连铸机开浇时间决策(casting start time decision of continuous caster,CSDCC)问题的核心任务是确定连铸机各待开浇次是否能与前浇次连浇以及具体的开浇时间. 合理确定连铸机待开浇次的开浇时间是编制炼钢-连铸生产作业计划的前提条件.实际生产中,炼钢连铸生产作业计划通常是由调度员人工确定开浇时间后再编制完成,开浇时间的合理性成为制约钢厂生产作业计划顺利实施的重要因素. 因此研究CSDCC问题有重要现实意义.

炼钢厂生产线上铁水／钢水的金属资源量平衡是影响开浇决策有效性的重要条件.近年来,国内外专家学者对炼钢－连铸生产的计划调度问题广为关注,研究取得明显进展^{[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]}.在与连铸机开浇时间相关的研究中,文献[3]设计了一种利用已知铁水量循环迭代计算开浇时间的调度算法;文献[4]从最小电能消耗角度研究了包括连铸机开浇等在内的调度作业时间计算方法;文献[5]提出了在假设某台连铸机开浇时间已知情况下求解其他连铸机开浇时间的方法.然而,在目前研究中大多对影响连铸机按计划连浇的因素进行了简化处理,将研究重点集中在对时间因素进行分析处理的生产作业计划的编制方法方面,未涉及影响开浇时间的生产线上铁水／钢水金属资源平衡各因素与开浇决策的关系,因而制约了炼钢-连铸生产计划调度问题研究成果的现实应用效果.

因此,在综合考虑炼钢厂进铁量、浇铸钢水量、在线安全库存金属量、金属损耗等涉及铁水/钢水的金属资源平衡各因素之间相互关系的基础上,建立了混合整数规划模型,用基于MATLAB软件的YALMIP优化工具对模型求解,并以某钢厂的连铸机开浇决策实例进行模型的应用测试.

炼钢厂一般有若干台连铸机,在进行连铸机待开浇次的开浇决策时,应以决策的综合效益最大化为目标,即从控制生产线上的积压金属量的成本最小和使连铸机的连续化程度收益最大来综合考虑.

生产线上铁水/钢水的金属资源平衡状况会影响连铸机的开浇时间和运行状态.为了量化与金属资源平衡相关的影响因素,用积压金属量及其构成关系式来统一描述:[积压金属量]=[期初在线库存金属量]+[累计进铁量]-[累计浇钢量]-[累计金属损耗量]-[期末在线安全库存金属量].若积压金属量过大,则与开浇决策目标相违背；若小于零,又会危及期末在线安全库存金属量及下一计划期连铸机的连续浇铸.因此，在保证足够的安全库存金属量的情况下,可将积压金属量的下限控制标准设为零.

计划期内累计浇钢量为各台连铸机浇钢量之和,单台连铸机浇钢量分别由前一计划期遗留任务浇钢量和本计划期待开浇次浇钢量构成.

累计金属损耗量与计划期累计浇钢量有关.为简化计算,假设计划期金属损耗系数等于前一计划期已知的金属损耗系数,则本计划期累计金属损耗量可表示为:累计金属损耗量=损耗系数×累计浇钢量/(1-损耗系数).

在线安全库存金属量由平均在线库存金属量和随机变动需求两部分金属量构成.其中,平均在线库存金属量可用公式^[9]“平均库存=平均单位时间产出×平均流程时间”计算;随机变动需求金属量体现了因浇注周期、拉速、流程设备故障等随机变化因素引起的对金属资源的需求大于平均计算值的部分,为简化计算,可依据经验将其取为常数.

对于决策目标中的连铸机连续化程度可以借鉴文献[10]的连续化程度概念来量化描述:连续化程度=各铸机作业时间之和/(开浇铸机数量×计划期).

据此,明确CSDCC问题的决策内容和优化目标.为有利于问题求解,作出如下基本假设:

① 在计划期内,各连铸机待开浇次数量已知,同浇次内不出现非计划停浇现象;

② 计划期进铁总量可预知,各连铸机无优先连浇顺序限制.

为便于描述,定义模型参数、变量及其单位如表 1所示,其中x_ij^k,y_ij^k为决策变量.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 模型参数和变量 Table 1 Parameters and variables used in the model 符号 含义 符号 含义 k 计划期序号,k∈{1,2,…,Ω} sτijk 第k计划期第i铸机第j浇次最小间隔,min i 铸机序列号,i∈{1,2,…,H} rτijk 第k计划期第i铸机第j浇次遗留任务结束时刻,min j 浇次序号,j∈{1,2,…,Nki} pτijk 第k计划期第i铸机第j浇次浇铸周期,min ρ 钢液密度,t·m-3 rsijk 第k计划期第i铸机第j浇次遗留任务平均拉速,m·min-1 η 金属损耗系数,t·t-1 wsijk 第k计划期第i铸机第j待开浇次平均拉速,m·min-1 qo 各炉次平均浇钢量,t raijk 第k计划期第i铸机第j浇次遗留任务断面积,m2 τkA 第k计划期全流程平均物流时间,min waijk 第k计划期第i铸机第j待开浇次任务断面积,m2 τks 第k计划期开始时刻,min rqijk 第k计划期第i铸机第j浇次遗留任务浇钢量,t τke 第k计划期结束时刻,min xijk 第k计划期第i铸机第j待开浇次开浇时刻,min nijk 第k计划期第i铸机第j浇次计划浇铸炉数 yijk 二进制变量,1表示第k计划期第i铸机第j浇次与遗留任务断浇,0表示连浇

