多自由度机械臂是具有强耦合、冗余非线性且随时间变化的机械系统, 并且存在着非线性摩擦、有效载荷变化以及外部干扰等不确定性.这些特性使系统的固有性能和稳定性无法得到保障, 并且很难建立机械臂的准确的动力学模型.
到目前为止, 已经有大量的控制方法对机械臂轨迹进行控制.文献[1]中用一个基于模型的T-S模糊滑模控制器对两关节机械臂位置进行控制; 文献[2]设计了一种基于系统辨识的广义比例积分(PI)的自适应控制器对单连杆机械臂进行控制; 文献[3]设计了一种基于T-S模糊模型的自适应控制器, 并将其用于控制恒定负载的机械臂, 另外还提出了通过补偿有效载荷的影响来控制机械手运动中随时间变化的未知载荷; 在文献[4]中, 所述控制器通过滑模控制补偿时变的有效载荷的影响, 并将其用于控制机械臂.
但是, 机械臂的动力学方程不仅有负载的波动, 也有其他不确定性因素, 如摩擦、干扰和未建模动态等.如果在控制器的设计过程中不考虑这部分不确定性, 那么闭环系统的稳定性将得不到保证[5].因此, 本文提出一种简单有效的控制方法,通过模糊滑模控制器控制机械手在存在结构化和非结构化不确定性情况下进行位置跟踪.与经典滑模控制不同的是, 所提的控制方法几乎不存在抖振.
1 机械臂的动力学建模n个连杆的刚性机械臂的动力学可以通过如下的二阶非线性微分方程表述[6]:
(1) |
其中:q,
本节用线性化反馈方法等效动力学的已知部分[7].对于多连杆机械手轨迹跟踪的目标是使实际角度位置q尽可能地跟踪预期角位置qd∈Rn.为了实现这一目标, 将控制输入转化为如下形式:
(2) |
其中:
(3) |
定义:
那么式(3)可被简化成:
(4) |
所以,
(5) |
之后, 可将式(5)写成:
(6) |
令:
所以,
(7) |
根据上述定义, η包括全部现有的不确定性, 即, 如果系统不存在结构化和非结构化的不确定性, 那么η=0.
在式(7)中, 输入控制V(t)为
(8) |
式中W(t)是新控制律.将式(8)代入式(7)得
(9) |
定义角度误差e(t)=q-qd, 式(9)被简化为
(10) |
定义e(t)=X1(t)以及
(11) |
对于滑模控制(SMC)的设计, 首先定义滑模面.滑模面选择如下[8]:
(12) |
其中C是常系数向量.
控制律W(t)的设计使实际轨迹能够跟踪理想的路径.并且, 使跟踪误差及其他相关误差趋于零.本文将W(t)分为等效项Weq(t)和切换项Ws(t), 并且:
(13) |
在滑动阶段, 根据滑模面的设计, S(t)=0并且其导数(t)=0.等效项Weq(t)保证系统在滑模面上运动.在到达阶段, S(t)≠0, 切换项Ws(t)被设计成满足到达条件, 即S(t)
对于Weq(t), 将式(12)求导, 且其导数为0, 并代入式(11),得
(14) |
在设计Weq(t)时, 假设滑模面为0, 所以Weq(t)是为了防止滑模面发生变化.根据这个假设, 在设计Ws(t)部分时将其等于0.将式(13)代入式(14), 得
(15) |
即
(16) |
根据式(16), 可以得出
(17) |
其中‖η‖代表范数.通过式(17), Weq(t)可以被设置成如下形式:
(18) |
通过设计Ws(t), 使滑动面趋向于零.下面设计李雅普诺夫函数形式使其稳定[9-10]为
(19) |
将李雅普诺夫函数对时间t求导:
(20) |
由式(12)和式(20), 可以得出
(21) |
根据式(11), 式(13)和式(21), 可以得出
(22) |
之后将式(18)代入式(22), 得到
(23) |
根据式(23)的结果可以看出, 当满足以下条件时,
(24) |
其中ρ是正常数, 通过式(13), 式(18)和式(24), 有
(25) |
T-S(Takagi-Sugeno)模糊逻辑系统是日本学者Takagi和Sugeno在1985年提出的一种描述复杂非线性工业过程和动力学系统的非线性数学模型.用IF-THEN规则可以描述如下[11-12]:
Ri:如果x1(t)是A1i, …, xq(t)是Aqi, 那么ui(t)=fi(X(t), t), i=1, …, r.其中:Ri代表第i个模糊规则; xj和Aij(i=1, …, r, j=1, …, q)分别为变量和模糊集; r是模糊规则的数目.
