同步现象普遍地存在自然界和人类生活中^[1-2].在1953年，Blekhman^[3]首先提出了双机驱动振动机的同步理论.我国学者闻邦椿^[1-2]将同步理论应用到工程中，并且创建了振动利用工程这一学科.目前同步理论的研究方法主要有两种，分别为直接运动分离法^[3-5]和小参数平均法^[6-11].

振动系统的同步实质上是机电耦合的过程，振动系统的运动状态很大程度上取决于电机参数和振动系统结构参数^[6-11].现有文献对同步过程分析是基于理想状态下，部分文献仅对激振器(偏心转子)质量矩不同时的同步力矩和稳定性作了分析，而对相位差的变化并未讨论^[10-11].系统的相位差决定机器的运动轨迹，是工程上最重要的考核指标.为了更好地研究振动同步过程，进一步阐释和完善系统耦合动力学特性，本文通过仿真与试验方法从系统参数不对称的角度对振动系统同步过程进行研究.

图 1为双机反向回转驱动振动系统的动力学模型，由振动台m以及两激振器m₁和m₂组成.弹簧对称地安装在固定架上并支撑着振动台m，同时m₁和m₂对称地安装在振动台m左右两侧.

图 1(Fig. 1)

图 1 双机反向回转振动系统的动力学模型 Fig.1 Dynamic model of the vibration system with two motors rotating in the opposite directions

由动力学模型可知，振动台可产生3个自由度的运动，分别为水平方向x的运动，竖直方向y的运动和绕质心o摆动方向ψ的运动.两激振器分别绕电机轴旋转，需要2个角度φ₁和φ₂来确定位置，见图 1.因此，振动系统有5个自由度.应用拉格朗日方程，选择x，y，ψ，φ₁和φ₂作为广义坐标，得到振动系统的运动方程如下^[6-11]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：M=m+m₁+m₂为振动系统的质量；J为振动系统的转动惯量；J_i≈m_ir²为激振器的转动惯量；k_j为弹簧的刚度；f_j为阻尼系数；T_ei为电机的电磁转矩；f_i为电机轴的摩擦系数；l_i为激振器旋转中心与振动台m质心之间的距离；β_i为激振器旋转中心与振动台m质心连线与水平方向的夹角；i=1,2，j=x,y,ψ.

感应电机的电磁转矩公式^[12]为

(6)

式中:n_N为电机的额定转速；T_max=K_TT_N为电机的最大转矩；为电机的临界转差率；T_N，s_N和K_T分别为电机的额定转矩、额定转差率和过载系数.

双机驱动振动系统是由感应电机、电机驱动的激振器(带有偏心块的转子)和振动体三部分共同组成.首先电机由电源供电并输出转矩和转速，电机轴带动偏心块作旋转运动；接着偏心块旋转过程中产生惯性力；然后惯性力合力作用于振动体上，振动体产生相应的响应；由于电机固定在振动体上，偏心块将随机体一起运动；最后机体的运动影响偏心块绕电机轴的旋转运动，体现在电机负载转矩的变化，同时负载转矩的变化也会导致电机输出转速的变化.如此反复，所以振动同步过程是电机不断调整转矩和转速的过程.

研究振动系统的自同步过程实质上是研究两电机的转速和激振器间相位差的变化规律^[6-11].如果振动系统的物理参数条件和结构尺寸条件完全对称，在振动系统运行过程中两电机将一直处于同步状态，且它们的相位差将一直为0，转速和转矩将保持相等，水平方向和摆动方向的振幅将为0.实际上，电机的参数、电机的安装位置、偏心块的质量等不可能完全一样或对称，振动系统必然会发生从不同步到同步的过渡过程^[1].

如图 2所示，本文采用Matlab/Simulink软件对双机反向回转驱动振动系统自同步过程进行数值仿真，仿真参数见表 1.图中电机1和电机2模块是根据电机的电磁转矩公式(6)建立，激振器1和激振器2模块是根据式(4)和式(5)所建立，振动体模块是根据式(1)，式(2)和式(3)建立.根据前面自同步过程的分析，接下来分别研究电机、激振器和振动体三部分对振动系统同步运动的影响.

