岩溶地区的水文地质和工程地质条件颇为复杂, 由岩溶作用所形成的溶洞、暗河、淤泥带等构造, 在隧道穿越大规模岩溶区时, 对隧道施工危害较大^[1-5].溶洞填充物的材质、密实程度等对衬砌结构力学行为影响显著, 若处理不当会对衬砌结构产生不利影响^[6].此外, 溶洞尺寸对衬砌的变形有影响, 溶洞尺寸越大, 影响程度越大, 进而影响隧道衬砌的安全与稳定^[7].因此, 研究隧底溶洞对衬砌受力的影响具有重要的工程意义.

已有研究中, 隧底溶洞对衬砌结构力学行为影响研究多侧重于数值模拟计算, 对于理论推导较少涉及.在理论推导方面, 何翊武等^[8]以Winkler弹性地基梁理论为基础, 对隧底溶洞影响衬砌受力进行了研究.但Winkler模型并未考虑地基的剪切变形, 导致计算结果误差较大^[9].许多学者致力于对Winkler模型进行改进, Pasternak^[10]和Leontev^[11]各自提出了双参数地基模型, 两模型均得到工程界广泛认同.本文基于Pasternak弹性地基梁理论, 推导并求解了无仰拱隧道拱脚部分弹性地基梁的挠度方程和内力计算公式；结合某工程实例, 分析了Pasternak模型和Winkler模型的计算结果, 与现场监测结果对比；并基于Pasternak模型对不同介质压缩模量和溶洞规模影响下的衬砌力学行为进行了多工况计算分析, 得到隧底溶洞对衬砌结构力学行为影响规律, 为今后类似工程设计及施工提供借鉴.

1 工程概况

某隧道最大埋深为78 m, 根据地质勘察资料, 隧道地处岩溶地区, 为典型的岩溶隧道.此隧道的围岩级别为Ⅲ级, 设计未设置仰拱.在隧道YK6+258位置左拱脚处有一个溶洞, 溶洞规模为(宽×深×长):4.8 m×5.5 m×9.7 m.在该区段隧道施工中, 隧道底部溶洞采取换填封闭.

2 解析分析 2.1 计算模型

当隧道底部穿越溶洞时, 根据溶洞所处的位置, 可将衬砌沿纵向分为3个区段(见图 1):搁置段(AB)、溶洞段(BD)、搁置段(DE).在建立力学模型时, 作如下假定:

1) 衬砌未设置仰拱, 沿隧道纵向可将衬砌拱脚等同于一根搁置于弹性地基上的梁.

2) 研究对象为深埋隧道, 地基梁上的竖向荷载视为均布荷载.

3) 衬砌分环浇筑, 在荷载作用下衬砌连接处拱脚弯矩和剪力趋于0, 故将梁两端视为自由端.

2.2 微分方程解析 2.2.1 微分方程建立

由于弹性地基梁计算模型完全对称, 故可取半结构ABC部分分析.

采用双参数Pasternak模型有

(1)

可得到地基梁的挠度控制方程，

(2)

其中, b^*为考虑双参数地基连续性有限宽度梁的等效宽度,

(3)

1) 在AB段, 围岩压力为q₀, 地基反力为

(4)

其挠度控制方程为

(5)

2) 在BC段, 围岩压力为q₀, 地基反力为

(6)

其挠度控制方程为

(7)

2.2.2 微分方程求解

1) AB段微分方程求解.

令, 且λ₁ < 1.一般情况下, G_p1 < < k₁, 所以, .

且令:

(8)

(9)

因此, AB段微分方程的通解为

(10)

2) BC段微分方程求解.

同理可得BC段微分方程的通解:

(11)

2.2.3 边界条件

A端为自由端, 弯矩和剪力均为0, 故有边界条件:

(12)

在B点, 地基梁满足连续性条件, 有边界条件:

(13)

在C点, 由对称性有边界条件:

(14)

2.2.4 参数求解

将含未知参数的方程联立方程组, 用Matlab编程求解矩阵便得到挠度方程中的参数, 进而求得地基梁的挠度方程.

3 衬砌力学行为分析 3.1 溶洞段衬砌力学行为分析与比较

该隧道埋深在78 m左右, 属于深埋隧道, 按Ⅲ级围岩计算.竖向围岩压力按偏安全考虑, 取均布荷载q₀=2 MN/m; 拱脚部分弹性地基梁截面为b×h=1 m×1 m, 惯性矩I=0.083 33 m⁴, 梁的弹性模量E=28 GPa; Ⅲ级围岩的地基系数k₀=6 MN/m³, 取溶洞填充物的地基系数k₁=4 MN/m³.按最不利情况取溶洞半长度L₁=5 m, 搁置长度L₀=5 m计算.Pasternak模型与Winkler模型得到的最大变形、极值弯矩和剪力及其出现位置等计算结果及现场监测结果如表 1所示.

