球头铣刀是三维曲面加工的主要刀具，而其铣削力不仅是反映铣削加工过程的重要物理量，也是铣削加工研究的基础.因此球头铣刀铣削力的预测研究具有重要意义.

关于球头铣刀铣削力的研究,Lee等提出了根据正交切削数据预测三轴加工时球头铣刀的铣削力方法，他们建立的微元切削力模型，作为切削力预测的基础沿用至今^{[1, 2, 3, 4, 5]}.而近年来随着多轴加工的广泛应用，多轴加工的铣削力预测研究自然成为了国内外学者研究的重点.但这些多轴铣削力预测研究中仍以正交车削或三轴槽铣实验作为辨识铣削力系数的方法，这些方法需要经过大量的实验才能获得铣削力系数，而且铣削力系数辨识实验与多轴铣削加工的工况相差较大^{[4, 5, 6, 7, 8, 9]}.鉴于此，本文面向多轴铣削加工的铣削力预测，提出利用准确的坐标计算来实现基于瞬时铣削力的球头铣刀铣削力系数辨识.

建立铣削过程中刀具的瞬时坐标系，如图 1所示.在加工过程中，刀具坐标系相对于工件，其位置和位姿时刻变化；而工件坐标系o_w-x_wy_wz_w相对于工件的位置和位姿则保持恒定不变.而且数控程序中的加工原点、刀具轨迹(坐标值)等都是在工件坐标系下定义的.因此本文采用刀具坐标系在工件坐标系下的位置和位姿来描述刀具的位置和位姿(见图 1)，分别记为向量[x^w y^w z^w]^T和[n_x^w n_y^w n_z^w]^T.

图1(Figure 1)

图1 刀具坐标系和工件坐标系 Fig. 1 Coordinate systems of cutter and workpiece

根据图 1中的关系可以看出x_c轴平行于x_wo_wy_w所在的平面，因此刀具的瞬时坐标系o_c－x_cy_cz_c和工件坐标系o_w－x_wy_wz_w的变换可由角度λ和γ来表示，相应的其坐标变换矩阵可表示为

式中：_c^wP_i为平移变换；_c^wR_i为旋转变换.

式(3)中λ和γ可分别由式(4)和式(5)计算得到.

式(3)和式(4)中

对于铣削力系数的辨识，其本质就是根据测量的铣削力和预测铣削力模型，逆解得到切削力系数，因此建立准确的铣削力模型至关重要.本文沿球头铣刀的切削刃离散建立切削刃微元示意图，如图 2所示.

图2(Figure 2)

图2 切削刃微元切削力示意图 Fig. 2 Schematic diagram of each cutting edge discrete element force

图中：ω为刀具的转速(rad/s)；R为刀具的半径(mm)；φ_j为切削刃微元点的圆周位置角(rad)；κ为切削刃微元点的轴向位置角(rad)；dS为切削刃微元长度(mm)；db为切削刃微元宽度(mm)；t_n为切削刃微元法向未变形切削厚度(mm)；dF_t，dF_r，dF_a分别为切向、径向、轴向微元力分量(N)；θ_j为切削刃j的位置角(rad)；ψ为切削刃微元点的螺旋滞后角(rad)；ψ₀为球头和圆柱结合位置的切削刃螺旋滞后角(rad).

本文采用文献[1]所提到的切削力模型：

式中：K_te，K_re，K_ae分别为切向、径向、轴向犁耕力系数(N/mm)，一般为常数；K_tc，K_rc，K_ac分别为切向、径向、轴向的剪切力系数(N/mm²).

将刀具切削刃微元的切削力模型，即式(7)，变换为刀具坐标系o_c－x_cy_cz_c下的向量形式：

式中：dF_j为切削刃j的微元切削力在刀具坐标系下的向量表示；T_j为切削刃微元切削力向刀具坐标系轴进行投影变换的变换矩阵，

由式(8)积分、求和可得

式中：N为刀具齿数；ψ_j^up，ψ_j^low分别为刀具切削刃j的切触区间边界.

式(8)~式(10)描述了刀具的整体铣削力模型，但为了真正实现微元切削力的积分和求和，还需要针对切削刃微元的切削弧长dS，切削宽度db和瞬时未变形切削厚度t_n等进行积分变换.

根据图 2所表示的几何关系可将刀具球头部分的切削刃曲线描述为

式中：

其中，β为球头铣刀的螺旋角.

