近年来，随着光纤传感器的广泛研究与应用，模间干涉型的新型光纤传感器越来越受到各国学者们的关注.基于拉锥结构的模间干涉折射率传感器是其中的一个研究重点.许多波长解调的锥形模间干涉传感器可以利用简单的结构达到较高的折射率测量灵敏度^{[1, 2]}.其原理是通过锥形区域产生的较强倏逝波感知外界折射率的变化，从而改变光纤内传播的模式有效折射率.模式有效折射率的变化引起干涉相位差的改变，表现在光谱上即为波长移动,因此可以通过检测光谱仪上的波长移动来解调折射率变化.目前文献中大多以实验为主，并未研究外界折射率变化引起倏逝波能量变化与模式有效折射率变化之间的影响机理.本文旨在通过理论计算、仿真与实验相结合的方法证明倏逝波对提高折射率测量的灵敏度起着至关重要的作用，明确了倏逝波强度与模式折射率之间的关系.另外，文中基于吸收光谱法模型^{[3, 4]}和光线理论^[5]计算了不同锥区长度以及不同锥径时的倏逝波强度，为优化锥区形状以提高折射率测量的灵敏度提供方向.

为了解释倏逝波是如何影响锥形模间干涉传感器的折射率测量的，首先要知道倏逝波强度与光纤内模式有效折射率的关系.

如图 1所示，光源发出的光在纤芯中传输，通过传感结构的锥形区域时，在纤芯-包层界面发生全反射.但事实上仍有部分以指数衰减的能量渗透到包层中，这部分能量就是倏逝波.将光纤看成中心对称的特殊波导，因此有^[6]

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 锥形模间干涉折射率传感系统结构框图 Fig. 1 Structure schematic of tapered RI sensor based on modal interference

式中：d为纤芯的直径；λ为入射光波长；n_co和n_cl分别为光纤的纤芯和包层折射率；N为包层模式的有效折射率；m是正整数，代表包层模式的阶数；p在TE模式时为0，在TM模式时为1.

当光在锥形区域传播时，由于纤芯逐渐变细，对基模的束缚能力逐渐变弱，当锥区足够细使的值小于截止值0.84^[7]时，纤芯-包层-外界介质三层结构可以简化为包层-外界介质两层结构^[8].由于这种结构的V值陡然增大，基模向多个包层模式耦合，因此在光纤中同时存在多个模式同时传输，有效折射率n_ex < N < n_cl，且锥径越细这种简化越近似，如图 2所示.此时式(1)中的包层和纤芯折射率分别为外界介质和原来包层的折射率.本文中单模光纤取Crning公司SMF-28的参数进行仿真计算，nco=1.468 1，n_cl=1.462 8，周围介质折射率n_ex=1.33,则包层模式渗透到周围介质的能量分数为

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 不同半径的锥形光纤V值在z方向上的分布 Fig. 2 V number distribution along z direction for different taper radius

由此可以得到光纤内模式的有效折射率与倏逝波的关系，如图 3所示.图中给出1，3，5，7，9阶5个模式有效折射率与渗透到周围介质中倏逝波能量的关系.当光经过锥形光纤区域时，倏逝波增强，同时光纤内模式的有效折射率减小.这是模间干涉折射率传感器的内在传感机理.对比各个模式的曲线可知，低阶模式产生的倏逝波强度更大，但是高阶模式的曲线变化率更高，也就是说，当锥形区域产生的倏逝波能量增大相同幅度时，引起高阶模式有效折射率的改变更大，因而可以获得更高的折射率灵敏度.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 各包层模式有效折射率与渗透到包层中倏逝波的关系 Fig. 3 Relationship between effective RI of cladding modes and fraction of evanescent wave

在前文中已经证明了倏逝波强度与光纤内模式有效折射率是成正相关.而模式有效折射率与相位的关系为φ = kNL_in=2πNL_in /λ，其中L_in是干涉长度，k是波数.因此模式有效折射率的变化将直接影响各模式的干涉相位，因而使干涉谱发生漂移.有效折射率变化量越大，漂移量越大，折射率测量灵敏度也就越高.基于Turan Erdogan的三层介质光纤模型^[9]，对占有绝大部分能量的前10个模式间的干涉进行计算，将包层外径R₀=125 μm的单模光纤拉制成R=65 μm的锥形，得到的干涉谱如图 4a所示.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 锥形模间干涉折射率传感器的折射率响应 Fig. 4 Response of external RI for tapered modal interference sensor(a)—包层半径R=65 μm时透射光谱随折射率变化移动；(b)—不同R值对应的波长移动量曲线.

