随着海军建设的不断深入发展, 舰载机是不可或缺的角色之一，其具有其他飞行器无法比拟的优点, 可以起降于中、小型舰艇上执行作战任务^[1-2].但海面情况复杂, 舰载机要安全降落在面积不大的甲板上并非易事，因此分析舰艇的摇荡对舰载机的影响十分必要^[3-5].目前, 国内对于舰载机着舰的研究很少，本文力图为预测舰载机在摇荡舰艇平面上降落的安全性提供一种可靠方法.首先从对随机海浪进行数学建模着手, 分析出舰艇摇荡的运动规律, 而后建立舰载机动力学模型，根据分析力学原理^[6]建立舰载机着舰后的运动学模型并对其进行仿真分析.结果证明, 通过该方法能够对着舰结果进行预算从而降低事故发生概率.

1 海浪运动的基本特征

海浪通常被理解为是由风浪与涌浪构成的.风浪是通过大气到海洋的能量传播形成的, 涌浪是由于风开始平息或是海浪达到充分的成长状态时, 不再继续扩大, 脱离了波域向静水域延伸时形成的.它们的高低、长短杂乱无章, 毫无规律可循, 具有明显的随机性, 因此海浪的建模思想是将海浪视为由无限多个不同振幅与不同波长的简谐波线性叠加而成^[7-8].

2 建立海浪随机数学模型

随着近几年国内外对海浪的不断深入研究, 海浪模型可以分为规则海浪模型和随机海浪模型两大类, 规则海浪模型是以流体力学为基础用简单的数学关系即可以表达的波浪模型, 而实际海面上海浪情况极为复杂, 规则海浪模型不足以描述.海浪常被认为是由无数不同波幅, 波长和频率的余弦叠加而成, 鉴于此提出了随机海浪模型^[9]，并将随机海浪模型进行简化, 其表达式为

(1)

其中:ζ_ai, k_i, ω_i, ε_i分别为第i次谐波的波幅、波数、角频率、初相位, , .

通过确定式(1)参数即可求出波面高度.通常采用浪谱S(ω)来对海浪进行描述.单个波的能量由其振幅决定, 这样就可以利用谱函数来求取振幅, 根据能量相等的关系, 得到

(2)

根据式(2)可由浪谱求得谐波的振幅为

(3)

为了对海浪进行有效的建模, 选择合理的浪谱模型十分重要.目前采用PM波谱的派生形式ITTC双参数谱, 该谱适用于充分发展的海浪, 能很好地替代实际的随机海浪谱, 广泛应用于工程中, 第十一届国际船模水池会议将该谱定为标准海浪谱, 其表达式为

(4)

其中: ; ; 为拟有效波幅; T为海浪特征周期.

3 舰艇运动分析 3.1 舰艇在随机海浪下的摇荡分析

舰艇在随机海浪中的摇荡同随机浪本身一样是一种随机过程.根据浪谱分析理论, 基于线性叠加理论描述舰艇的摇荡运动, 若舰艇以v′速度前进, 舰体航向与主波方向的夹角为δ, 则舰艇摇荡运动方程为

(5)

其中: 为浪高, 由求出; ω_e为遭遇频率, 由求出; 设RAO为振幅响应算子, 由求出; σ_i[(ω_e)_mn]为相位响应算子, 由σ_i 求出.

根据舰艇的速度、舰艇朝向与波浪方向的夹角, 可由式(5)求出舰艇各运动自由度的响应.计算出各自由度的振幅响应算子和相位响应算子, 即可求出舰艇运动峰值与航速和偏航角的关系.以水量4 kt的典型舰艇为例, 图 1和图 2分别反映了纵摇与横摇的运动峰值与航速和偏航角的关系.

由图 1, 图 2可以得出根据一定海浪级别下舰艇摇荡理论及浪谱密度能求出舰艇摆动位移、速度的离差, 并可以根据海浪级别求出摆动平均倾角, 并将此舰载运动记录成数据文件, 为下文仿真时实时调用.

3.2 舰艇连体坐标系的运动

设船在全局固定坐标系OXYZ中的位置为(X_S, Y_S, Z_S), 首先绕轴OX₀转ψ角度到O_SX₁Y₁Z₁, 再绕新生成轴O_SY₁转υ角度到O_SX₂Y₂Z₂, 最后绕新生成轴O_SZ₂转φ角度到O_SX₃Y₃Z₃, 如图 3所示.

则舰艇的角速度为, , 在连体坐标系中的矢量和, 即将, , 分别投影到坐标系的三个轴上并相加, 可得其表达式为

(6)

对式(6)求导则可求出船的角加速度, 从而得出船运动的统计规律后, 得出船的运动方程, 再根据直升机在船连体坐标系中的坐标可以求出刚体所受的惯性力.

4 动力学建模 4.1 舰载机几何关系分析

设初始时刻固定坐标系位置与舰载机连体坐标系位置重合, α, β, γ分别为某瞬时舰载机连体坐标向下一瞬时舰载机连体坐标转换的转角，用S表示,

(7)

设横倾角λ, 偏航角φ, 纵倾角θ(单位均为弧度)表示瞬时舰载机相对固定坐标系的方位, 则舰艇坐标系到舰载机坐标系转换用S_s表示，其表达式为

(8)

其中:s=sin; c=cos.

