纤维增强复合材料比强度高、比模量高、热稳定性好, 还有一定的阻尼减振能力, 目前, 以TC500, TC800等为代表的先进碳纤维/树脂基复合材料正在被越来越多地应用于航空、航天、汽车、船舶、体育器械与兵器工业等重要领域^[1].工程实际中也存在大量通过该类型材料制成的典型复合薄板结构件, 它们通常处于悬臂约束的边界条件下, 如太阳能帆板、航空发动机风扇叶片以及大型风力机叶片等, 随着结构越来越复杂、工作环境越来越苛刻, 其振动问题越来越突出, 由此引发的振动超标、磨损、疲劳失效等故障问题也越来越突出^[2].因此, 研究纤维增强悬臂薄板(FTCP, fiber-reinforced thin cantilever plate)的相关振动问题有着重要的工程及学术意义.

结构系统的固有特性通常包括固有频率和模态振型, 它们是深入研究结构系统振动特性的基础, 对于动态设计、理论分析、故障诊断都有重要的指导作用^[3].长期以来, 国内外学者在研究纤维增强复合材料薄板的固有特性方面做了很多工作, 取得了阶段性的研究成果.例如, Mohan等^[4]推导了多种边界条件下硼纤维/树脂复合薄板结构的动力学方程, 并获取了固有频率与振型向量.Nair等^[5]对复合材料薄板的固有特性也进行了研究.Sivakumaran^[6]也使用Ritz法获得了T300石墨纤维增强复合薄板在自由边界条件下的固有频率和模态振型.Leissa等^[7]讨论了玻璃纤维、硼纤维和石墨纤维增强复合薄板在简支边界条件下的固有频率和振型.Qatu^[8]在Ritz法中采用代数多项式法求解了不同边界条件下玻璃/树脂和石墨/树脂复合薄板的固有频率和模态振型.杨和振^[9]利用锤击和激振器法, 在不同温度条件下, 对悬臂状态下复合薄板的振动特性进行测试, 并采用随机子空间法获得了固有频率、阻尼以及振型.漆文凯等^[10]对自由和悬臂两种边界条件下的无损伤和有开孔损伤的T300/BMP316复合薄板开展了试验研究, 获得相应的固有频率和振型.史冬岩等^[11]对石墨/环氧树脂复合薄板结构的固有特性进行了研究, 但并未获得悬臂状态下的计算结果.

虽然已经对纤维增强复合薄板的固有特性进行了深入研究, 但上述研究绝大部分针对理想的边界条件, 在悬臂状态下通过理论结合实际的方法对其固有特性进行研究的较少.且文献得出的频率结果多为无量纲频率值, 其并未得到实验数据验证.为此, 有必要研究悬臂边界下该类型复合材料结构的固有特性问题.

1 基于双向梁函数法的纤维增强悬臂薄板固有特性分析 1.1 理论建模

所研究的纤维增强悬臂薄板是由n层具有正交各向异性特点的纤维和基体材料组合而成的, 如图 1所示.假设各层之间是牢固粘结的, 层间无滑移, 无相对位移, 因此不考虑层间耦合效应.首先, 将其中面作为参考平面, 并建立xoy坐标系.纤维方向与整体坐标系x轴方向的夹角为θ, 板长为α, 板宽为b, 板厚为h, 每一层位于z坐标轴较低表面z_k－1和较高表面z_k之间, 每层的厚度均相同.图中, 1代表纤维纵向, 2代表纤维横向, 3代表垂直于1-2平面的方向.假设纤维增强悬臂薄板平行纤维方向的弹性模量为E₁, 垂直纤维方向的弹性模量为E₂, 1-2平面内的剪切弹性模量为G₁₂, 1方向作用应力引起1、2方向应变的泊松比为v₂₁, 2方向作用应力引起1、2方向应变的泊松比为v₂₁.

由于纤维增强复合薄板多为对称层合结构, 其拉伸与弯曲之间不存在耦合关系, 因此面内位移和面外位移是解耦的, 根据经典层合板理论, 将位移场写为

(1)

式中:u, v, w代表板内任意一点的位移; u₀, v₀, w₀代表板中面位移; h为复合薄板的厚度; t表示时间.

