2017, Vol. 38
随着现代工业飞速发展, 许多行业对带材表面质量和尺寸精度的要求越来越高.板带轧机的振动直接影响轧制产品质量, 成为倍受关注的课题[1].板带轧机存在多种形式的振动, 常见的有传动系统扭转振动[2-4]和轧辊垂直振动[5-6], 其中轧辊的五倍频垂直颤振与辊面振纹有很大关系, 直接影响板带表面质量.Roberts研究发现支承辊辊面的振纹是引起轧机振动的主要因素之一[7].陈勇辉等考虑轧件振纹影响, 建立轧机再生颤振模型来研究轧机振动[8].Sajan等考虑移动板带振动导致的轧辊与轧件间的非线性参激特性, 建立了一个单自由度的轧机非线性参激振动模型, 并得到轧机振动的不稳定区域及幅频振动特性[9].
为更深入研究振纹对轧机振动的影响, 本文同时考虑非线性动态轧制力和振纹导致的参激非线性刚度的共同影响, 建立非线性动态轧制过程下冷轧机的参激振动模型.应用多尺度方法分析了系统发生1/2亚谐共振时的幅频特性和分岔特性, 用轧机实际参数进行数值仿真, 分析了系统参数对轧机振动特性的影响.
1 轧机非线性参激刚度模型在轧制过程中, 支承辊辊面振纹会影响到工作辊与支承辊之间的等效刚度, 会使其随轧辊的转动发生周期性的变化, 其轧机简化模型如图 1所示.
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图 1 轧机简化模型 Fig.1 Simplified model of rolling mill |
为简化分析, 考虑上下辊系的对称性[7], 同时将机架和支承辊看成相对静止的部分, 只考虑轧辊振动情况[8], 可得到图 2所示的动力学模型.
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图 2 轧机参激振动力学模型 Fig.2 Parametrically excited vibration model of rolling mill |
图 2中, m为工作辊的等效质量, k和c分别为支承辊与工作辊之间的等效刚度和阻尼.其中, k=ka+kb(1-cosωt), ka和kb分别为轧辊与支承辊间线性和非线性参激项的等效刚度, ω为参激项频率.ΔP为冷轧机的动态轧制力变化量[7]:ΔP =b1x+b2x2+b3x3.F′为轧制过程中轧机受到的扰动.由图 2可得轧机非线性参激振动动力学方程为
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(1) |
令μ=c/m, k1=kb/m, ω02=(ka+kb-b1) /m, γ=-b2/m, β=-b3/m, F为外扰力, 可能由轧件厚度或速度波动所导致, F=F′/m=fcosω1t.可得考虑辊面振纹和轧制力动态变化下的轧机非线性参激振动动力学方程为
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(2) |
将式(2)中非线性考虑为弱非线性项, 将其非线性项冠以小参数ε, 可得
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(3) |
考虑1/2亚谐共振情况, 令2ω1=ω+εσ且ω1远离ω.将其代入式(3), 采用多尺度法可得其一阶近似微分方程为
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(4) |
联立式(4), 可得
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(5) |
令
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(6) |
将式(6)代入式(5)可得
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(7) |
其中cc为共轭复数项, 消去式(7)久期项可得
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(8) |
令A=aeiθ, 代入式(8)并分离实部和虚部可得
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(9) |
联立式(9), 可得系统方程
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(10) |
当系统稳态时, 
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(11) |
为研究轧机在平衡点(即稳态工作状态)附近的振动状态, 将式(11)化成如下形式:
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(12) |
其中,
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根据奇异性理论,
(ⅰ)当d1=0, d0≠0时, 分岔响应方程(12)可写为
a4－μ=0.
上述方程的普适开折为
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其余维数为2.根据转迁集的定义可得
1) 分岔点集:B=∅(∅为空集);
2) 滞后点集:H={(λ1/8) 2=－(λ2/6) 3};
3) 双极限点集:D={λ1=0, λ2≤0};
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
系统的转迁集将整个平面分成了3个区域(Ⅰ, Ⅱ和Ⅲ), 如图 3所示.
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图 3 转迁集 Fig.3 The transition set |
转迁集中各临界点和区域的分岔情况如图 4所示.其中, Ⅰ区中系统在平衡点附近振动状态稳定, 没有发生幅值的跳跃现象; Ⅱ和Ⅲ区系统在平衡点附近有多种运动形态, 存在着滞后和跳跃现象, 说明轧机有多个平衡点, 轧机的运动状态可能发生突变.
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图 4 d1=0, d0≠0时分岔图 Fig.4 Bifurcation diagrams when d1=0, d0≠0 |
(ⅱ)当d1≠0, d0≠0时, 式(12)可变换为
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令
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此时系统奇点为余维一的孤立点, 可得
1) 分岔点集:B=λ=0;
2) 滞后点集:H=∅;
3) 双极限点集:D=∅;
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
图 5为分岔图.当λ=0时, 奇点为孤立点.
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图 5 d1≠0, d0≠0时分岔图 Fig.5 Bifurcation diagram when d1≠0, d0≠0 |
(ⅲ)当d1≠0, d0=0时, 分岔方程(12)可以写成
a2－μ2=0μ2=－d1或者a2=0.
上述方程的普适开折为
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此时系统奇点是余维一的跨越临界点, 可得
1) 分岔点集:B=λ=0;
2) 滞后点集:H=∅;
3) 双极限点集:D=∅(空集);
4) 转迁集:Σ=B∪H∪D.
