近些年来，网络数据、记录数据以及生物数据等文本数据增长迅速^{[1, 2]}.在文本上进行精确的子串查询是工业界和学术界中的一个常见应用，同时也是子串近似匹配的一个基础操作^{[3, 4, 5, 6]}.BWT(burrows-wheeler transform)是对一个文本数据的等长转换，转换之后的数据便于压缩.该方法广泛地应用于无损压缩领域，例如开源压缩工具bzip.BWT还可以做为一种全文索引来支持快速的子串查询^[7]，该方法被称为BWT反向搜索方法.利用BWT索引进行子串查询的好处是可以同时支持数据的压缩存储和快速查询.

尽管BWT索引可以支持数据压缩，但对于大规模的文本数据构建索引仍需要消耗大量的内存空间^[8].当内存不够时，一些方法选择利用外存来帮助构建索引^{[9, 10]}.然而外存方法要比内存方法效率低几千乃至几万倍.通过对数据集进行划分可以有效地解决空间问题且同样可以支持精确子串查询^[11].但该方法有以下不足：首先，原有方法只支持短串查询，即查询串长度要小于等于一个数据分片的大小.而对于许多应用场景，在构建索引前，用户并不能确定查询串的长度. 其次，现在多核架构已经成为了主流的计算机架构.多核处理器可以提高计算效率，减少计算能耗.结合多核计算资源可以提高子串匹配速度.而原有方法只能在单处理器上工作.本文提出了基于分割的BWT索引的支持任意查询串长度的查询方法；提出了在多核架构下并行的基于BWT索引的精确查询方法.

考虑字符串S[1…n]，其中n是字符串的长度.每个S[i]属于一个有限的字符集Ζ，其中位置i满足1≤i≤n，并且|Z|=σ.

字符串S[i…j]是一个S中从位置i开始到位置j结束的一个子串.当i>j时，S[i…j]代表一个空串.如果i=1，字符串S[1,j]被称为S的一个前缀；如果j=n，字符串S[i,n]被称为S的一个后缀.

为了方便子串比较，一个特殊字符$被添加到字符串S后面，其中字符$小于所有字符集Ζ中的字符.本文用字符串T表示对字符串S$进行转换后的结果.它同样是一个n+1长的字符串.字符串T和S$的区别只是其中字符的顺序不同.

图 1左部分展示了对字符串S=mississippi进行BWT转换的过程.转换后的结果为T=ipssm$pissii.BWT转换的结果串T和后缀数组SA之间的关系如公式(1)所示.

图1(Figure 1)

图1 BWT和P-BWT转换 Fig. 1 BWT and P-BWT transformation

图 1右部分展示了分割的BWT索引(P-BWT)的转换过程.首先将原字符串S分割为长度为l的数据片段.由于该索引将原串分割为长度为l的数据片段，每次只需要将一个数据片段载入内存，进行BWT转换，因此构建该索引的空间复杂度为l×(lbl+lbσ).

给定一个字符串S和一个查询串P，子串精确匹配问题是要找到字符串S上所有精确匹配的子串S[i,j]，其中1≤i≤j≤n.图 2展示了一个子串精确匹配的例子.

图2(Figure 2)

图2 字符串精确匹配问题 Fig. 2 String exact matching problem

首先讨论基于P-BWT的精确长串匹配算法.然后基于P-BWT索引，提出子串精确匹配算法.

假设查询串P的长度为m.P-BWT的分片长度为l.文献[11]讨论了短串精确匹配的方法，即当m≤l时的情况；本节讨论长串的精确匹配方法，即当m>l时的情况.图 3展示了一个长查询串精确匹配的情况.

图3(Figure 3)

图3 长串精确匹配情况 Fig. 3 A long substring matching case

当一个查询串的匹配子串跨越了多个数据分片S_i,S_i+1,…,S_i+k时，本文方法的思路如下.首先在其匹配的最后一个分片S_i+k上进行查询，找到与查询串P的一个后缀P[j_k+1,m]相匹配的字符串S_i+k的前缀，然后在S_i+k-1分片上进行反向扩展验证，判断是否该查询串子串P[j_k-l+1,j_k]与整个分片S_i+k-1相匹配.如果该匹配没有结束，则在之后的分片S_i~S_i+k-2上进行同样的操作来验证该查询串P的其他子串.整个过程在验证到P的开始位置结束.

