2017, Vol. 38
2. 中国兵器科学研究院, 北京 100089
2. Ordnance Science and Research Academy of China, Beijing 100089, China
目前, 常用的机械系统可靠性分析方法常假设不同失效模式之间是相互独立的, 或者用最薄弱环节代表系统可靠性水平, 所得到的可靠性分析结果与实际值存在较大偏差.这些方法一方面忽略了机械系统中存在的失效模式相关性, 难以准确评估系统可靠性水平; 另一方面无法提供失效模式或设计参数的重要度信息, 难以有效识别影响系统可靠性的关键失效模式或设计参数.可以将这两方面的问题归结为系统可靠度计算问题和可靠性灵敏度分析问题.
在系统可靠度计算方面, 可以采用蒙特卡洛法及其改进方法[1-2]获得精确的可靠度结果, 但这类方法的主要问题在于计算成本太高, 不适合工程应用.界限法及其改进方法[3-4]能够给出系统可靠度的上下限, 但这一方法在多数情况下仅适用于串联系统可靠度计算, 且在失效模式较多或失效模式相关性较强时, 给出的上下界限会明显变宽.鉴于这两类方法的不足, 一些计算效率高、易于实现的系统可靠度计算近似方法得到了发展, 主要包括基于矩法的近似方法[5-6]、FOMN及其改进方法[7-10]、PCM(product conditional margin)及其改进方法[11-13]等.其中, 基于矩法的近似方法将系统失效概率计算转化为复杂随机变量分布函数值的计算问题, 原理简单、易于实施, 但其在计算精度方面仍然存在不足.FOMN, PCM及与二者有关的改进方法是在假设系统各失效模式的发生概率和各失效之间的相关系数已知的情况下, 将系统可靠度计算转为多维正态积分问题, 原理较复杂, 但其在保证计算精度的同时具有较高的计算效率.在灵敏度分析方面, 蒙特卡洛法及其改进方法需要通过样本数据的处理才能获得灵敏度信息, 而界限法及其改进方法、基于矩法的近似方法, 以及FOMN等方法均无法直接给出获得系统可靠度关于各失效模式或随机影响因素的灵敏度结果, 文献[5-13]也未给出有关的灵敏度分析方法.
因此, 为了能够充分考虑机械系统失效模式的相关性, 并在此基础上高效、准确地评估系统的可靠性水平, 本文给出了基于FORM近似的机械系统可靠性分析方法.其基本思路是:基于FORM近似方法计算系统各失效模式的可靠度和灵敏度, 在此基础上进行失效模式相关系数矩阵计算, 进而将系统可靠性模型求解转化为多维正态积分计算, 再采用FOMN等方法进行系统可靠度计算和灵敏度分析.
1 FORM近似原理设机械系统含有m(m≥2) 个失效模式, 第i个失效模式可以用gi(u) < 0(i=1, 2, …, m)来表示.其中, gi(u)为独立标准正态空间中的功能函数表达式, 关于独立标准正态空间的定义以及有关的转换关系可以参考文献[7]; u=(u1, u2, …, un)T为独立标准正态空间中的随机向量, n为随机变量个数.串联系统和并联系统的失效概率分别为
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更一般地, 由串联系统和并联系统组合而成的混联系统可以采用同样的方法得到失效概率的数学表达式:
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(3) |
式中:k为混联系统中具有串联关系的并联子系统的个数:ci为第i个并联子系统所包含的失效模式数, 且有
可以采用概率故障树(probabilistic fault tree)[14-16]的方式表示式(1), (2) 或(3) 中各失效模式之间的逻辑关系, 以图形化的方式建立系统可靠性模型.在此基础上, 利用FORM近似原理进行相关系数的计算, 以及系统可靠度和灵敏度的分析.
1.1 功能函数线性化根据FORM的基本思想[7], 对第i个功能函数gi(u)在最可能失效点(most probable point, MPP)处进行泰勒展开, 并省略二次以上的项, 可得
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(4) |
式中:ui*是第i个功能函数的MPP; ▽gi(ui*)是功能函数gi(u)在ui*处的梯度.
