随着以Facebook, Twitter, 微博和微信为代表的在线网络的飞速发展, 社交网络已经成为一种非常重要的信息传播平台.用户在分享信息的同时, 也要面临谣言等有害信息带来的不良影响.因此, 如何分析、理解及利用社交网络上信息传播, 已成为当前计算机科学、社会学、物理学等多个学科的热点研究方向^[1-2].

监控社会网络上的信息传播过程, 找出信息传播的源点, 对于许多实际问题具有重要意义.例如, 寻找在线社交网络中的“谣言发布者”^[3], 设计在线广告的应对营销策略^[4]等.最早尝试解决这个问题的是Shah等^[5], 他们针对树形拓扑的计算机病毒的传播, 提出了一种面向SIR模型的定位方法, 通过最大似然估计推断源点的位置; Shen等^[6]提出了针对二元时间序列的网络重构方法, 并用于发现网络中的潜在源点.Brockmann等^[7]提出了传染病网络中有效距离的概念, 将复杂的传播拓扑还原为环状扩散, 而扩散圆心即为潜在的传播源点.Pinto等^[8]提出了一种基于部分感知节点的源点定位方法, 根据预先选择的部分感知点收到消息的时间和方向, 采用最大似然估计方法估计信息源点.上述基于部分感知节点的方法避免了大规模网络数据的搜集, 但是并没有考虑传播过程中网络拓扑动态改变的问题, 因此并不能适用于快速变化的动态社交网络.

本文提出一种面向动态在线社交网络的信息传播源点定位方法, 其基本思路是, 在网络中预先部署少量观察点, 负责监控并搜集网络中信息的传播状态.在定位时刻网络拓扑结构的基础上, 基于偏好性及相似性这两个网络演化的关键因素^[9]推断传播时网络的拓扑结构; 根据观察点搜集到的传播过程, 基于传播时刻的网络拓扑估计潜在的信息源点.上述过程的难点在于如何基于当前的拓扑结构推断以前传播时刻网络的拓扑结构，这本质上是链接预测的逆问题.对此, 基于网络演化模型, 找出新近改变的边, 从而还原网络的拓扑变化, 进而准确地定位传播源点.

1 动态网络上的源点定位方法

将社交网络记为有向网络G^t(N, E), 表示网络在时刻t的拓扑结构, 其中N=S∪O∪V是网络节点的集合, S，O，V分别为源节点、感知节点和其他节点的集合；E={e₁, e₂, …, e_L}是网络中L条边的集合.令未知源点s^*在时刻t^*向其所有的邻居节点发出消息m, 其对应的网络拓扑为G^t*(N, E).每个节点v_i∈V有两种可能状态:激活状态, 即已经接收到信息m; 未激活状态, 即到当前时刻t为止还未接收到信息m.若节点v_i是第一次接收到消息m, 那么v_i从未激活状态转变为激活状态.消息在每条边上的传播延迟记为t_vivj, t_vivj是随机变量, 代表消息从节点v_i到节点v_j的延迟时间.网络中所有边的传播延迟集合{t_vivj}满足一个已知的任意联合分布, 其均值为μ, 方差为σ².对于任意节点v_i∈V, t_vi表示v_i首次收到信息m的时间.信息的传播过程见图 1和图 2.

网络中存在一类特殊节点, 称为感知节点.感知节点记录了它收到消息的时间和方向.即若o_k∈O是感知节点, 在o_k首次收到信息m时, 记录传播信息 (o_k, v_i, t_viok), 其中t_viok表示感知节点o_k从其邻居节点v_i接收到信息的时间.令进行源点定位的时间为t^l, 因为一般都是在消息传播到一定范围之后才进行定位, 所以定位时间t^l大于传播时间t^*.在这个过程中, 网络拓扑由G^t*(N, E) 改变为G^tl(N, E).由于只能获取定位时的网络拓扑G^tl(N, E), 如何推断出传播时的网络拓扑G^t*(N, E) 就成为关键问题.