表 1 模型参数和变量 Table 1 Parameters and variables used in the model

根据上述描述与分析,建立目标函数及其各指标间的构成关系如下:

式(1)表示目标函数由连续化程度收益减去积压金属量的成本构成,其中:效益系数C₁可从连续化程度提高带来的连铸区域吨钢能源介质、中包耐材、辅助材料等消耗减少,以及劳动生产率提高带来人工成本节约等因素计算得到参考值;成本系数C₂可从炼钢厂统计数据库中的平均吨钢生产成本中因铁水/钢水积压等待所导致的LF工序升温的电耗成本增加关系等计算得出.

式(2)表示连续化程度(Θ^k)等于各台连铸机的遗留任务浇铸时间与待开浇次浇铸时间之和除以H台连铸机总的计划期时间;式(3)表示积压金属量(Q_o^k)分别由该计划期的进铁量(Q_E^k)、期初库存金属量(Q_I^k)、在线安全库存金属量(Q_S^k)、金属损耗量(Q_L^k)、浇钢量(Q_C^k)的关系构成,其中Q_E^k和Q_I^k为已知参数;式(4)表示计划期累计浇钢量等于各台连铸机的遗留任务量与待开浇次浇钢量之和;式(5)表示H台连铸机在计划期内的单位时间平均浇钢量(Q_ca^k)等于累计浇钢量除以计划期长度;式(6)表示当计划期金属损耗系数已知时,累计金属损耗量与累计浇钢量的相互关系;式(7)表示当用单位时间平均浇钢量计算平均在线库存金属量(Q_a^k)时,应该利用金属损耗系数η将其折算成相应数量的铁水量;式(8)表示在线安全库存金属量需要在平均在线库存金属量的基础上加一个随机变动需求金属量(Q_rcon^k).

1) 各待开浇次之间的连浇关系约束:

其中:当决策待开浇次与遗留任务之间是否连浇时,式(9)中

式(9)和式(10)表示当决策待开浇次与遗留任务连浇时,开浇时间点取遗留任务结束时刻,非连浇时取遗留任务结束时刻加上浇次间隔时间至计划期结束某时刻;式(11)表示第k计划期第i台连铸机第j浇次遗留任务量等于该铸机前一计划期计划浇钢量与已浇铸量的差值.

当决策其余各待开浇次之间是否连浇时,式(9)中

式(9)、式(12)表示当决策与遗留任务相邻的其余各待开浇次相互连浇时,该开浇时间点取前浇次结束时刻,非连浇时取前浇次结束时刻加上浇次间隔时间至计划期结束某时刻.

2) 各待开浇次时间与计划期起止时间关系约束:

3) 积压金属量约束:

上述模型中同时包含实数决策变量x_ij^k与0-1决策变量y_ij^k,属于混合整数规划问题.为有效求解,基于MATLAB 7.10软件编程,运用YALMIP R20140605优化工具箱进行模型求解.考虑生产的连续性特征,进行连续计划期的开浇决策问题计算时,需要将前一计划期的在线安全库存金属量与积压金属量之和作为后一计划期的期初库存金属量,并按照式(11)计算前一计划期的遗留任务结束时刻,以便让计算结果能够反映跨越相邻计划期的浇次的时间连续性.

以国内某炼钢厂连铸机开浇决策实际数据为例,进行模型及算法的应用效果检验，并与生产中依据人工经验的实际决策结果进行比较分析.

实例企业有5台连铸机,生产中CSDCC由人工凭经验确定.取3个连续班组的生产数据如下:Q_I1^k=5 909 t，Q_I2^k=5 575 t，Q_I3^k=5 323 t，Q_E^k=2 815 t，Q_rcon^k=290 t，τ_A^k=270 min，ρ=7.1 t/m³，sτ_1j^k=80 min，sτ_2j^k=80 min，sτ_3j^k=90 min，sτ_4j^k=90 min，sτ_5j^k=100 min，C₁=43.5元/1%，C₂=1.8元/t,各班连铸机参数如表 2所示,其中,N_o为铸机号,gr_i为班组号.实际决策的开浇时间甘特图如图 1a所示,将此作为模型比较的基础.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 各班组连铸机参数 Table 2 Parameters of continuous caster in each working shift No nijk rsijk(wsijk) raijk(waijk) gr1 gr2 gr3 gr1 gr2 gr3 gr1 gr2 gr3 cc1 12 12 12 1.50 1.5 1.4 0.4 0.40 0.40 cc2 10 10 10 1.50 1.5 1.5 0.24 0.26 0.26 cc3 12 12 12 0.80 0.8 0.7 0.55 0.55 0.60 cc4 10 10 10 0.55 0.6 0.6 0.49 0.49 0.49 cc5 10 10 10 1.40 1.5 1.5 0.20 0.20 0.20

表 2 各班组连铸机参数 Table 2 Parameters of continuous caster in each working shift

模型实验分两组:一组以班组作业时间为计划期,各班组各台连铸机浇钢总浇次数、进铁量与生产实际相同,简称按班决策;另一组以全天作业时间为计划期,全天各台连铸机开浇总浇次数、进铁量与生产实际相同,简称按日决策.

