看出：刃磨中钻头的运动具有z轴方向加速度，其路径近似弧线.但是，根据计算，其加速度值非常小(0.008 mm/s²左右)，而研磨时间很短(最长2 s)，因此，其运动可被视为线性运动.

如果求出钻尖坐标系下后刀面上任意一点的参数方程，就可以求出在机床坐标系下钻尖后刀面的模型.

根据图 4所示的几何关系，可以得到在钻尖坐标系下，后刀面任意一点的参数方程为

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 钻头上P 点示意图 Fig. 4 Schematic figure of point P on drill

其中:ω表示钻头的自转角速度；R表示主刃上任意一点P到钻头轴线的距离；ρ表示钻头的初始半顶角.

因此后刀面一点P在机床机构坐标系中的方程为

钻尖的结构圆周后角α_fc通常取外缘转点C处的结构圆周后角.

首先进行主刃上任意点结构圆周后角的求解，其定义为：在过主刃上任意点A且与钻头轴线同轴的圆柱面的切平面内，钻头端平面和该点处后刀面所成的锐角，如图 5所示.

由于测量平面Ⅰ-Ⅰ与钻头半径垂直，所以要把在坐标系o₂(x₂y₂z₂)下度量的后角转换到钻头结构坐标系o₁(x₁y₁z₁)下.主刃上任意点A的坐标系为

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 结构圆周后角示意图 Fig. 5 Schematic figure of circumference relief angle

把式(3)代入式(4)中，主切削刃上任意点A处的后角可以表示为

根据式(5)，钻尖后角与刃磨参数的关系方程如下：

钻尖刃磨顶角为外缘转点C处的半顶角，C点切线的斜率可以表示为

刃磨时要求钻头轴线和砂轮轴线保持一定的角度θ，因此θ就是所要求的半顶角.

横刃斜角ψ是在主剖面内测量的钻尖后刀面与基面的夹角.根据图 6，横刃斜角ψ的正切值可表示为如下形式：

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 横刃斜角示意图 Fig. 6 Schematic figure of chisel edge angle

由螺旋面钻尖的结构特点决定，实际刃磨中钻尖与砂轮的交曲线不在x₁轴和y₁轴反而在M点.于是，刃磨时M点的轨道就是螺旋面钻尖横刃的轮廓.横刃在x₁－y₁平面内的投影曲线方程为

其中：x_M和y_M为M点在钻尖坐标系o₁(x₁y₁)的坐标值；x_M=r_Mcosφ,y_M=r_Msinφ.

将式(10)代入式(9)即可得到横刃斜角关于刃磨参数的表达式，其结果为

在改善钻头加工性能的实际刃磨中，为得到适当的刃磨参数，刃磨出满足所需钻头的几何参数十分重要.如式(6),式(8),式(11)，螺旋面钻头最常见的3个几何参数取决于几个参数，如L,L₀,r_M,r₀,R_c,v,ω和θ等.因此，一种有效的方法是使用优化技术来得到磨削参数，为用户定制钻头.

本文利用遗传算法进行刃磨参数优化，其过程中把L,v和ω定为变量.

目标函数如下：

式中: α₀和ψ₀分别表示所需的或者用户要求的钻头结构圆周后角与横刃斜角;η_α与η_ψ分别表示后角及横刃斜角的权重系数，η_α+η_ψ=1.

这个优化问题在数学上表示如下：

目标函数:F(X)→min.

变量 X=[L v ω]^T,

约束条件 g₁:400 mm<L<1 100 mm,

g₂:0<v < 20 mm/s,

g₃:0<ω<15 rad/s.

为了验证所提出的优化方法，先用该方法得出为磨削不同几何参数钻头的最佳刃磨参数，然后用其刃磨参数在二并联机床进行钻头刃磨，最后通过对钻头几何参数的测量进行了比较分析.在该优化问题中使用的参数见表 1，L₀=500 mm，r₀=65 mm.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 优化计算中使用的各种参数值 Table 1 Parameters used in calculation 序号 Rc/mm α0/(°) ψ0/(°) θ/(°) rM/mm 1 3 30 55 60 0.64 2 3 15 40 60 0.82 3 5 30 35 60 1.39 4 5 15 50 60 1.04

表 1 优化计算中使用的各种参数值 Table 1 Parameters used in calculation

使用MATLAB遗传算法(GA)工具箱对表 1中的4组钻尖结构参数进行优化，对应的目标函数收敛过程如图 7所示. 优化计算中选取的种群大小均是200个，在51~53代演化后产生最优解，结果如表 2所示.

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 适应度函数收敛过程 Fig. 7 Convergence of fitness function(a)—表1参数1； (b)—表1参数2; (c)—表1参数3； (d)—表1参数4.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 优化结果 Table 2 Results of optimization 序号 L/mm v/(mm·s-1) ω/(rad·s-1) 1 1 096.3 0.8 0.9 2 1 095.4 2.7 3 3 929.2 1.2 0.3 4 956.2 0.5 0.3

表 2 优化结果 Table 2 Results of optimization

用表 2中的优化刃磨参数在二并联机床上刃磨螺旋面钻头之后，对测量钻头几何参数进行了比较分析.

图 8所示用表 2中的4组优化刃磨参数刃磨出的螺旋面钻头.

图 8(Figure 8)

Fig. 8

图 8 研磨的螺旋面钻头 Fig. 8 Ground twist drill point(a)—表2参数1； (b)—表2参数2; (c)—表2参数3； (d)—表2参数4.

根据文献[9, 10]提出的方法，对刃磨的钻头几何参数进行测量，其结果如图 9所示，产生误差原因是在加工及测量中存在一定的误差.

图 9(Figure 9)

Fig. 9

图 9 每个组的后角及横刃斜角测量结果 Fig. 9 Measurement results of relief angle and chisel edge angle in each set

通过刃磨实验与测量结果可以看出，优化刃磨参数显著改善螺旋面刃磨性能，并在二并联机床刃磨出符合设计的麻花钻钻型.

1) 本文用二并联机床即可实现满足用户要求的螺旋面钻尖刃磨.二联杆平动机构的两个运动(滑块的平移运动和钻头的旋转运动)就可实现满足渐开螺旋面钻头刃磨需要的运动，螺旋面钻尖刃磨过程不需要大的工作空间并且磨削力相对较小，因此二并联机床能提供足够的工作空间和足够的刚度.

2) 通过用优化的刃磨参数进行螺旋面钻尖刃磨实验，结果验证了用二并联机床刃磨实际螺旋面时，用本文的优化刃磨参数提高了刃磨精度，并满足了用户要求的钻尖后角刃磨几何参数.