综合上述匹配场景分析，基于P-BWT的子串精确匹配算法分为两个步骤：步骤1是反向搜索每个分片上的查询串的候选者；步骤2是反向验证后一个数据分片搜索的待验证候选者.算法1给出了具体的算法执行过程.

算法1 ExactMatch(I_S,P)

输入： I_S为字符串S的P-BWT索引,P为查询串.

输出：A为P在S上的所有精确匹配子串.

1) 初始化结果集合A=Ø,

2) For //从后向前循环分片

计算步骤1 BackwardSearch,

3) 在数据分片I_Sⁱ上反向搜索查询串P的候选者集合C,

4)    For 每个候选者c∈C

5)         If c=P //验证候选者

6)             A←c

7)         Else If c 是S_i的前缀

8)              将该候选者c记录在I_S^i-1的待验证列表中;

计算步骤2 BackwardVerify,

9)          If i < n

10)          While I_Sⁱ⁺¹分块待验证列表L_c非空

11)             取出一个候选者反向验证.

步骤1 算法反向搜索每个数据分块I_Sⁱ上该查询串P的后缀串，其中1≤i≤n，见算法1中行3).当以下两种情况满足时，算法将该匹配串看作是P的候选者：①当该匹配串结束于查询串的第一个字符；②当该后缀结束于当前数据分片开始位置.找到每个分块上的候选者之后，算法将对每个候选者其进行验证并将满足条件的候选者记录在结果集中，见算法1中行6).如果该数据分片无法完成全部验证，即该匹配跨越了两个或多个数据分片，它将该候选者记录在其前一个数据分片I_S^i-1的待验证列表中，见算法1中行8).

步骤2 算法反向验证候选者.该过程检查验证列表中的每个候选者，见算法1中行10)和11).验证过程中会有3种情况发生：①当该候选者等于查询串，算法将保存这个候选者到结果集中；②当该候选者验证出错，算法将直接丢弃该候选者；③当该分片仍然无法完成验证时，即该分片跨越了多个数据分片，算法将保存该候选者到其前一个数据分片I_S^i-1的待验证列表中.

该算法的时间复杂度为，其中o为该子串在数据串S上出现的次数，n为该数据串长度，m为查询串长度，l为数据分片大小.

本节讨论如何在多核架构下更高效地完成匹配任务.根据基于P-BWT索引的精确匹配算法，本文将并行任务分为两种:一种是反向搜索，一种是反向验证.其中对于一个数据分片来说，反向搜索只需执行一次，而反向验证需要迭代多次完成.每次验证一组候选者.

图 4展示了P-BWT索引在多核环境下的索引架构.处理器上的每个核可以选择进行两种操作：反向搜索和反向验证.当一个处理器核完成对当前数据块的计算，它将由外存换入新数据块到内存.并在新的内存块上重复上述过程.

图4(Figure 4)

图4 多核P-BWT索引框架 Fig. 4 Multi-core P-BWT index framework

由于候选者只有在反向搜索后才能产生，因此一个简单的策略是将两个操作的执行分成两个阶段：第一阶段，各节点只处理反向搜索；第二阶段节点只处理反向验证.

两阶段策略存在一些问题和不足.首先，反向验证只能在反向搜索之后开始，影响整体并行性；其次，对于同一个数据，迭代地进行反向验证操作可能需要对该数据块换入多次,将会影响系统的执行效率.最后，如果一个数据块后面的数据块完成了所有计算工作，那么对于当前数据块就不会有新的候选者.因此一个好的验证策略应该减少等待时间，减少迭代次数，并且最右侧数据块优先.

为了充分利用多核资源，减少迭代次数，一个好的执行顺序至关重要.根据3.1节并行策略的分析，本节给出了一个基于权重模型的多核并行匹配算法.

首先系统将每个数据块和每种操作绑定作为键值<I_Sⁱ,opt>，也称为一个操作块，其中I_Sⁱ是一个数据块的索引，而opt是反向搜索和反向验证两种操作中的一种.而它们的权重是对该数据块上该操作计算量的一个估计.对于反向搜索操作来说，该权重为在该数据块上预估的匹配数；而对于反向验证操作来说，该权重为该数据块的候选者数量.权重相同时编号大的数据块优先.

为了实现右侧数据块优先，在系统上维护一个令牌，获得令牌的数据块表示它的右侧数据块已经完成所有计算任务.令牌从数据块最后的数据块开始向前传递.获得令牌的数据块优先进行计算.