本文分析的是对称层合板, 面内振动和横向振动不存在耦合, 因此只需考虑薄板的横向振动, 即忽略中面位移u₀和v₀.根据经典层合板理论的假设可知, 正应变ε_z和剪应变γ_yz, γ_xz都为0, 即ε_z=γ_yz=γ_xz=0, 由应变和位移的关系, 板内任意一点的应变可以表示为

(2)

对于正交各向异性材料, 材料主轴方向的应力-应变关系为

(3)

式中:

(4)

当材料主轴方向与整体坐标系之间有一定夹角θ时, 用应力-应变转轴公式计算得到第k层板在整体坐标系下的应力-应变关系为

(5)

式中:

(6)

式中:k表示复合薄板的第k层, θ_k表示第k层板的纤维方向与整体坐标系x轴的夹角.

薄板弯曲振动的动能和应变能可以分别用式(7)和式(8)表示:

(7)

(8)

同时, 将式(1), 式(2)及式(5)代入式(7)和式(8)中, 可以得到用中面位移表示的复合薄板的动能和应变能:

(9)

(10)

1.2 基于双向梁函数法的固有特性求解

由于双向梁函数法可以较为精确地表示复合薄板的挠度振型, 而且在选取有限项数的情况下即可达到足够的精度.因此, 采用双向梁函数法来分析获取其固有频率和模态振型, 首先将中面位移表示为

(11)

式中W(x, y)为振型函数.

基于双向梁函数法, 可将复合薄板的挠度振型函数假设为

(12)

式中:m, n分别表示振型沿x, y方向的半波数; a_mn为待定系数; M, N分别为m, n所取得的最大值.

针对图 1所建立的纤维增强悬臂薄板的理论模型, 沿x方向可以用固定-自由梁函数X_m(x)来表示其第m阶振型函数, X_m(x)的具体表达式为

(13)

式中:

类似地, 沿y方向可以用自由-自由梁函数Y_n(y)来表示其第n阶振型函数, Y_n(y)的具体表达式为

(14)

式中:

将式(11)代入式(9)和式(10)中, 得到用待定参数表示的应变能和动能表达式, 忽略谐波分量的影响, 可以得到最大应变能U^max和最大动能E^max的表达式:

(16)

然后, 根据Ritz法, 将能量函数L表示成

(17)

求解纤维增强复合薄板的固有特性问题, 即是求解使L有最小值的所有待定参数, 即有

(18)

将式(17)代入最小化条件(18)中, 可以得到特征值问题:

(19)

式中:K和M分别为结构系统的对称刚度矩阵和对称质量矩阵; 特征向量a=(a₁₁, a₁₂, …, a_mn)^T.

此时, K和M中的元素是所有待定参数a_mn的系数.为保证方程(19)有解, 需要系数矩阵的行列式为0:

(20)

这样就可以通过双向梁函数法, 分析获取纤维增强悬臂薄板在任意纤维角度下的固有频率.在式(11)中, 振型半波数m, n对应的M, N取值越大, 固有频率计算结果就越精确, 通常取M=N=8即可达到足够的精度^[12].

最后, 将计算获得的某阶固有频率对应的特征向量以及所建立的薄板线框模型的各个节点坐标带回振型函数W(x, y)中, 即可获得复合薄板结构的某阶模态振型.重复上述步骤可依次获得所关注的全部振型.

2 纤维增强悬臂薄板固有特性分析流程

利用Matlab软件, 编写了相应的计算程序, 并提出了分析获取纤维增强悬臂薄板固有特性的具体流程, 可分为几个步骤:

1) 输入复合薄板的几何参数和材料参数.首先, 需要给出纤维增强悬臂薄板的长度、宽度、厚度及每层纤维角度等几何参数；然后, 输入纤维纵向和纤维横向的弹性模量、剪切模量、泊松比和密度等材料参数, 为后续动能和应变能的计算做好准备.

2) 计算获得最大动能.将式(1)代入式(7)中, 得到用中面位移表示的动能的一般表达式, 然后基于双向梁函数法表示振型函数, 并且忽略谐波分量的影响, 即可得到最大动能的表达式.

3) 计算获得最大应变能.在考虑纤维方向与整体坐标系x轴方向夹角θ的基础上, 利用应力-应变转轴公式计算获得每一铺层的应力表达式(5), 再将应力、应变表达式代入式(8)中即可获得每一层对应用中面位移w₀表示的应变能结果.然后, 将每一层的应变能进行叠加, 即可得到总应变能的表达式.最后基于双向梁函数法表示振型函数, 并且忽略谐波分量的影响, 完成最大应变能表达式U^max的获取.