此时系统分岔图如图 6所示, 可以看出在系统平衡点发生了稳定性互换.
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图 6 d1≠0, d0=0分岔图 Fig.6 Bifurcation diagram when d1≠0, d0=0 |
由图 4，图 5和图 6可看出, 在不同开折参数下系统在平衡点附近有着不同形式的振动状态, 在一些参数区域系统可能会发生滞后和跳跃现象, 这将导致轧机产生明显振动, 从而对设备造成损坏, 因此应尽量使开折参数保持在稳定区域.
4 仿真验证取某厂四辊冷轧机实际参数, 令m=5436kg, ka=3.4357×108N/m, kb=1.785×107N/m, c=1.6233 ×104N·s/m, b1=-2.2918×1010N/m, b2=-9.7695×1012 N/m2, b3=-9.3452×1016 N/m3, ε=0.01, f=5×104kN.
图 7为不同阻尼系数下系统的幅频特性曲线.
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图 7 阻尼变化下幅频曲线 Fig.7 Amplitude-frequency curves with change of damping |
图 7中, c1=5.1334×104 N·s/m, c2=1.6233×104N·s/m, c3=1.4586×104 N·s/m, c4=1.3315×104N·s/m.可以看出:阻尼对系统的共振振幅和共振域都有影响, 尤其对振幅影响更加明显, 随着系统阻尼系数的增大, 系统振幅逐渐减小, 而共振域变化不明显.
图 8为不同参激刚度下系统的幅频特性曲线.
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图 8 参激刚度变化下幅频曲线 Fig.8 Amplitude-frequency curves with change of stiffness |
其中:k1= 3.1953×107N/m, k2= 3.4357×107N/m, k3=4.0726×107N/m, k4= 4.4468×107N/m.可以看出, 参激刚度对系统的共振振幅和共振域都有影响, 随着参激刚度的增大, 振幅和共振域都在逐渐增大.
图 9为ω=100rad/s, kb取不同值时全局分岔图.
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图 9 kb变化下分岔图 Fig.9 Bifurcation diagrams with change of kb |
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图 10 Lyapunov指数 Fig.10 Lyapunov exponent |
从图 9中可看出, 随着kb的变化, 系统出现多次通向混沌的道路, 包括倍周期分岔通向混沌以及阵发性混沌.其中, 当图 9a中kb在0到3.825×106之间时, 其对应的图 10a中Lyapunov指数大于零, 此时系统为混沌运动.当kb=3.825×106时, 系统对应的相位图和庞加莱截面如图 11所示, 可以看出庞加莱截面出现混沌吸引子, 这与图 10a中Lyapunov指数在kb=3.825×106附近由大于零转变为小于零是相对应的, 这些都是阵发性混沌的特征.
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图 11 kb=3.825×106时的相轨迹和庞加莱截面 Fig.11 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.825×106) |
当图 9a中kb=6×106时, 系统由阵发性混沌退化为周期运动.当kb= 1.35×107时, 系统出现周期三运动, 其对应的相位图和庞加莱截面如图 12所示, 可以看出系统相轨迹是3条闭合曲线, 此时其庞加莱截面为3个孤立点.
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图 12 kb= 1.35×107时的相轨迹和庞加莱截面 Fig.12 Phase trajectory and Poincare section (kb=1.35×107) |
当图 9a中kb处于1.4×107~1.8×107区间时, 系统由倍周期通向混沌.图 13为kb=1.8×107时, 系统对应的相位图和庞加莱截面.
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图 13 kb= 1.8×107时的相轨迹和庞加莱截面 Fig.13 Phase trajectory and Poincare section (kb=1.8×107) |
当图 9b中kb处于3×107~4×107之间时, 对应的图 10b中Lyapunov指数连续多次正负交替, 这说明系统出现了多次阵发性混沌.此时系统首先由阵发性混沌退化为周期运动, 之后系统又经过两次阵发性混沌, 最终在kb=4×107之后进入周期运动状态.
图 14和图 15为多次阵发性混沌中出现的混沌运动和周期运动.图 14为kb=3.3×107时, 系统出现混沌运动的相位图和庞加莱截面.图 15为kb=3.4×107时, 系统出现周期六运动的相位图和庞加莱截面.
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图 14 kb= 3.3×107时的相轨迹和庞加莱截面 Fig.14 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.3×107) |
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图 15 kb= 3.4×107时的相轨迹和庞加莱截面 Fig.15 Phase trajectory and Poincare section (kb=3.4×107) |
可以看出, 不同的kb下轧机有着不同的振动形态, 这可为进一步控制轧机振动行为提供参考.
5 结论1) 同时考虑动态轧制力和辊面振纹影响, 建立了含非线性动态轧制力的冷轧机参激振动模型.
2) 应用多尺度方法得到系统发生1/2亚谐共振时的分岔和幅频特性方程.运用奇异性理论研究系统在非自治情况下分岔特性, 得到系统的转迁集及其在平衡点附近稳定的开折区域.幅频曲线的振动幅值和共振域随系统阻尼增大而减小; 而增加参激刚度会使幅频曲线的振幅和共振域迅速变大, 对机械设备安全运行造成一定威胁.
3) 采用轧机实际参数进行数值仿真, 发现系统参激刚度变化会使轧机出现周期运动和混沌等多种不同的运动形态.
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