如何有效降低输电塔-线体系(简称体系)的风致动力响应(简称响应)始终是学者们研究的重点^[1].郭勇^[2]、邓洪州^[3]及李黎^[4]分别采用黏弹性阻尼器(VED)、调谐质量阻尼器(TMD)+VED及铅芯橡胶阻尼器(LRD)对体系响应进行了被动控制；陈波^[5]采用适合于磁流变阻尼器(MRD)的恒定增量(CI)算法对体系响应进行了半主动控制.然而文献[2, 3, 4]中所运用的被动控制对风荷载的适应性较差，故其抑振效果不佳；而文献^[5]中的闭环控制系统(简称系统)没有考虑体系与风荷载的不确定性，故其算出的抑振效果缺乏可靠性.可见，提出用于抑制塔线体系风振的鲁棒控制策略具有重要意义.

鲁棒H₂/H_∞控制可以兼顾H₂和H_∞的性能.王曦^[6]和宋刚^[7]分别提出了适合航空发动机和车辆悬架的H₂/H_∞输出反馈控制策略.由于塔-线体系与航空发动机及车辆悬架有着显著不同，前者在风激励下产生的惯性力很大，因而提出适合塔-线体系的鲁棒H₂/H_∞控制策略具有重要意义.

本文首先提出了适用于MRD的H₂/H_∞_MCO控制策略.然后以±800 kV输电塔-线体系为背景，分别计算了其在无控制、被动控制、CI及H₂/H_∞_MCO控制下的动力响应，获得了一些重要结论，可供类似塔-线体系的抗风设计参考.

采用P-Bouc-Wen模型^[8]模拟MRD的力学性能，其磁流变液在达到流变平衡时所表现出的动力学特性采用如下的一阶滤波器表述：

本文采用Okamura等^[9]提出的双塔双线模型来模拟体系的动力性能.通过对体系的离散并引入Lagrange方程，可得体系平面内振动的质量矩阵M和刚度矩阵K，以及平面外振动的质量矩阵M和刚度矩阵K，分别为

本文提出的多目标鲁棒H₂/H_∞控制策略是设计一个控制器U=Λ(s)Y_cout，使得系统具备以下性质：

假定δ₂=0，可得到系统为

式中：

存在对称正定矩阵ξ使得下式成立：

将矩阵ξ和逆矩阵ξ^-1进行如下的分块，

本文定义的变量替换方程式为

对式(7)左侧矩阵分别左乘矩阵diag(R₂^T,I,I,I,I)和右乘矩阵diag(R₂,I,I,I,I)，可得

对于给定的标量γ₂> 0，且仅当存在正定对称矩阵ξ和B使得下式成立：

对式(13)第二项左边矩阵分别左乘矩阵diag(R₂^T,I)与右乘矩阵diag(R₂,I)，可得

通过以上推导可以得出：若给定的标量γ_∞> 0，常数α > 0，且使得式(11)、式(13)第三项和式(14)存在解和B，则对于系统(5)而言，其优化问题可通过求解下式来解决.

进一步依据式(9)进行奇异值分解便可求得ξ₁₁和ξ_i11，然后依据式(10)反求λ_z，σ_z和ψ_z，并将其分别代入如式(4)所示的控制器，进而得到了满足式(3)的鲁棒H₂/H_∞控制器.

本文在H₂/H_∞控制器中引入分散控制算法^[11]，该算法将系统划分为若干子系统，根据各子系统内测点的速度和位移来对各子系统内的体系响应进行分散控制.采用改进的限幅最优半主动控制算法(MCO)^[12]来计算施加于MRD的命令电压，并将MCO算法整合至H₂/H_∞分散控制器中，形成了H₂/H_∞_MCO半主动分散控制策略.

以白浪河-杨家集±800 kV特高压直流输电塔-线体系为背景，跨越塔(猫头型直线塔)的呼称高为104.4 m，跨越距离为800 m，垂度为79.5 m，两侧耐张塔高60.5 m，水平档距为380 m.输电线路的上层为地线，下层为四分裂导线.该输电塔(跨越塔)的计算模型及尺寸见图 1；足尺MRD的出力及冲程峰值的铭牌标定值分别为20 kN和±30 cm.MRD的优化参数见文献[12].地线和导线的外径分别为19.6 mm和37.3 mm，弹性模量分别为140.7 GPa和65.9 GPa.控制器中的γ_∞²=220，ρ=3.5×10^-6.

图 1( Figure 1)

Fig. 1

图 1 输电塔的计算模型及尺寸 (单位：cm) Fig. 1 Computing model and dimension of the transmission tower (unit:cm)

在杆塔的上塔头(Ⅰ)、下塔头(Ⅱ)、上横担(Ⅲ)、下横担(Ⅳ)、上塔身(Ⅴ)和下塔身(Ⅵ)等区域选取7个(①~⑦)关键点，用于比较各策略的抑振效果.控制方案有：(0) 无控制(简称NC)，杆塔不布置阻尼器；(1) TMD+VED控制，在上横担边缘斜杆上布置4个TMD(每个TMD质量为2.5 t)，在上、下塔头斜杆上分别布置8个和6个VED，在下横担边缘斜杆上布置12个VED；(2) LRD控制，在上塔身斜杆上布置12个LRD，在下横担边缘斜杆上布置8个LRD；(3) CI控制，在上塔头斜杆上布置6个MRD，在上横担边缘斜杆上布置10个MRD，在上、下塔身斜杆上分别对称布置8个和4个MRD； (4) H₂/H_∞_MCO控制，其MRD的布置方案与CI控制的相同.本文采用减振率(方案(0)与方案(i)(i=1,2,3,4)的响应峰值的差值占方案(0)的响应峰值的百分比)来表征方案(i)对体系响应的抑制效果.上横担③点处的脉动风荷载纵向分量模拟时程见图 2.

