在大众需求日益多样化的今天，人们自身的健康问题日益引起关注.结合快速发展的物联网以及信息技术的发展，以日常人体生理状态监测为目标的健康大数据成为新的研究热点，与其相关的日常健康数据的采集、存储、传输与分析，吸引了越来越多的企业和研究机构投身到该领域.

由于日常生活监测数据的大数据特性，在不严重影响数据质量的前提下的数据建模、简化成为该领域的一个研究点.本文在分析了现有的脉搏波数学建模方法后，提出用Lognormal函数模型实现对脉搏波的建模，并对其性能进行了分析对比.

作为人体重要的生理信号，脉搏波是由心脏收缩向动脉射血产生，脉搏波中不仅包含左心室射血产生的“主波峰”，同时包含由于血管分岔等原因引起的反射波.脉搏波的形成机制决定了其有多个波峰和长拖尾的波形特征^{[1, 2]}.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 典型的脉搏波波形 Fig. 1 Typical pulse waveform

脉搏波的波形特性由其波峰的高度与位置，以及脉搏波周期长度决定.为了在不严重影响脉搏波波形特征的前提下，尽量减少脉搏波存储、传输中的数据量，学界提出对脉搏波进行数学建模，以减少数据量^[3].现有的建模方法多使用高斯函数对脉搏波进行拟合，将大量的脉搏波数据简化至几个高斯函数的参数 ^{[4, 5]}，从而在不严重影响脉搏波波形特性的情况下减少数据量.

鉴于高斯函数的对称性及脉搏波长拖尾的生理与波形特性，使用高斯函数的拟合结果有较大误差.因此本文用Lognormal函数模型对脉搏波建模.

在Lognormal函数模型中，用3个Lognormal脉冲函数拟合3个波峰，同时，为了较好体现脉搏波的长拖尾特性，模型中增加第4个Lognormal脉冲函数，以达到较好的整体拟合效果.因此，在Lognormal函数模型中，针对脉搏波中的“主峰波”、“潮波”、“重搏波”以及长拖尾部分，使用“主峰脉冲”(P)、“潮脉冲”(T)、“重搏脉冲”(D)和“拖尾脉冲”(C)4个Lognormal脉冲波进行拟合.

由脉搏波的生理形成机制可知，脉搏波是由左心室射血形成的主波与由此引起的反射波叠加而成的混合波，因此，各个拟合脉冲波的起始时间点有先后顺序；在Lognormal函数模型中，将各拟合脉冲的起始位置进行差异处理，以符合脉搏波生理机制，提高拟合精度.

各波峰形成诱因的先后顺序决定了4个Lognormal脉冲函数的起始时刻，因此，脉搏波可以看成一个分段函数.分别以t_s^P，t_s^T，t_s^D和t_s^C表示4个脉冲函数的起始时刻，则脉搏波(t)可以表示为一个分段函数：

为降低模型中参数的计算复杂度，将单次的多函数拟合简化为多次的单函数拟合；因此，模型的实现包括了模型参数的确定、单步拟合算法、单步拟合基础上的多次拟合.

本文选用Lognormal函数作为脉冲函数表达式.在左心室开始射血，血液进入动脉中时，脉搏波的主峰波就已产生，因此，t_s^P为起始的零时刻，即t_s^P=0.左心室射血结束时，脉搏波达到主波峰，之后主峰波逐渐降低，当血液在血管中流动引起的潮波产生后，脉搏波下降的趋势减缓，直至变为再次上升，即脉搏波的潮波峰；因此，潮脉冲出现的时刻t_s^T应该是脉搏波第一个下降最快的时刻，即脉搏波的二阶导数第一次由负到正的零点.同理，可以确定t_s^D和t_s^C的值.

为简化拟合算法的复杂度，将单个多函数拟合简化为4个单函数拟合，即进行4次Lognormal函数拟合.由于在[t_s^P,t_s^T]时间段内仅有主峰脉冲函数W_P(t)，因此，在该时间段内的拟合仅需一个Lognormal函数的拟合，将脉搏波与拟合结果作差后即可进行后续的多次拟合.

单个Lognormal函数拟合即寻找Lognormal函数的3个参数的最优值，此为非线性最小二乘的寻优问题.实验中选择用于解决该问题的Levenberg-Marquardt(LM)方法来求解.