由于u是独立的标准正态随机向量, 由正态分布的特性可知gi(u)也必然服从正态分布, 那么, gi(u)的数学期望和方差分别为
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因此, gi(u < 0) 的概率为
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(6) |
式中:αi=－▽gi(ui*)/‖▽gi(ui*)‖表示gi(u)=0曲面的近似切平面的外法线向量; βi为第i个功能函数的可靠度指数.可以看出, 在获得第i个功能函数的可靠度指数βi和MPP的基础上, 可以得到
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(7) |
结合式(7), 可以通过功能函数相关系数表征不同失效模式的相关性:
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(8) |
图 1给出了功能函数线性化与相关系数几何意义的示例.
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图 1 功能函数线性化与相关系数几何意义示意图 Fig.1 Schematic diagram of performance function linearization and geometrical interpretation of correlation coefficient |
由图 1可知功能函数相关系数几何意义为2个近似切平面法向量夹角的余弦.图 2给出2个近似切平面夹角分别为0°, 45°, 90°和180°的情况下功能函数之间的相关系数, 从图中可以看出cosθij=αiTαj=ρij.
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图 2 近似切平面法线夹角与相关系数关系示意图 Fig.2 Schematic diagram of correlation coefficient and its relationship with normal angle of two different tangent planes |
在利用FORM对系统可靠性数学模型中的各功能函数进行线性化处理之后, 可以将式(1) 简化为
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(9) |
式中:β=(β1, …, βm)T; ρ=[ρij]m×m为相关系数矩阵, ρij=αiT·αj;
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(10) |
z=(z1, …, zm)T, zi=αiTu，i=1, 2, …, m.
同样地, 可以将式(2) 简化为
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(11) |
可以看出:① 由于相关系数矩阵ρ的引入, 使得系统可靠度的计算可以充分考虑各失效的相关性; ② 不论是串联系统还是并联系统, 其可靠度计算均可以转化为式(10) 所示的多维正态积分求解.FOMN, PCM等方法基于条件概率的基本思想, 将多维正态积分转化为多个条件概率的乘积问题.
因此, 在利用式(6) 和式(8) 分别获得各失效模式的可靠度指数β和失效模式相关系数矩阵ρ的基础上, 利用式(9) 或(11) 将系统可靠度计算转化为多维正态积分计算, 进而利用FOMN, PCM等方法获得系统可靠度.由于这一方法源于FORM近似原理, 因此本文称之为基于FORM近似的系统可靠性分析方法.
2.2 灵敏度分析在系统可靠性灵敏度分析方面, 本文主要进行两类灵敏度分析:一是失效模式灵敏度, 即各失效模式对系统可靠度的影响情况; 二是随机变量灵敏度, 即各随机变量对系统可靠度的影响情况.其中, 失效模式灵敏度定义为∂β/∂βi(i=1, 2, …, m, β为系统可靠度指数), 可以采用向前差分方法进行计算:
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(12) |
式中, β′表示在βi增加微小波动Δβi情况下的系统可靠度指数, Δβi常取为0.1βi.同样地, 可以根据具体问题, 采用向后差分或前后差分方式进行失效模式灵敏度计算.
在进行随机变量灵敏度计算时, 需要考虑随机变量之间具有相关性的一般情况, 将随机变量重要性灵敏度定义为∂β/∂yj(j=1, 2, …, n), 其中, yj是等效标准正态空间的随机向量y=(y1, y2, …, yn)T的第j个元素.由随机变量变换方法[10]可以得到y与独立标准正态空间的随机变量的关系:
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(13) |
式中, L为随机变量相关系数矩阵ρ0经过Cholesky分解得到的下三角矩阵.根据复合求导法则, 可以得到
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(14) |
式中:∂β/∂βi为失效模式灵敏度; ∂βi/∂yj为各失效模式关于随机变量的灵敏度.结合式(6) 和式(13), 可以得到其向量形式的表达式:
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(15) |
若不考虑随机变量的相关性, 则∂β/∂yj将等价于∂β/∂uj.可以看出, 采用FORM近似方法进行系统可靠度计算时, 结合式(14) 和式(15) 就可以得到随机变量的重要性灵敏度.
3 算例某圆柱齿轮传动系统的基本组成结构如图 3所示, 其中仅考虑由4个齿轮失效所引起的系统失效问题, 每个齿轮均包含齿根弯曲疲劳失效和齿面接触疲劳失效两类失效模式.分析该系统的可靠性水平, 确定主要的失效模式与影响因素.