在线社交网络的一个显著特点是其结构不是稳定不变的, 节点之间的连边会随着时间的推移不断改变.例如, 一个新用户加入社交网络后, 会不断添加好友扩展朋友圈.对于这个动态变化的过程, 可以用网络的演化模型来描述.目前经典的网络演化模型是BA无标度网络模型^[9], 其基本规则是偏好依附及增长, 描述了网络在增长过程中节点的择优链接现象, 其根源在于富者更富现象.另外相似性也是网络一个重要特征, 例如节点复制模型^[10]等.近期, Papadopoulos等^[11]结合了流行性及相似性这两个网络演化模型中的重要因素, 提出了一个基于双曲几何学的复杂网络演化模型.模型中将节点的流行性与相似性建模为双曲坐标系下的角坐标与半径坐标, 能够生成与实际网络更符合的模型网络.这个模型可以简单描述为:①设置初始网络为空; ②在t(t≥1) 时刻，圆环的随机角位置θ_t上会出现新的节点v_t; ③为节点v_t添加m个链接, 指向m个网络现有节点, 这些节点由任意节点v_s的出现时间s(s < t) 与θ_st的乘积最小的m个节点组成, 其中m=/2, 为网络平均度, θ_st是v_s和v_t之间的角距离.

为了推断源点传播消息时的网络拓扑, 采用文献[11]的方法对网络动态演化进行建模, 推断出传播过程中变化的拓扑连边, 从而准确定位源点.对于网络G₁(N, E₁), 令网络的邻接矩阵为A=(a_ij), 如果节点v_i与v_j节点之间存在链接, 则a_ij=a_ji=1;否则a_ij=a_ji=0, 需要推断网络中在最终时间t内所有节点v_i(i=1, 2, …, t) 的半径坐标r_i和角坐标θ_i, 即{(r_i(t), θ_i)}={(r₁(t), θ₁), (r₂(t), θ₂), …, (r_t(t), θ_t)}.为此, 需要确定k_i~e^r_t－r_i, 其中k_i为节点v_i的期望度; 然后用真正的度k_i代替k_i, 进而推断节点的半径坐标.每个节点的坐标值, 可以通过最大化以下似然估计式^[11]来完成:

(1)

其中是节点v_i与v_j连边概率, R是双曲圆半径, T是网络平均聚集系数.

在为网络中的每个节点拟合双曲坐标后, 计算网络中所有连边的双曲距离x_ij, 并将链接按照分配的出现时间进行降序排序, 在网络中去掉排序次序靠前的Δl个链接, 所得到的网络记为G₂(N, E₂), 将其作为传播时的拓扑.具体步骤如下:

1) 为了推断网络的半径坐标和角坐标, 首先在当前网络G₁(N, E₁) 上运行双曲映射算法;

2) 给每个观察到的链接分配出现时间φ_ij=x_ij, 这里v_i, v_j表示此链接的两个端点, x_ij是节点v_i出现时与节点v_j之间的双曲距离;

3) 对现存的链接按照分配的出现时间进行降序排序, 删除当前网络序列中的前Δl个链接，进而得到估计出的真正的传播拓扑G₂(N, E₂).

得到网络的传播拓扑后, 采用文献[8]提出的最大似然估计器估计信息源点, 算法的伪代码如下所示.

算法:动态源点定位 (dynamic source localization algorithm, DLSA).

1) Input:观察量集合O={(o_i, v, t_voi)}; 网络G₁(N, E₁);

2) 对于网络G₁(N, E₁), 所有节点按度值k_i降序排序，k₁>k₂>…>k_M, 若节点的度相等则它们的顺序任意; 每个拥有度k_i的节点记为v_i, i=1, 2, …, M;

3) 令v_i(i=1) 的初始坐标r₁=0, 角坐标θ₁为随机值, θ₁∈[1, 2π];

4) for i=2到M do

5) 为节点v_i分配初始坐标;

6) 按照公式r_j(i)=βr_j+(1－β)r_i对所有现存节点v_i, v_j(j < i) 添加它们的半径坐标;

7) 给节点v_i分配角坐标θ_i, 使似然估计L_vi(式 (1)) 最大化.