图 2(Fig. 2)

图 2 振动系统的Matlab/Simulink仿真模型 Fig.2 Simulink model of the vibration system

表 1(Table 1)

表 1 振动系统仿真参数 Table 1 Parameters of the vibration system 主要参数 单位 数值 振动系统质量M kg 300 振动系统转动惯量J kg·m2 35 激振器质量(r=0.05 m)m kg 4 方向弹簧刚度kx=e N/m 154 000 方向弹簧刚度kψ N/(rad·m-1) 6 000 方向阻尼系数fx=fy N/(m·s-1) 540 方向阻尼系数fψ N/(m·s-1) 440

表 1 振动系统仿真参数 Table 1 Parameters of the vibration system

由于制造和安装过程中或多或少存在着误差，振动机械所采用的两台电机型号即使相同，其几何和物理参数也不可能绝对相同.

如图 3所示，初始阶段两电机的供电频率均为50 Hz，并且电机2晚于电机1 3 s后起动.因为电机1先行启动，电机2停止不动，两激振器间的相位差(2α=φ₁－φ₂)迅速变大，最终相位差2α在(-180°，180°)之间振荡.在3 s后电机2供电，两电机经过数个周期后，两电机的转速稳定在996 r/min左右.在电机2追赶电机1的过程中，由于两电机转速差的减小，其相位差也逐步减小，最终两激振器实现零相位差的同步运动.这证明了初始速度和相位并不影响系统最终状态.

图 3(Fig. 3)

图 3 电机参数不同时的转速与相位差 Fig.3 Rotational velocity and phase difference of different motor parameters (a)—两电机的转速； (b)—两激振器间的相位差.

振动同步传动是切断同步运动的两电机中的一台电机的供电电源，两电机由原来的同步状态过渡到新的同步状态^[1].在25 s时切断电机2的供电，由于只有一个电机输入能量，两电机转速快速下降，最终稳定在992 r/min.因为振动系统是通过调节相位差来进行能量分配的，其将电机1的驱动力矩传递给电机2来克服电机2的负载力矩，此时相位差增加到21.5°.

电机物理特性的不同和供电电源的波动及差异均会导致电机稳态转速的变化.在40 s时，电机2的电源导通并且将供电频率调成49 Hz，两电机的转速在986 r/min附近稳定运行，此时相位差为48.7°，小于90°满足同步条件.

如图 4a所示，将激振器1的质量减小到40%，则相位差在40，45和50 Hz供电频率下分别是14.2°，12.3°和11.5°.如图 4b所示，将l₁减少0.4 m，则相位差在40，45和50供电频率下分别是17.6°，16.4°和15.5°.从仿真结果可知，激振器质量大的相位落后质量小的相位，激振器回转中心至机体质心距离大的相位落后距离小的相位.随着供电频率的增加，相位差逐渐减小，这是因为随电机转速的增加激振器产生的惯性力在增加，同步力矩(也称俘获力矩)也在变大^[1].质量不同的相位差变化幅度大于距离不同的相位差变化幅度，这是因为激振器质量的变化直接影响其惯性力的变化^[10-11].

图 4(Fig. 4)

图 4 结构参数不同时的相位差 Fig.4 Phase difference of different structure parameters (a)—两激振器质量不同； (b)—两电机安装位置不同.

由前面三组仿真分析可知，电机参数、安装位置、激振器质量三部分中任一部分或多部分出现不相等或不对称，两激振器之间的相位差必不为零.在实际过程中，由于制造精度和装配误差等原因难以保证两激振器间的相位差为零.当出现较小相位差时，而振动机械的结构因为出厂后无法改动或者激振器难以调节成完全相等的情况，此时只有调节电机的供电频率较为容易.可通过调节两电机的供电频率来改变转速进而使相位差趋于零.