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图 3 某圆柱齿轮减速器系统结构示意图 Fig.3 Schematic diagram of cylinder gear reducer |
1) 功能函数建立与分析:表征各齿轮齿根弯曲疲劳失效和齿面接触疲劳失效的功能函数分别为
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(16) |
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(17) |
式中:i=1, …, 4;SFi和SHi分别为第i个齿轮材料的弯曲疲劳强度和接触疲劳强度; di为第i个齿轮材料的分度圆直径.取m=8, b=42, u=2.随机变量及其分布函数如表 1所示, 各变量及其取值如表 2所示.
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表 1 随机变量及其分布函数 Table 1 Probabilistic variables and their distributions |
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表 2 变量及其取值 Table 2 Deterministic variables and their values |
采用FORM进行各失效模型的可靠性分析, 得到如表 3所示的结果.其中, βik为功能函数Gik对应的可靠度指数, αik为表示Gik=0在MPP处的近似切平面的外法线向量, 且i=1, 2, 3, 4, k=1, 2.当k=1时, αi1是Gi1关于(T1, di, SFi)T的负梯度信息; 当k=2时, αi2是Gi2关于(T1, di, SHi)T的负梯度信息.
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表 3 各失效模式可靠性分析结果 Table 3 Reliability results of various failure modes |
2) 系统可靠性建模:由于任意一个失效模式的发生都将导致传动系统的失效, 因此, 该系统为串联系统, 相应的概率故障树如图 4所示.可以看出, 与一般故障树的不同之处在于各底事件是与失效模式相对应的功能函数, 它不仅提供了失效模式发生的概率信息, 还给出了随机因素函数关系等信息, 这些都可以用于分析各底事件的相关性.为区别于一般的故障树, 文献[14]称之为概率故障树.
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图 4 某圆柱齿轮减速器系统故障树 Fig.4 Probabilistic fault tree of cylinder gear reducer |
结合表 3的分析结果, 利用式(8) 可以得到表 4所示的失效模式相关系数矩阵, 这一矩阵将作为后续系统可靠度计算的输入.
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表 4 失效模式相关系数矩阵 Table 4 Coefficient matrix of failure modes |
3) 可靠度计算与灵敏度分析:结合图 4的概率故障树, 利用GFOMN(改进的FOMN法)[7]进行系统可靠度计算, 并将结果与蒙特卡洛法和不考虑失效相关性的系统可靠度方法进行对比, 如表 5所示.需要指出的是, 表 5中各方法的计算时间均包含了利用FORM进行各失效模式可靠性分析的时间.对应的模式灵敏度和随机变量重要性灵敏度结果分别如图 5和图 6所示.
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表 5 不同方法下的系统可靠度 Table 5 System reliability results of different methods |
从表 4可以看出, 各失效模式之间具有较强的相关性(相关系数均不小于0.63), 如齿轮1的弯曲疲劳失效与齿轮2的弯曲疲劳失效之间的相关系数为0.86, 这种相关性主要源自于二者具有相同的随机载荷T1.由表 5可知, 与蒙特卡洛法相比, 本文方法可以获得较高精度的系统可靠度; 不考虑相关性的系统可靠度结果则存在较大误差, 且这一误差将随失效模式数目的增加而增加.由图 5可知, 各齿轮的接触疲劳失效对系统可靠性影响较大, 弯曲疲劳失效的影响相对小些; 在齿轮的接触疲劳失效中, 齿轮3接触疲劳失效(G32 < 0) 对该传动系统可靠性影响最大, 次之为齿轮2的接触疲劳失效(G22 < 0).由图 6可知, 影响系统可靠性的最主要因素是外部载荷, 次之为各齿轮接触疲劳强度.因此, 在系统设计时, 需要重点控制这些关键因素的离散性, 提高系统可靠性水平.
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图 5 失效模式灵敏度 Fig.5 Sensitivities of failure modes |
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图 6 随机变量灵敏度 Fig.6 Sensitivities of probabilistic variables |
1) 基于FORM近似的系统可靠性分析方法给出了各失效模式之间相关系数的计算方法, 并在此基础上建立了能够考虑失效模式相关性的系统可靠性模型.
2) 基于FORM近似的系统可靠性分析方法相比于基于独立假设的系统可靠性分析方法, 能够获得更准确的可靠度结果, 且相对于蒙特卡洛法, 具有较高的计算效率, 更适用于复杂机械系统可靠性分析与评估.
3) 本文给出了失效模式灵敏度和随机变量灵敏度的计算方法, 可以实现机械系统各失效模式和各随机变量重要性的横向对比, 有利于提出更具针对性的系统改进建议.
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