4) 根据Ritz法求解固有频率.将上述步骤中计算获得的最大动能E^max和最大应变能U^max代入式(17)中, 可得能量函数L的表达式.根据Ritz法, 将能量函数L对所有待定参数求偏导, 可以得到薄板振动的特征方程(19), 求解此特征值问题即得到纤维增强悬臂薄板的固有频率.

5) 建立线框模型并求解模态振型.首先, 根据纤维增强悬臂薄板结构尺寸, 利用Matlab绘制出线框模型；然后，将计算获得的某阶固有频率对应的特征向量带回到振型函数W(x, y)中, 得到该阶的模态振型函数；最后，将绘制出的线框模型的各个节点坐标代入振型函数W(x, y)中, 即可获得薄板该阶的模态振型.重复上述步骤, 则可依次获得各阶模态振型.

3 实验验证

TC500碳纤维/树脂复合材料在工程实际中比较常用, 为验证本文提出的理论分析方法的正确性, 将该类型复合材料制作成尺寸为260mm×230mm×2.36mm的矩形薄板, 并通过夹具对其一边进行夹紧, 夹持长度为30mm, 则最终在悬臂边界条件下测试时, 复合薄板尺寸为230mm×230mm×2.36mm.另外, 该类型复合薄板为对称正交铺设, 即[(0°/90°)₅/0°(90°/0°)₅], 共有21层, 每个铺层具有相同的厚度和纤维体积分数.纤维纵向弹性模量E₁=136GPa, 横向弹性模量E₂=7.92GPa, 剪切模量G₁₂=3.39GPa, 泊松比v₁₂=0.32, 质量251g, 密度1780kg/m³.

图 2给出了所搭建的纤维增强悬臂薄板固有特性测试系统图.主要由复合薄板激振系统、激光扫描测振系统以及LMS采集仪等组成, 具体型号为:①LMS SCADAS 16通道便携式数据采集仪; ②联能JZK-100激振器和YE5878型功率放大器; ③Polytec PDV-100激光测振仪; ④自行设计开发的激振工作台, 其台面上安装有BK4508B加速度传感器; ⑤基于labVIEW控制软件的二维激光扫描装置.

实验时, 首先通过LMS采集仪发出正弦扫频激励信号, 并通过激振系统对复合薄板进行振动激励, 然后通过labVIEW控制软件, 调整二维激光扫描装置中激光点的具体位置, 并通过LMS采集仪对激光测振仪获得的响应信号进行实时采集.以测试前两阶固有频率为例, 图 3给出了通过扫频测试方法, 在20~100Hz扫描范围内获得的包含第1阶和第2阶固有频率的频域响应曲线, 通过辨识其峰值, 则可精确地获得固有频率结果, 表 1则还出了通过该方法获得的前5阶固有频率值.最后, 在上述固有频率处, 利用复合薄板激振系统激发其达到共振状态, 并通过二维激光扫描装置来获得每一阶模态振型, 振型测试结果也一并列入表 1中.同时, 为了便于比较, 将通过Matlab计算程序获得的纤维增强悬臂薄板的固有频率和振型结果也列入表 1中, 并对其误差进行了详细分析.

通过与实验结果进行对比验证可知, 基于双向梁函数法的纤维增强悬臂薄板固有频率计算结果, 与实验结果的误差在3.7%~9.7%, 处于误差允许的范围内, 且前5阶振型结果也与测试振型结果一致, 进而验证了理论分析方法的正确性.利用本文计算方法可以较好地实现悬臂边界下该类型复合薄板固有频率的分析与预测.

4 结论

1) 基于双向梁函数法, 推导了任意纤维角度下该类型复合薄板的最大动能和应变能, 明确了利用该方法获取纤维增强悬臂薄板固有频率和模态振型的原理.

2) 编写了Matlab计算程序, 并给出了分析纤维增强悬臂薄板固有特性的具体流程.主要包括输入复合薄板的几何参数和材料参数、基于双向梁函数法获得动能和最大动能、获得应变能和最大应变能、根据Ritz法求解固有频率、建立线框模型并求解模态振型等5个关键步骤.

3) 搭建了纤维增强悬臂薄板固有特性测试系统, 并以TC500碳纤维/树脂复合薄板为研究对象进行了实际测试, 通过实验验证了该理论分析方法的正确性.但需要说明的是, 本文并未在悬臂以外的边界下验证上述分析方法的正确性.