图 1b是按班决策的开浇时间甘特图.图 1c是按日决策的开浇时间甘特图.表 3是以浇铸时间为依据,按上述相关概念计算出的实际开浇决策与模型决策下的目标值与金属平衡等指标对比表,表中带“*”数值扣除了不满足式(14)积压金属量非负约束部分的计算值.

图 1(Figure 1)

图 1 不同决策方案开浇时间甘特图 Fig. 1 Gantt chart of casting start time determined by different schedules (a)—实际决策； (b)—按班决策; (c)—按日决策.

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 决策目标及金属资源平衡指标对比 Table 3 Comparison of objectives and criteria of metal material balance 指标 实际决策 按班决策 按日决策 gr1 gr2 gr3 标准差 全天 gr1 gr2 gr3 标准差 全天 Z/元 2 549* 179* 1 357 1 185.01 4 085 2 900 2 829 2 908 43.49 8 637 8 691 Θk/% 64.30 84.65 50.65 17.11 66.53 66.67 65.03 66.86 1.01 66.19 66.60 Qok/t -138 -1 946 470 1 256.69 470 0 0 0 0 0 0 QSk/t 3 376 4 059 2 693 683 3 376 3 326 3 390 3 322 38.16 3 346 3 342 QCk/t 4 883 5 963 3 803 1 080 1 4649 4 804 4 905 4797 60.43 14 506 14 488 QLk/t 603 737 470 133.5 1 810 594 606 593 7.23 1 793 1 791 注：表中带“*”数值扣除了不满足式(14)积压金属量非负约束部分的计算值.

表 3 决策目标及金属资源平衡指标对比 Table 3 Comparison of objectives and criteria of metal material balance

针对图 1和表 3的分析如下:

1) 按模型决策的结果在生产稳定控制方面明显优于实际决策.实际决策出现了201 min内5台连铸机的同时浇钢,66 min内仅1台连铸机浇铸的情况，而模型决策在浇铸计划期内始终保持了2台及以上连铸机连浇,生产相对均衡稳定；表 3中实际决策与按班决策的标准差数据对此也有体现.其原因在于:相对于模型决策,为了达到各浇次计划的连浇炉数,实际决策时由于缺乏对生产线上金属资源平衡进行量化计算的手段,班组1和班组2均因提前开启连铸机分别造成了-138 t,-1 946 t积压金属量,即138 t,1 946 t在线安全库存金属量不足,在此基础上班组3延迟开启了连铸机,又使计划期结束时的积压金属量增大.而利用模型决策连铸机的开浇时间时,因提前综合考虑了铁钢资源平衡的影响因素并量化了各因素间的构成关系,有效避免了因开浇时间的不合理而产生的生产不稳定问题.

2) 模型决策在总效益方面优于实际决策.在全天平均连续化程度基本相同的情况下,出现总效益差异的主要原因在于不同决策方式下的积压金属量差异所导致的成本变化,其中,实际决策因为其积压金属量大幅偏离了其控制标准而影响了总效益.

3) 当将模型的计划期时间范围从一个班放宽到一天，并只在全天范围内限定各连铸机待开浇次总数时,模型会在更大时间范围内寻找满足新约束条件的各连铸机、各浇次的优化开浇时间,并同时实现了决策目标及金属资源平衡各指标的进一步优化,体现了模型有较强的参数变化适应能力. 在实际应用中,增大计划期有降低预测进铁量准确性的风险,也可能会影响决策结果的有效性,因此,应该在以日为计划期的决策基础上,以班组作业时间为计划期进行开浇决策的校核计算和调整.

1) 在综合考虑计划期累计浇钢量与期初库存金属量、在线安全库存金属量、累计进铁量、积压金属量相互关系和工艺时间约束等因素的基础上,建立了以CSDCC总效益最大为目标的混合整数规划模型.

2) 根据现实生产中各班次交替的连浇状态与计划连浇炉数相关的特点,设计了将前一计划期的在线安全库存金属量与积压金属量之和作为后一计划期的期初库存金属量的处理方法,并应用基于MATLAB的YALMIP优化工具箱进行模型求解.

3) 某钢厂的应用实例表明,模型可以解决炼钢厂多台连铸机的开浇时间决策问题，在相同条件下与实际决策相比较,可以提高决策的总效益,减少生产线上积压的金属资源量，稳定相邻班组之间的生产条件,为炼钢厂连铸机的有序开浇提供了技术手段.