根据图 2的几何关系，切削宽度可表示为

切削刃微元的切削弧长dS可通过对切削刃曲线表达式的向量形式r(κ)求导获得

对于式(7)中的瞬时未变形切削厚度t_n，在三轴加工的情况下相关文献研究^[6]已给出了相应的表达式.但对于多轴加工，由于刀具的位置和位姿(刀轴方向)时刻改变，需要更为广义的计算方法.本文从切削刃微元点的坐标位置出发，可将瞬时未变形切削厚度t_n表示为

式中：_c^wT_i，_c^wT_i+1分别为刀具轨迹相邻两离散点处刀具坐标系到工件坐标系的坐标变换矩阵，即式(1)，其中相邻离散点的距离等于每齿进给量；n_j为刀具球面上切削刃微元点处的单位法矢量,

根据以上的分析和变换，可得到刀具整体铣削力：

式中，κ_j^up，κ_j^low为切削刃j的切触区间边界.

由于犁耕力系数K_te，K_re，K_ae为常数，而剪切力系数K_tc，K_rc，K_ac是与切削刃微元点位置有关的函数，因此可将剪切力系数表示为切削刃微元点轴向位置角κ的多项式函数：

结合式(17)和式(18)可改写得到铣削力系数辨识模型的基本形式为

式中：F_t^experimental为t时刻测量得到的铣削力；F_t^simulated为t时刻的预测铣削力；A_t为t时刻的辨识系数矩阵；K为待辨识的系数矩阵；G为刀具坐标系到测力仪坐标系的坐标变换矩阵.

式中，φ_r为刀具坐标系到测力仪坐标系之间绕z轴的旋转角度(rad)，φ_r=φ_r1+(t－t₁)ω.

由式(19)~式(21)可以看出在t时刻只能构成3个方程，属于不定方程组.为了求解得到铣削力系数，可按时间离散，取多个时刻的铣削力系数辨识模型构成整体的辨识模型为

式(23)的求解可参考文献[10]中的最小二乘法求解得到.在求解过程中，为了保证测量铣削力和预测铣削力在时域上的匹配，需通过迭代方法寻找时刻t₁所对应的各切削刃位置角θ_j和测力仪坐标系位置角φ_r1.其中，目标函数为

为验证本文铣削力系数辨识方法的正确性与可靠性，设计球头铣刀加工45号钢的铣削加工实验.实验在DMU 50五轴加工中心上进行，铣削力通过Kistler 9123C1111压电测力平台采集，如图 3所示.加工材料为45号钢，硬度32HRC.刀具为钨钢球头铣刀，含涂层(ALTiN)，其具体参数见表 1.所有实验，采用单向刀具轨迹，主轴转速1 592 r/min，切深0.525 mm，进给速度238.8 mm/min，铣削力的采样频率为4 776 Hz.

表1(Table 1)

表1 球头铣刀的刀具参数 Table 1 Parameters of ball-end milling 类别 数值 类别 数值 锥角/(°) 0 45°处的端刃法前角/(°) 5 球头半径/mm 3 周刃前角/(°) 5 直径/mm 6 刀具螺旋角/(°) 30 刃长/mm 12 45°处的端刃法后角/(°) 5 刀长/mm 50 周刃后角/(°) 10 齿数 2 第一后角面宽/mm 0.4

表1 球头铣刀的刀具参数 Table 1 Parameters of ball-end milling

图3(Figure 3)

图3 实验平台 Fig. 3 Experimental platform

图 3为实验的工件形状，以及加工的效果，图 4为测量得到的铣削力数据.根据图 4中的数据和铣削力系数辨识模型，利用最小二乘法估计得到铣削力系数如下：

图4(Figure 4)

图4 铣削力实验数据 Fig. 4 Measured milling forces

将辨识得到的铣削力系数代入式(17)所描述的铣削力模型中，仿真计算新铣削形状(如图 3所示)时的铣削力.将仿真计算的铣削力与实验测得的铣削力进行对比，对比结果如图 5所示.

图5(Figure 5)

图5 仿真计算的铣削力与实验测得的铣削力 Fig. 5 Measured and simulated milling forces

图 5中仿真计算得到的铣削力与实验测得的铣削力在数值上存在一定的偏差.分析其原因，测量过程中存在一些未知的干扰信号：①刀具的制造精度；②工件的精度、表面质量等；③切削过程中的振动；④测力仪系统中存在电荷漂移. 忽略具体数值的偏差，仿真铣削力和测量铣削力在波形和幅值上吻合情况比较理想，从而可证实本文方法的正确性和可靠性.

1) 通过建立铣削过程中刀具的瞬时坐标系来准确描述多轴加工中刀具的位置和位姿，从而进一步建立了面向多轴铣削加工的铣削力模型，并给出了铣削力模型中切削刃微元的切削弧长、切削宽度和瞬时未变形切削厚度的数学模型.

2) 根据铣削力模型推导了基于瞬时铣削力的球头铣刀铣削力系数辨识模型，从而可以在少量实验数据基础上辨识得到刀具的铣削力系数.

3) 通过相关实验和仿真计算可以看出，仿真结果和实验结果具有较高的吻合度，验证了文中球头铣刀铣削力系数辨识方法的正确性和可靠性.