多自由度机械臂系统因其具有很强的非线性和耦合性相比于线性简单系统的控制更为复杂, 在实际工程中存在外部干扰、摩擦、有效载荷的变化等影响, 很难建立精准的数学模型对其运动轨迹进行跟踪.为此, 国内外学者提出多种方法对其进行控制, 包括滑模控制^[1]、自适应鲁棒控制^[2]、模糊控制^[3]、神经网络控制^[4]等.其中, RBF(径向基函数)神经网络因其可以不需要建立精确模型并且具有快速的逼近速度尤为受到研究人员的青睐.文献[5]用RBF网络方法调节滑模控制中的抖振现象对六轴去毛刺机械手的末端轨迹进行跟踪; 文献[6]用RBF网络跟踪冗余机械臂轨迹.

然而, RBF控制的一个不足之处就是鲁棒性较差, 即机械臂的抗干扰能力差, 而滑模控制的优点就是具有良好的鲁棒性.因此, 本文在前人的研究基础上提出了一种新型RBF神经网络自适应控制器, 结合滑模控制及模糊控制理论对其进行实时鲁棒补偿, 通过Lyapunov函数证明其稳定性.并与文献[7-8]中已有的结果相比较, 证明了本文所提出的控制器模型更加有效.

1 机械臂的动力学模型

本文所分析的六轴机械臂的三维模型如图 1a所示, 其二维简图如图 1b所示, 考虑到摩擦力、不确定扰动误差的影响, 其动力学方程可写为

(1)

其中:(q, , )∈R^n×1为各关节的位置、速度和角速度向量; D(q(t))∈R^n×n为实对称惯性矩阵, 其值取决于连杆的质量、速度以及连杆长度; H(q(t), (t))∈R^n×n为哥氏力及离心力矩阵; C(q(t))∈R^n×1为重力项矩阵; F((t))为摩擦力矩阵; T_r∈R^n×1是不确定扰动项; τ∈R^n×1是各关节输入转矩.在此, 简要地说明D, H, C的求解方法^[9].

其中:

(2)

(3)

(4)

_n^oT为机器人的变换矩阵, 表示了机器人各关节相对基坐标系的位置.

(5)

(6)

其中, H_{i, v}=[h_i11, …, h_i16, …, h_i16, …, h_i66].

(7)

(8)

(9)

其中:r_i=[x_i, y_i, z_i, 1]^T; n, m∈[1, …, 6];x_i, y_i, z_i为各方向的重心坐标.

在设计控制器时, 本文用到两个已知的性质^[10]:

性质1:D(q(t))-2h(q(t), (t))是斜对称矩阵, 即对于任意向量x, 有

(10)

性质2:对于不确定外部扰动项T_r∈R^n×1有上界, 且其上界为:T_r≤τ_r, 其中τ_r>0.

2 控制器的设计

基于滑模补偿的RBF网络自适应控制流程图如图 2所示.在此过程中, 自适应律通过不断更新的RBF网络的权值对模型进行快速逼近.并且结合滑模控制, 保证在非线性和外部干扰条件下的稳定性和鲁棒性.

2.1 RBF神经网络

RBF网络具有良好的适用性及简单的结构模型, 并且由于是前馈网络, 可以避免类似于BP反馈网络所造成的不必要的冗长运算.RBF网络是一种三层网状结构, 包括输入层、隐含层及输出层^[4].输入层中的输入信号x=[x₁, x₂, …, x_n]直接参与到隐含层中进行运算, 在本文中, x=[e, ė, q_d, _d, _d], 其中e为理想角度q_d与实际角度q的误差, ė为其一阶导数; 隐含层内包括一系列的计算单元, 这些计算单元称为隐含节点, 神经网络的结构和复杂性就是由隐藏层节点的数目所决定的.隐含层中的每个神经元通过径向基函数进行作用, 线性映射到输出层, 输出公式为

(11)

其中:k是隐含节点的个数；c_j=[c_j1, …，c_jn]是神经网络j的中心矢量；d=[d₁, …，d_m]^T, 其中d_j是第j个径向基函数的标准差；ζ_j是第j个神经元节点的高斯基函数; 输出层中输出公式为^[8]

(12)

其中:ω_ji是连接第j个隐含节点到第i个输出节点的权值; n是输入的个数.

将RBF神经网络的输出写为矢量形式:

(13)

式中:ζ=[ζ₁, ζ₂, …, ζ_k]^T; ω为理想权值; ε是神经网络的最小逼近误差, 且ε有上界ε＜ε₀, ε₀为正实数.

RBF神经网络输出逼近为

(14)

式中, ∧f(x)是自适应函数f(x)的近似值.

由式(13), 式(14)相减, 得到

(15)

其中Δω=ω-∧ω.

2.2 滑模控制

用滑模控制对所设计的控制律中的干扰项进行补偿, 并且应用模糊规则对鲁棒项系数时变, 实时地保证其鲁棒性和稳定性.