舰载机质心在固定坐标系中的新坐标分量可根据转换矩阵与连体坐标系中直升机质心坐标求得, 其表达式为

(9)

4.2 建立动力学方程

(10)

其中:i=1, 2, …, n; L=T-V, T为动能; V为势能; F为耗散能; Q_i为广义力.

4.3 系统动能表达式

由于舰载机具有对称的平面, 故转动惯量J_HX, J_HY与惯性积J_HXY, J_HYZ为零, 根据理论力学中刚体动能的计算公式^[10], 则此时的动能表达式为

(11)

其中:m_H为舰载机质量; J_HX, J_HY, J_HZ为转动惯量；J_HXY, J_HXZ, J_HYZ为惯性积.

4.4 系统重力势能表达式

根据式(10)可得从舰艇坐标系到舰载机连体坐标系的转换矩阵S_s, 设G_HX, G_HY, G_HZ是重力方向向量在直升机连体坐标系中的3个分量, 其表达式为

(12)

4.5 轮胎支持反力的分析

轮胎可以转化为具有弹性势能和耗散能的三维弹簧阻尼, 在固定坐标系下分析其端点的位移和速度即可确定弹性势能和耗散能.以左轮为例, 根据式(8)转换矩阵和左轮中心点在连体坐标系下的矢量r_L, 可求出直升机发生微小位移后左轮中心点在固定坐标系中的矢量r′_L，其表达式为

(13)

同理可得发生微小位移后右轮和转向轮的轮胎中心点在固定坐标系中的矢量表达式, 而后可确定左轮胎中心点的位移在固定坐标系中的表达式为

(14)

同理可得右轮胎与转向轮胎中心点的位移在固定坐标系中的表达式, 将位移对时间求导可得出速度.设各轮胎垂向弹簧接地端点的位移和速度分别为H_Zⁱ和Ḣ_Zⁱ, 侧向和切向弹簧悬浮点位移和速度分别为H_Xⁱ, H_Xⁱ和H_Yⁱ, H_Yⁱ(i代表L, R, S).由变形量可得左轮与转向轮的支持反力(右轮与左轮同理)，其表达式为

(15)

(16)

式中:K_X, K_Y, K_Z分别为轮胎3个方向的弹簧弹性系数; C_X, C_Y, C_Z分别为轮胎3个方向的阻尼系数; κ为转向轮的转角.

轮胎与甲板的侧向和切向支持反力实质分别是甲板与轮胎的静摩擦力或动摩擦力.所以当轮胎中心点与接地端点的距离大于弹簧原长时, 即垂向弹簧下端点已经离开地面时, 垂向弹簧无压缩量, 没有正压力, 则侧向力和切向力为零.

4.6 惯性力及其广义力的分析

直升机在甲板上运动时受惯性力作用, 惯性力的作用点为直升机质心^[11].根据舰艇的加速度、角速度和角加速度, 以及直升机质心在舰艇坐标系中的矢径关系, 则可求出直升机的牵连加速度a_e, 从而得出惯性力F_e, 再从舰艇坐标系下转换到直升机连体坐标系中, 则可得出其表达式为

(17)

根据式(8)中直升机质心在固定坐标系中坐标, 及惯性力在固定坐标系的分量, 可推广惯性力的广义力为

(18)

4.7 风力及其广义力的分析

设总风力大小为F_W, 直升机所受风阻力的计算公式为

(19)

其中:C_D为风阻系数; ρ为空气密度; A为迎风面积v为风速.风力的作用点在固定坐标系中坐标的3个分量表达式可同理式(10), 则根据虚位移原理, 可求风力广义力表达式为

(20)

4.8 动力学方程

将式(12), 式(13), 式(16), 式(19), 式(20)代入式(11), 则动力学方程表达式为

(21)

其中:[q]_6×6为广义坐标矩阵, 即[q]_6×6=[x, y, z, α, β, γ]^T; [Q]_6×6为广义力矩阵.

5 动力学模型的解算及其结果

改进的欧拉法和四阶龙格库塔法都常常用于求解微分方程初值问题, 通过比较, 本文取步长为0.008, 精度较高的龙格库塔法求解动力学方程, 首先用中间变量将二阶微分方程组降阶为一阶微分方程组, 并给和[q]赋值, 然后进行求解.给定直升机参数(详见参考文献[12])、直升机处于舰艇连体坐标中的位置和舰艇摇摆的相关数值, 从而求解直升机动力学方程, 为了验证上述动力学模型的有效性, 用Matlab软件进行仿真, 当船横摇15°, 纵摇4°, 直升机的纵轴与船的纵轴成15°角时, 观察直升机船横摇与纵摇过程中受力情况.

由图 4~图 6可以看出, 直升机三个主轮的侧向力和切向力受船横摇和纵摇的共同影响.横摇或纵摇角度较大时, 重力在甲板水平面的投影较大, 切向力和侧向力为了与重力平衡也随之增大.三个轮的切向力与侧向力维持在大小相近的水平.

6 结语

本文介绍了随机海浪的数学模型并利用响应算子计算出舰艇在随机海浪中的运动, 总结出舰艇的旋转角速度和角加速度表达式.而后推导出的直升机动力学模型可作为今后舰载机着舰仿真中的动力学模型.结合两者建立舰载机与舰艇系统动力学模型最后通过Matlab仿真, 结果证明该方法能够准确有效地模拟摇荡舰艇平面上的运动状态, 具有一定的参考价值.