图 2( Figure 2)

Fig. 2

图 2 ③点的脉动风纵向分量时程 Fig. 2 Time history of fluctuating wind velocity along longitudinal direction at the point ③

分别计算各方案下的系统在风激励下的响应时程和评价指标，结果分别见图 3、图 4和表 1.通过分别计算H₂/H_∞_MCO和CI控制体系的初始刚度在发生±30%扰动时的指标峰值来比较两者的鲁棒性，结果见表 2.

图 3( Figure 3)

Fig. 3

图 3 体系关键点的风致响应时程 Fig. 3 Wind-induced vibration responses time history of key point in the system (a)—上塔头①点的平面外位移； (b)—下横担④点的平面内加速度.

图 4( Figure 4)

Fig. 4

图 4 半主动控制策略的控制力时程 Fig. 4 Control force time histories of the different semi-active control strategies

表 1

Table 1

表 1( Table 1)

表 1 各方案下的评价指标峰值 Table 1 Peak evaluation indexes of the different schemes 指标 (0) (1) (2) (3) (4) J1/(m·s -2) 0.418 0.301 0.342 0.229 0.136 0.404 0.283 0.325 0.216 0.122 J2/cm 8.68 6.25 7.76 4.63 2.65 7.84 5.40 6.98 3.86 2.13 J3/(m·s -2) 0.453 0.346 0.382 0.254 0.168 0.437 0.331 0.369 0.237 0.56 J4/cm 8.04 5.72 7.26 4.09 2.21 7.37 5.16 6.59 3.27 1.85 J5/(m·s -2) 0.373 0.252 0.318 0.195 0.114 0.320 0.216 0.274 0.174 0.105 J6/cm 5.16 3.68 4.52 2.49 1.13 4.57 3.15 4.27 2.06 0.95 J7/MN 11.653 8.27 10.21 5.31 2.92 11.03 8.02 9.83 5.05 2.61 J8/(MN·m) 1218 863 1 060 554 305 1157 839 1024 529 286 J9/kN 12.7 19.8 J 10/cm 21.5 29.2 J 11/(kJ·min -1) 37.13 14.85 J 12 36 84 J 13 64 0 注：表1和表2中，无方框数值和方框内数值分别为平面内、外体系响应峰值.

表 1 各方案下的评价指标峰值 Table 1 Peak evaluation indexes of the different schemes

表 2

Table 2

表 2( Table 2)

表 2 体系刚度发生±30%扰动时的部分指标 Table 2 Part of indexes for ±30% system stiffness perturbed 指标 +30% -30% (3) (4) (3) (4) J1/(m·s -2) 0.258 0.166 0.274 0.173 0.245 0.153 0.257 0.161 J2/cm 4.91 2.87 5.12 2.99 4.03 2.32 4.34 2.48 J7/MN 5.52 3.04 5.68 3.11 5.19 2.83 5.27 2.91 J8/(MN·m) 571 317 590 332 546 294 557 306 J9/kN 12.2 19.3 11.7 19.0 J 10/cm 20.8 28.7 20.5 28.3 J 11/(kJ·min -1) 35.28 13.69 35.02 13.47 J 13 64 0 64 0

表 2 体系刚度发生±30%扰动时的部分指标 Table 2 Part of indexes for ±30% system stiffness perturbed

由图 3可以看出，H₂/H_∞_MCO策略能在整个风激励时程内有效地降低①点和④点的体系响应.由图 4可知，H₂/H_∞_MCO策略下的MRD(安装于杆A)控制力很光滑且无颤振产生.而CI策略下的MRD控制力却发生了两次明显的颤振，这会对其控制性能产生不利影响.

由表 1可知，方案(4)对J₁(①点加速度)、J₂(②点位移)、J₃(③点加速度)、J₄(④点位移)、J₅(⑤点加速度)、J₆(⑥点位移)、J₇(⑦点剪力)和J₈(⑦点弯矩)等指标的减振率比方案(1)，(2)和(3)都要显著；方案(4)的J₉(MRD出力峰值)和J₁₀(MRD冲程峰值)比方案(3)的J₉和J₁₀都要大得多；此外，方案(4)的J₁₁(控制系统每分钟的耗电量)比方案(3)的J₁₁要小得多；虽然方案(4)所需的J₁₂(传感器数目)比方案(3)所需的J₁₂要多，但是方案(4)的J₁₃(计算模态的数目)为零，而方案(3)却需要较多的J₁₃.可见，在上述4种控制方案中，H₂/H_∞_MCO策略的减振效果最好，能使MRD产出接近铭牌值的阻尼力和冲程，且节能性和抗时滞性(J₁₃=0)均较好.

本文提出的H₂/H_∞_MCO半主动分散控制策略对塔体位移、塔体加速度和塔底内力的减振效果比TMD+VED控制、LRD控制和CI控制的效果都显著；H₂/H_∞_MCO策略与CI策略相比，前者不仅利于MRD性能的发挥，且更节能.此外，前者可避免因控制器运算所产生的时滞，且MRD的控制力曲线光滑无颤振，其鲁棒性也要明显优于后者.