算法2给出了多核架构下的基于P-BWT的匹配算法.首先系统初始化权重列表，此时所有数据块的权重相同.然后将令牌放到最后一个数据块并更新其权重，见算法2中行3).然后并行地在每个处理器核上选择一个权重最高的操作块I_Sⁱ,opt，在数据块I_Sⁱ上执行相应操作opt，见算法2中行5)和6).在做完反向搜索后如果该分片有待验证候选者则应立即进行检查验证，从而减少换入次数，见算法2行8).如果该数据块获得了令牌，则将令牌传递给他前面的数据块.在该轮操作结束后更新该操作块权重，见算法2行13).

算法2 ParallelMatch(I_S,P)

输入： I_S为字符串S的P-BWT索引,P为查询串.

输出：A为P在S上的所有精确匹配子串.

1) 初始化结果集合A=Ø,

2) 初始化权重列表,

3) Token=并更新对应操作块权重,

4) 在多核并行执行以下操作,

5)     选择一个score[I_Sⁱ,opt]最高的操作块,

6)     在I_Sⁱ上执行操作opt,

7)      If opt=BackwardSearch

8)     在I_Sⁱ上执行操作BackwardVerify,

9)   If i=Token

10)      Token=Token-1,

11)    If Token=0

12)         结束过程,

13)     更新权重块I_Sⁱ,opt.

硬件环境：Intel Core 4核处理器,主频2.93 GHz，内存8 GB；软件环境：Ubuntu操作系统，C++ version 4.45.本文在两个真实的数据集上评价所提出的方法.

1) 英文数据集： 英文数据是从Gutenberg项目中获取的，包含了1 GB的英文文本，字符集大小为236 B.

2) DNA数据集：DNA序列是从UCSC golden path项目中获取的，包含了1 GB的基因序列，字符集大小为5 B.

实验随机选取100个字符集中的子串作为查询串，并计算平均的查询时间.本文用经典的BWT索引方法作为基准方法，对采用不同大小分片的索引构建内存开销和子串查询性能进行了对比.

图 5展示了在英文数据集上的实验结果.其中图 5a比较了在英文数据集构建BWT索引和P-BWT索引的内存开销.P-BWT的内存开销远小于BWT的内存开销.随着数据分片大小的增加，P-BWT的内存开销上升.图 5b比较了在所构建索引上的查询时间.随着数据分片大小的增加，查询时间先减少后增加，在分片大小为16 MB时达到最小.利用多核计算可以进一步提高查询速度.平均提高速率接近最优的4倍.图 5c 比较了在不同长度查询串上的查询时间.查询时间首先随着查询串长度增加而减少，在超过10³之后随长度增加而增加.该结果符合2.2节对子串查询的时间复杂度分析.

图5(Figure 5)

图5 英文数据集实验结果 Fig. 5 Experiment results of English dataset (a)—不同数据分片大小下内存开销； (b)—不同数据分片大小下查询时间; (c)—不同长度的查询串的查询时间.

图 6展示了在DNA数据集上的实验结果.其中图 6a比较了在DNA数据集构建BWT索引和P-BWT索引的内存开销.和英文数据集类似，构建索引的开销也随着分片大小的增加而增加.图 6b比较了不同长度的数据分片下各算法的查询时间.查询时间的最优值同样出现在分片大小为16 MB时.在DNA上的查询时间要比在英文数据集上的时间长，这是因为DNA字符集较小，因此子串的重复率高.大量的时间消耗在定位每个匹配的位置上.图 6c比较了在查询串长度改变的情况下查询时间的变化情况.查询时间同样先减小后增加，查询时间的最小值出现在查询长度为10⁴时.

图6(Figure 6)

图6 DNA数据集实验结果 Fig. 6 Experiment results of DNA dataset (a)—不同数据分片大小下内存开销； (b)—不同数据分片大小下查询时间; (c)—不同长度的查询串的查询时间.

1) 本文提出了在有内存限制环境下利用P-BWT索引进行长串匹配的方法.该方法可以支持任意长度的精确子串查询.

2) 分析了多核环境下的并行匹配策略，并在此基础上，提出了一个多核并行子串精确匹配算法.该算法既保持了原方法的空间开销小的优势，又发挥了多核优势，提高了原方法的查询效率.

3) 在真实数据集上对所提出的算法进行了实验测试，验证了本文提出的算法在空间和时间上的高效性.