8) endfor

9) 令v_i, v_j链接的出现时间φ_ij=x_ij, 按φ_ij降序排列观察到的链接; 在G₁(N, E₁) 中删除序列中前Δl个链接, 得到估计的传播拓扑G₂(N, E₂);

10) 在G₂(N, E₂) 上, 令收到消息的观察点子集为为O_a的大小;

11) 选定O_a中任意观察点为o₁, 令其首次收到信息的时间为t₁;

12) for s∈S=N－O_a do

13) 在G₂上以s为根生成广度优先搜索树T_{bfs, s};

14) 令;

其 中d是观察到的延迟，μ_s是确定性延迟，Λ是协方差;

15) endfor

16) return节点ŝ即为信息源点

2 实验分析

为了验证算法的准确率及效率, 定义了定位概率、定位误差距离和定位误差比例, 通过这些指标对算法进行评价.

定位概率定义为L_1p=Count (s^*=ŝ)/ExpTimes, 其中Count (s^*=ŝ) 表示定位准确的实验次数，ExpTimes表示总实验次数.定位误差距离定义为, 其中L_max表示估计量ŝ距离真正源点s^*的跳数在h次实验中的最大值, C_i表示估计量ŝ距离真正源点s^*的跳数为i的实验次数.定位误差比例定义为L_1ef(h)=CountH (h)/ExpTimes, 其中CountH (h) 表示估计量距离真正源点s^*的跳数为h的实验次数.

为验证算法的有效性, 本文采用无标度网络^[9]进行实验, 生成的网络节点数M=1 000, 边数L=3 000.首先考察定位时间对于定位准确率的影响.一般来说, 当传播时间较长时, 信息在网络中广泛传播, 同时拓扑会发生较大的变化, 可能会造成准确率降低.因此, 考察了不同定位时间差Δt=t^o-t^s的源点定位准确率, 其中t^o为定位时间, t^s为源点传播时间.令Δt=25, 50, 75, 100, 125, 150 s.观察点的选择采用随机选取、高度节点和高k-core节点三种策略, 观察点比例为5%.对每个时间差的每种部署策略进行1 000次随机传播实验, 据此计算出定位概率.选用文献[8]中使用的静态定位算法作为对比.

从图 3中可以看出, 在随机部署策略下, 动态源点定位算法的定位概率与静态算法的定位概率大致相同, 而对于高度节点策略和高k-core节点策略, 动态源点定位算法的定位概率明显高于静态定位算法.随着时间差的增大, 动态源点定位算法的定位概率基本保持不变, 而静态算法的定位概率大致呈下降趋势, 除随机策略外.

图 4给出了动态定位算法不同观察点部署策略下的定位误差距离和定位误差比例.令时间差为Δt=25 s.从图 4看出, 对于定位误差比例，动态算法在高k-core节点策略中误差距离为0的比例最高; 对于定位误差距离，在动态定位算法中, 高k-core节点策略的误差距离主要集中在0附近, 随机策略误差距离则集中在2附近.对于不能准确定位的情况, 真实源点与估计源点的距离也在2至3跳以内, 这也说明了算法的可行性.

3 结语

本文提出一种面向动态社交网络的信息传播源点定位方法, 算法基于偏好性及相似性这两个网络演化的关键因素, 通过推断传播时网络的拓扑结构, 从而准确地定位网络传播信息源点.算法基于观察点搜集到的部分传播数据和传播时刻的网络拓扑, 估计潜在的信息源点.在模型网络上进行实验, 结果表明, 本文所提出的动态定位算法, 相对于不考虑拓扑动态变化的静态定位算法, 其定位准确率有较大提高.

本文的算法有一个前提假设, 即动态社交网络只考虑边的变化, 这对于以微博为代表的在线社交网络来说, 在短时间内是符合实际情况的.对于节点与边同时变化的情形, 将在以后的工作中进行探讨.