空间曲线在几何学的理论研究方面具有重要的作用.根据特殊曲线的几何特征, 对应地得到了曲线的曲率和挠率所满足的代数式.例如一般螺线、Bertrand曲线、Mannheim曲线对、从切曲线和球面曲线等.这些特殊曲线对微分几何的发展有着重要的影响^[1-10].

定义1^[1]  设在曲线Γ的p₀点邻近取三点p₁, p₂, p₃.连同p₀, 这4点一般地确定一个球面S.当p₁, p₂, p₃沿曲线趋于p₀时, 球面S的极限位置称为曲线Γ在p₀点的密切球面.

引理1^[1]  一条曲线Γ是球面曲线的充要条件：.

1 曲线与曲线的密切球中心轨迹

定理1  三维欧氏空间中, 任一条以弧长s为参数的挠曲线r(s)和以s为参数的密切球的球心轨迹r(s)满足, 则挠曲线r(s)的曲率κ(s)、挠率τ(s)和密切球中心轨迹r(s)的曲率κ(s)、挠τ(s)满足: .

证明  挠曲线r(s)的密切球的中心轨迹为, 对等式两边关于弧长s求导:

整理可得

(1)

由于和γ是单位向量, 则有

, 则式(1)可变形为, 两边进一步关于弧长s求导得, .

将分别代入曲线的曲率、挠率的一般表达式得.

定理2  三维欧氏空间中, 任一条以弧长s为参数的挠曲线r(s)和以弧长s为参数的曲线的密切球的球心轨迹, 若其中一条是一般螺线则另一条也为一般螺线, 其中κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率.

证明  由定理1可知密切球中心轨迹与曲线的曲率和挠率的关系为, 其中κ(s), τ(s)分别为曲线r(s)的曲率和挠率.则, .又曲线为一般螺线的充要条件是曲率与挠率的比值为定值, 因此当挠曲线r(s)与它的密切球的中心轨迹r(s)其中一条是一般螺线则另一条也为一般螺线.

定理3  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为Bertrand曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足:

其中: ; κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率; λ, μ为常数.

证明  曲线r(s)为Bertrand曲线的充要条件是存在实数λ₁, μ₁使得

(2)

其中κ, τ分别为曲线r(s)的曲率和挠率.又κ= , 代入式(2), 得, 即存在实数λ=±λ₁, μ=μ₁使得

(3)

又, 代入式(3)可得

(4)

上述过程显然可逆, 因此当且仅当挠曲线r(s)的曲率和挠率满足式(4)时, 它的密切球中心轨迹是Bertrand曲线.

同样方式可得当密切球中心轨迹r(s)分别为Mannheim曲线、Mannheim侣线、丛切曲线、球面曲线时的定理.

定理4  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为Mannheim曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足:

(5)

其中: ; κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率; λ为常数.

定理5  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为Mannheim侣线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足:

(6)

其中: ; κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率; λ为常数.

定理6  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为丛切曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足, 其中: 分别为r(s)的曲率和挠率; λ, μ为常数.

定理7  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为球面曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足:

(7)

其中: ; κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率.

推论1  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)和r(s)为Bertrand曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足λτ+μκ=1, 其中, κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率, λ, μ为常数.

推论2  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为Mannheim曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足τ=λ(κ²+τ²), 其中, κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率, λ为常数.

推论3  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为Mannheim侣线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足, 其中γ(s), κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率, λ, μ为常数.

推论4  三维欧氏空间中, 任一以s为弧长参数的挠曲线r(s)和以s为弧长参数的密切球中心轨迹r(s), 则r(s)为球面曲线, 当且仅当曲线r(s)的曲率与挠率满足=0, 其中γ(s), κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率.

2 曲线的从切圆中心轨迹

定义2  曲线r(s)的密切球面与从切平面的交线圆的圆心轨迹方程, 称为从切圆中心轨迹.

定理8  如果曲线r(s)的曲率和挠率满足:

(8)

则曲线r(s)是Mannheim侣线, 并且它的Mannheim曲线是它的从切圆的中心轨迹r₁(s).

其中: ; a为常数; κ(s), τ(s)分别为r(s)的曲率和挠率.

证明  若r₁(s)是Mannheim曲线, r(s)是Mannheim侣线, 则由Mannheim对的定义可知r₁(s)和r(s)需满足关系式: r₁(s)=r(s)+λ(s)γ, 两边关于弧长s求导：-λ(s)τβ, 由Mannheim曲线对的定义可知β₁//γ, 两边同时与γ作内积得λ′(s)=0, 因此λ为常数.而曲线r(s)的从切圆中心轨迹r₁(s)的方程为, 因此得到为常数.又空间曲线r(s)为Mannheim侣线的充要条件是其曲率κ(s)和挠率τ(s)满足τ′= , 其中λ为常数.因此, 当曲线r(s)的曲率和挠率同时满足:

(9)

此时r₁(s)是Mannheim曲线, r(s)是Mannheim侣线.整理式(9)即得.证毕.

3 结论

1) 给出了三维欧氏空间中挠曲线的密切球中心轨迹分别为Mannheim曲线、Mannheim侣线、丛切曲线、球面曲线时原曲线的曲率和挠率所满足的关系.

2) 给出了三维欧氏空间中挠曲线是Mannheim侣线，并且它的Mannheim曲线是原曲线的丛切圆中心轨迹时，原曲线的曲率和挠率的关系.