由表 1可知:两种计算模型在计算结果上存在一定差异, Winkler模型计算的结果比Pasternak模型计算的结果偏大, Winkler模型计算的结果与现场监测结果相差较大, 误差范围为24 %~34 %; Pasternak模型计算的结果与现场监测结果比较接近, 误差范围为6 %~11 %, 与现场监测结果相差较小; 与Winkler模型计算的结果相比, Pasternak模型计算的结果更符合实际受力情况.

3.2 溶洞填充物对衬砌位移内力的影响

考虑最不利情况, 在溶洞长度为10 m, 搁置长度为5 m, 溶洞填充物与围岩的压缩模量比值从0.1到1.0情况下, 分别计算衬砌位移及内力, 计算结果如图 2~图 4所示.

两种计算模型所计算的最大位移和极值内力的发生位置一致.在竖向围岩压力作用下, 溶洞段中心衬砌的沉降最大.衬砌的反弯点在围岩和溶洞的交界处, 且交界处剪力达到最大.因此, 围岩与溶洞交界处是不利受力位置, 衬砌容易产生裂缝, 发生破坏.

由图 2可知:当压缩模量比值减小时, 衬砌位移逐渐增加.压缩模量比值为1.0时, 衬砌整体下沉1.667 mm; 压缩模量比值大于等于0.5时, 压缩模量对衬砌位移影响较小, 最大沉降量仅为3.35 mm; 压缩模量比值小于0.5时, 压缩模量对衬砌位移影响较为显著, 最大沉降量达到16.97 mm.围岩和溶洞交界处附近位移急剧增大.

由图 3可知:当压缩模量比值减小时, 最大正、负弯矩的绝对值迅速增加.压缩模量比值为1时, 衬砌所受弯矩为0;压缩模量比值大于等于0.5时, 压缩模量对衬砌所受的弯矩影响较小, 最大弯矩的绝对值仅为78.58 kN·m; 压缩模量比值小于0.5时, 衬砌所受弯矩受压缩模量影响显著, 最大弯矩的绝对值达到815.10 kN·m; 反弯点位于围岩和溶洞交界处靠近围岩一侧.

由图 4可知:当压缩模量比值减小时, 最大正、负剪力的绝对值迅速增加, 正剪力增大趋势更加明显.压缩模量比值为1时, 衬砌所受剪力为0;压缩模量比值大于等于0.5时, 压缩模量对衬砌所受的剪力影响较小, 最大剪力的绝对值仅为482.93 kN; 压缩模量比值小于0.5时, 压缩模量对衬砌所受的剪力影响较大, 最大剪力的绝对值达到4 478.50 kN; 溶洞与围岩交界处剪力达到最大, 该部位最容易发生剪切破坏.

3.3 溶洞规模对衬砌位移内力的影响

按最不利情况, 取溶洞填充物与围岩的压缩模量比值为0.1, 溶洞半长度L₁为1~5 m情况下, 分别计算衬砌位移与内力, 计算结果如图 5~图 7所示.

由图 5可知:当溶洞规模增大时, 衬砌的位移逐渐增加.溶洞长度大于8 m时, 衬砌位移明显增大, 衬砌位移最大值达到16.97 mm, 位移较大; 溶洞长度小于等于8 m时, 衬砌位移明显减小, 最大沉降量仅为4.15 mm, 位移较小.

由图 6可知:当溶洞规模增大时, 衬砌所受弯矩逐渐增加.但是, 溶洞规模的变化对衬砌所受弯矩影响较小; 最大正弯矩为815.10 kN·m, 最小正弯矩为711.80 kN·m, 两者相差不大.

由图 7可知:当溶洞规模增大时, 衬砌所受剪力逐渐增加, 正剪力增大趋势更为明显.溶洞长度大于8 m时, 衬砌所受剪力明显增大, 最大剪力的绝对值达到4 478.0 kN; 溶洞长度小于等于8 m时, 衬砌所受剪力明显减小, 最大剪力的绝对值为2 480.2 kN.可见溶洞长度越大, 衬砌结构剪应力越大, 长度8 m以上溶洞对衬砌结构剪应力影响较大, 对衬砌结构受剪安全性极为不利.

结合溶洞规模对衬砌结构位移及内力的影响可知, 长度为8 m以上溶洞严重威胁衬砌结构的安全性, 在溶洞整治时应重点关注, 及时采取有效措施进行处理, 防止溶洞规模继续发展.

4 结论

1) Winkler模型计算的结果比Pasternak模型计算的结果明显偏大, Pasternak模型计算结果更符合实际情况; 两种模型计算得到的最大位移和极值内力的发生位置一致.

2) 溶洞填充物与围岩压缩模量之比越小, 溶洞对衬砌受力的影响越大.当压缩模量比值大于等于0.5时, 其影响较小; 当压缩模量之比小于0.5时, 溶洞段衬砌的位移和内力急剧增大.

3) 溶洞规模越大, 衬砌最大位移越大, 衬砌受力越不利.但溶洞规模增大对衬砌所受弯矩影响较位移和剪力影响小; 长度为8 m以上溶洞对衬砌结构危害性较大, 在溶洞整治时应重点关注.