本文提出的Lognormal函数模型逐次使用“主峰脉冲”、“潮脉冲”、“重搏脉冲”和“拖尾脉冲”4个Lognormal脉冲波对脉搏波进行拟合，每个脉冲的拟合即是一次单步拟合算法的应用.

拟合过程由4次拟合与3次波形差值分解组成，每步均有各自的拟合误差.在本文的模型中，首先在预处理阶段将脉搏波平移到原点，并通过二次差分的方法计算出4个Lognormal脉冲函数的起始时刻.在后续过程中，上一次拟合的输入波形与拟合结果的差值即为下一次拟合的输入波形.拟合过程如图 2所示.

逐次Lognormal脉冲函数拟合的过程与结果如图 3所示，其中X(t)为预处理后的脉搏波，M(t)是脉冲拟合后的剩余波形.由图中纵坐标的变化可知，4次拟合后的误差相对于脉搏波已经足够小.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 Lognormal函数模型中4次单个Lognormal函数拟合步骤Fig. 2 Four times curve fitting of single Lognormal function in the Lognormal function model

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 逐次拟合结果 Fig. 3 Successive fitting results(a)—主峰脉冲拟合； (b)—潮脉冲拟合; (c)—重搏脉冲拟合； (d)—拖尾脉冲拟合.

4次拟合后的整体结果如图 4所示.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 整体拟合结果 Fig. 4 Overall fitting results

通过拟合，将包含大量数据的脉搏波简化成一个12维的向量S，该向量由4个Lognormal函数的参数组合而成，即S=[α_P,β_P,γ_P,α_T,β_T,γ_T,α_D,β_D,γ_D,α_C,β_C,γ_C]，该拟合结果保存了原始脉搏波中的波峰、周期等主要的生理特性，在减少数据量的同时保持了脉搏波的基本波形与特征.

用本文的Lognormal函数模型对开放的脉搏波数据库中的波形数据进行建模，采用通用的指标对Lognormal函数模型的性能进行了分析，并与现有的其他模型进行了对比，以评估该模型的性能.

采用MIMIC-II(multiparameter intelligent monitoring in intensive care)数据库^[6]中脉搏波信号对Lognormal函数模型进行评估，该数据库是由麻省理工学院(MIT)、飞利浦医疗系统，以及以色列狄肯尼斯医学中心联合开发的开放式数据库.

本文采用5个指标^[7]进行性能评估：均方根误差RMSE、模型效率EF、平均差MD、整群剩余系数CRM、最大误差ME.

用Lognormal函数模型对MIMIC-II数据库中的2360个脉搏波进行了检验，并将拟合效果与现有的拟合方法^{[8, 9, 10]}进行了对比，结果如表 1所示.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 4种脉搏波模型的拟合条件和拟合精度 Table 1 Fitting conditions and precision of four models of pulse wave 拟合条件和精度指标 2个Gaussian 函数之和模型 3个Gaussian 函数之和模型 4个Gaussian 函数之和模型 4个Lognormal 函数之和模型 拟合 条件 是否局部 分段拟合 否 否 否 是 参数个数 共6个参数 一次拟合全部 共9个参数 一次拟合全部 共12个参数 一次拟合全部 共12个参数,分4次拟合 一次拟合3个参数 拟合 精度 平均RMSE 0.2120 0.1882 0.1612 0.0179 平均EF 0.6957 0.8112 0.8301 0.9841 平均MD 0.3713 0.0924 0.0995 0.0069 平均CRM 0.0161 0.0092 0.0083 0.0013 最大ME 0.1869 0.1827 0.1831 0.1797

表 1 4种脉搏波模型的拟合条件和拟合精度 Table 1 Fitting conditions and precision of four models of pulse wave

由表 1可知，用4个Lognormal函数进行拟合的Lognormal函数模型具有一定的整体性能优势，同时，该模型的多次单函数拟合使得计算的复杂度大幅下降，成为可以在实时性要求较高的健康大数据日常采集环境中应用的算法模型.

针对健康大数据应用中日常采集的数据量大，以及要求较快处理的特性，本文在分析现有脉搏波数学建模方法的优点与不足的基础上，提出了Lognormal函数模型，实现对脉搏波的建模.实验结果表明，本文提出的Lognormal函数模型能较好地拟合脉搏波，同时满足了在脉搏波数据的存储与传输中，对数据量及计算复杂度等性能的要求.