根据2.1节电机部分的分析可知，根据相位差的正负可以判断出两个电机中哪个电机相位超前.可根据实际情况选择增大相位滞后电机的供电频率或者减小相位超前电机的供电频率.因为改变供电频率会导致同步转速稳定在新的状态下.如图 5a所示，将l₂减少0.1 m，系统运行稳定后激振器1相位滞后于激振器2接近8.5°.在30 s时，将电机1的供电频率提高0.25 Hz，当系统再一次稳定时相位差趋于零.图 5b为振动系统水平方向的振幅，由于相位差的存在，两激振器所产生的惯性力在水平x方向无法抵消进而导致水平方向上机体产生振动.当30 s后相位差趋于零时，水平方向的振幅也趋于零.

图 5(Fig. 5)

图 5 强制同步的相位差和响应 Fig.5 Phase difference and response of forced synchronization (a)—两激振器间的相位差； (b)—水平x方向的振幅.

图 6为双机振动试验台结构由固定架、弹簧、振动台和两台振动电机组成.图中1，2为光电转速传感器，型号为MM0360，使用丹麦B＆K公司3650D前端来采集两台电机的转速.

图 6(Fig. 6)

图 6 振动试验台 Fig.6 Vibration test machine

图 7所示与2.1节仿真条件一样，首先两电机供电频率均为50 Hz，接着电机2晚于电机1 3 s后起动，然后在30 s附近断掉电机2的电源，最后在45 s附近让电机2在49 Hz供电频率下运行.两台电机三种情况下稳定运行时的平均转速分别为995，991和984 r/min，平均相位差分别为2.9°，20.3°和46.5°，这与仿真结果较为接近.从试验数据可知，两电机转速接近时波动最大；其次是不同供电频率情况，单电机供电情况下波动较小，这一现象从相位差曲线上也可以观察到.因为系统受到外界干扰后会有相位差产生，此时同步力矩就会起作用，体现在两电机的负载转矩上.同步力矩会施加负载力矩在相位超前的电机上，同时施加驱动力矩在相位滞后的电机上^[6-11].断电前，由于相位差较小，同步力矩也较小，两台电机受电网波动等原因，最终导致电机转速波动频繁.断电后，只有一个电机在驱动系统，所以电机转速波动较小.不同频率供电下，因为两电机转速不同，同步力矩始终施加负载力矩在频率高的电机上，同时施加驱动力矩在频率低的电机上.图 7中所示不同供电频率下电机2的稳态转速已经大于其同步转速994 r/min，所以在满足同步条件下，在一定供电频率差情况下，两台电机仍然能实现同步运动.

图 7(Fig. 7)

图 7 振动台自同步过程试验结果 Fig.7 Experimental results of self-synchronous process

为了验证仿真结论的正确性，进行两组不同结构参数的试验.首先将激振器1的激振力调到40%，将激振器2的激振力调到100%，进行偏心块质量不同的试验.然后将两 激振器的激振力调到70%，接着将电机1安装在振动台中间位置，进行安装距离不同的试验.上面两组试验结果如表 2所示.

表 2(Table 2)

表 2 相位差的仿真与试验结果对比 Table 2 Phase differences comparison between simulation and experiment (°) 供电频率/Hz 偏心块质量不同 电机安装位置不同 仿真 试验 仿真 试验 40 14.2 14.0 17.6 18.7 45 12.3 12.5 16.4 18.2 50 11.5 11.6 15.5 17.4

表 2 相位差的仿真与试验结果对比 Table 2 Phase differences comparison between simulation and experiment

1) 通过建立振动系统的动力学模型以及电机的电磁转矩数学模型，将振动系统的自同步过程考虑成由电机、激振器和振动体三部分共同作用的机电耦合过程.

2) 通过试验和仿真的分析，电机部分对自同步过程的影响最为重要，其次是激振器部分，最后为振动体部分.

3) 两电机的初始速度和激振器间的初始相位差并不影响自同步过程；在满足同步性条件下，两电机不同供电频率也可实现同步；激振器质量大的相位滞后质量小的相位；激振器回转中心至机体质心距离大的相位滞后于距离小的相位.

4) 在相位差较小的情况下，可以采用两电机不同频率供电的方法来使相位差趋于零.