首先, 滑模函数模型:

(16)

其中:λ=diag(λ₁, λ₂, …, λ_n)为正对角矩阵; e的含义同2.1节, s(t)为滑模面, 当滑模面为零时, 即s(t)=0, 可写为:ė=-λe, 系统在滑模面上的运动形式只取决于参数λ, s(t)的误差越小, 系统稳定性能越好^{[1, 7]}.结合式(1), 得到:

(17)

其中

(18)

则六轴机械臂的控制律表示为

(19)

(20)

其中：K是正实数对角矩阵; τ_v是滑模控制的鲁棒项, 用于保证在不确定的影响和逼近误差条件下系统的鲁棒性; K_v是鲁棒项系数.

由于不确定项是时变的, 所以为了降低抖振的影响, K_v也应该时变^[11].这里, 用模糊控制对K_v进行实时控制, 模糊规则如下:如果sṡ>0, 则ΔK_v应增大, 如果sṡ＜0则ΔK_v应减小.在该模糊系统中, sṡ输入, ΔK_v为输出.

将公式(19)、式(20)及式(15)代入式(17)中, 得到:

(21)

根据自适应控制律, 分别求D(q(t)), H(q(t), (t)), C(q(t))和F((t))的估计值:

(22)

自适应律实时进行更新:

(23)

其中:i=1, 2, 3, 4;ζ=[ζ₁, ζ₂, ζ₃, ζ₄]^T; Φ_w, Φ_c, Φ_d是正对角矩阵; k_i表示控制斜率, ∧ω^T=[∧ω₁^T∧ω₂^T∧ω₃^T∧ω₄^T].

3 Lyapunov稳定性

根据式(19), 式(1), 以及RBF自适应更新算法式(23), 滑模鲁棒补偿τ_v由式(20)所得, 那么可以确保跟踪误差和系统参数误差会收敛到零.

根据Lyapunov稳定性分析, 如果所设计的Lyapunov函数是正定并且其导数为半负定的, 则控制系统是稳定的^[10].因此, 为保证总控制系统的稳定性, 选择Lyapunov函数为

(24)

其中:tr是矩阵的迹; Δω=ω-∧ω, Δc=c-∧c, Δd=d-∧d.

假设其导数值存在且无奇异点, 则:

(25)

将式(21)代入到式(25)中, 结合自适应控制律, 并且Δ =-∧, 则:

(26)

根据性质2, 式(26)变为

(27)

已知tr[^T(x-)]≤ _Fx_F-_F², 并且x_F≤x_max, 代入式(27), 得到:

(28)

(29)

在式(29)中, 如果K和s满足不等式:

(30)

则 ≤0，证毕.

4 仿真验证

用六轴机械臂验证所猜想的控制律的有效性, 其仿真验证方法如下:假定六连杆机械臂模型如式(1), 其中参数D, H, C, F已由式(2)~式(9)求得.自适应律的参数值如下:φ_w=diag[15, 15, 15, 15, 15, 15]; K=diag[20, 20, 20, 20, 20, 20]; λ=diag[5, 5, 5, 5, 5, 5];

控制目标为让六轴机械臂的运动轨迹能实时跟踪理想运动轨迹, 假设各关节理想运动轨迹符合正弦函数q_d=0.5sin(t), 即6个关节初始位置为q₀均为0, 初始角速度均为0.5.

此外, 选取F((t))= , 各关节的不确定扰动项T_r均为0.2sin(t).

图 3为理想轨迹曲线与本文所提出算法的轨迹曲线, 可以看出, 曲线的拟合度还是非常高的, 并且曲线较为平滑, 没有奇异值点; 图 4将所提出方法与单一神经网络和指数趋近律滑模控制所比较, 得出3种算法的跟踪误差都很小, 但本文所提出的算法具有更快的收敛速度, 大约要比其余算法收敛时间小0.5~1s;图 5为3种算法的控制输入, 可以看出相比于指数趋近律滑模控制, 本文方法的去抖能力更强, 几乎没有抖阵点, 图 6为建模参数D, H, C, F的实际值与估计值的对比, 从结果中可以发现, D, H, C, F的估计值与D, H, C, F实际值相差较大, 这也意味着基于期望轨迹的建模参数和实际参数相差甚远, 理想轨迹在实际中并不存在.

5 结语

本文验证了所提出的基于滑模补偿的RBF网络自适应控制算法应用于六轴机械臂轨迹跟踪的有效性.在这个方案中, 鲁棒补偿作为一个辅助控制器, 以保证系统在扰动、质量变化、模型误差的存在的条件下的稳定性和鲁棒性.并且与单一神经网络及指数趋近律滑模控制相比较, 得出了在同等条件下, 本文所提方法相比传统滑模控制具有更好的鲁棒性及更快的收敛时间、更佳的跟踪性能.由此可以得出结论:此算法应用于其他非线性系统中是行之有效的.