图 4a中干涉谱随着外界折射率从1.33变化到1.41而蓝移.图 4b给出不同直径的锥形光纤传感灵敏度.可以知道，通过改变锥形直径来增强倏逝波，可以获得更高的折射率传感灵敏度.通过优化锥区的轮廓、长度和锥径等参数，增强倏逝波的能量，可以进一步达到提高折射率测量灵敏度的效果，这部分研究将在第二节中介绍.

目前对锥形模间干涉传感器的研究，如文献[1, 2]，为了增强倏逝波强度，实验中都将锥形拉制成细且长的形态，下面利用吸收光谱法和光线理论进行仿真计算验证这种做法的合理性.基于光线理论，假设一道射线入射到锥形光纤的一个横截面上，那么可以用光线与光纤轴的夹角θ和光线在这个横截面上的投影与在入射点处的切线的夹角φ来描述这道光线，而且由文献[3, 4]有θ₁ < θ< θ ₂，φ₁ < φ< φ ₂.式中：θ₁=arcsin[R_rsin(θ_f)],θ₂=arcsin[R_rsin(θ_c)],φ₁=arcsin(R_rsinθ_f/sinθ),φ₂=arcsin(R_rsinθ_c/sinθ).其中θ_f=arccos(n_cl/n_coco)，θ_c=arccos(n_ex/n_co).

当考虑到光纤轴z方向上的变化时，有

对式(3)进行积分，可以得到各角度光线的倏逝波能量总和η_s：

对不同锥径、不同锥区长度和不同锥区轮廓的拉锥光纤计算沿z方向的倏逝波能量分布，结果如图 5所示.从图 5a中可以看出，在长度和轮廓(二次拟合)相同时，中心区直径越细，倏逝波能量的波峰越高，而且带宽越窄；而当中心区直径固定为10 μm，锥区长度不同时，则得到如图 5b的一系列曲线，它们的峰值高度相同，带宽随着锥区长度增加而变宽；当锥区长度和中心直径都相同时，不同的锥区轮廓产生不同的倏逝波分布，见图 5c，可以看出不同的锥区轮廓(指数函数、线性函数、二次函数1-开口相反、二次函数2-开口相对)影响倏逝波能量的带宽.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 不同形态的锥区在z方向上的倏逝波能量分布 Fig. 5 Power distribution of evanescent wave along z direction(a)—不同半径；(b)—不同长度; (c)—不同轮廓.

将η_s在0~L区间内对z进行积分，可以得到锥形区域产生的倏逝波能量百分数：

对图 5a和5b中曲线分别积分得到的结果如图 6和图 7所示.当锥区长度相同时，中心锥径越细，倏逝波能量越高，变化率随着锥径变细而升高，见图 6.当中心锥径相同时，锥区长度越长，倏逝波能量随之线性增强，如图 7所示.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 不同长度锥区产生倏逝波的能量随半径R变化 Fig. 6 Evanescent wave power change with R variation for different taper length

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 不同半径锥区产生倏逝波的能量随长度L变化 Fig. 7 Evanescent wave power change with L variation for different taper radius

下面利用普通熔接机拉制锥形光纤来进行模间干涉结构折射率测量实验.对单模光纤芯模与包层模式干涉的传感结构用熔接机拉制直径为100 μm左右的锥区，将其浸入折射率变化范围为1.33~1.375 7的氯化钠盐溶液中，干涉光谱随折射率变化如图 8所示.可以看出，随着折射率增加，光谱蓝移，这与图 4a中的仿真结果相符.随后制作锥区直径为80 μm左右的光纤传感结构所得波长移动量随折射率变化拟合曲线与100 μm时对比如图 8中右下角插图.可看出锥区直径变细确实使灵敏度有所提高，这也与前文的理论分析相符合.

图 8(Figure 8)

Fig. 8

图 8 模间干涉拉锥结构的透射光谱随折射率移动(插图为锥区直径为100 μm和80 μm的折射率测量灵敏度拟合曲线) Fig. 8 Respose of surrounding RI for the tapered modal interferometer (inset are the fitting lines of different taper diameters)

理论计算出了锥形模间干涉结构产生的倏逝波与模式有效折射率间的关系，并仿真得出随着外界折射率变化而移动的干涉光谱，证明了倏逝波的增强能够提高波长解调型的锥形模间干涉折射率传感器的灵敏度.最后计算了锥形区域在不同轮廓线、不同锥区长度以及不同锥径时的倏逝波强度，得到如下结论：在固定其他参数的情况下，锥区越长、锥径越细时，产生的倏逝波强度越大，不同锥区轮廓产生倏逝波强度大小为二次函数开口相反>指数函数>线性函数>二次函数开口相对，以此为指导来优化锥区形态.