根据T-S模糊系统的模糊推理方法, 整个系统的控制输入U(t)可以由轨迹X(t)的加权平均的形式获得
(26) |
其中Td=[Td1, …, Td6]T, 且X(t)∈Rq, 权重公式定义为
(27) |
其中:Aij(xj(t))是xj(t)的成员在模糊集Aij权重等级; 权重函数wi(X(t))是非负的、可衡量的, 通常满足:
在本文中, 模糊推理规则库被建立为
规则1 如果S(t)为正, 那么W(t)=W1(t)=W+(t).
规则2 如果S(t)为负, 那么W(t)=W2(t)=W-(t).
最后, 可通过重心法去模糊化来获得系统控制W(t):
(28) |
综上, 所设计的控制输入如下:
(29) |
其中:
(30) |
为了验证提出的控制方案的性能, 将上面给出的控制器用于六轴机械臂, 并且为了更好地看出机械臂的实时运动情况, 同时也为了验证模型的准确性, 本文采用Matlab/Adams联合仿真[13].图 1是机械臂的二维结构简图, 图 2为导入到Adams中的机械臂模型.
根据式(1), 本文选取各关节理想轨迹qd均为0.3sin(t), 且所有关节的初始位置为0.τd=[Td1, …, Td6]T, Tdi均为10.τdi是扰动和未建模动态, τ(t)是转矩输入. C=[10 10 10 10 10 10], ρ=5.表 1为六轴机械臂的具体参数, 详细算法参考文献[14], 这里不赘述.
图 3和图 4分别是采用滑模控制和T-S模糊补偿滑模控制的6个关节的位置误差, 而图 5为经典滑模控制与所提出的T-S模糊补偿滑模控制的6个关节的力矩.通过比较发现, 所提出算法的误差大约在0.005左右, 略大于经典滑模控制的误差, 但此误差在所能接受的范围内.而经典滑模控制存在较大的抖振, 所提出的算法可以很好地消除抖振, 因此更能应用于实际情况.此外, 根据图 4, 通过应用所提出的控制, 机器人操作器的跟踪误差在很短的时间内会趋近于0, 而经典滑模控制大约要在1.5 s的时候才会趋近于0, 因此所提出方法的趋近速度更快.这是由于T-S模型的系统参数可以离线计算, 从而减轻了在线计算负担, 保留了快速响应的优点.图 6和图 7分别是通过Matlab/Adams联合仿真时各关节同基坐标系之间的位置以及各关节的空间运动轨迹.其相对位置曲线基本符合正弦函数的特征, 说明三维模型的确是在所建立的数学模型的基础上进行仿真的, 并且运动效果良好, 图 7六轴机械臂的空间运动轨迹平滑, 同样说明了运动的准确性与可靠性.
本文结合反馈线性化和T-S模糊模型, 提出基于模糊补偿的滑模控制器, 并将其用于存在结构化和非结构化不确定性的机械臂的控制中.该方法设计原理简单, 并且不存在经典滑模控制中抖振的问题.数学分析表明, 在结构化和非结构化不确定性存在条件下,所提出的闭环控制系统具有全局渐近稳定.联合仿真结果表明, 该方法有效地克服了现有方法的不确定性, 并且跟踪性能较好, 误差在可控范围内.收敛时间较经典滑模控制更快,同时验证了数学模型正确无误, 实际运动轨迹与所期望的相符, 符合实际工程应用需求.
[1] |
Liang Y W, Xu S D, Liaw D C, et al.
A study of T-S model-based SMC scheme with application to robot control[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2008, 55(11): 3964–3971.
DOI:10.1109/TIE.2008.2005138 |
[2] |
Becedas J, Trapero J R, Feliu V, et al.
Adaptive controller for single-link flexible manipulators based on algebraic identification and generalized proportional integral control[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics Part B, 2009, 39(3): 735–751.
|
[3] |
Hyun C H, Park C W, Kim S.
Takagi-Sugeno fuzzy model based indirect adaptive fuzzy observer and controller design[J]. Information Sciences, 2010, 180(11): 2314–2327.
DOI:10.1016/j.ins.2010.02.002 |
[4] |
Rojko A, Jezernik K.
Sliding-mode motion controller with adaptive fuzzy disturbance estimation[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2004, 51(5): 963–971.
DOI:10.1109/TIE.2004.834945 |
[5] |
Zhuang K Y, Su H Y, Chu J, et al. Globally stable robust tracking of uncertain systems via fuzzy integral sliding mode control[C]//Proceeding of the 3rd World Congress on Intelligent Control and Automation. Hefei, 2000: 1827-1831.
|
[6] |
Tao Y, Zheng J, Lin Y.
A sliding mode control-based on a RBF neural network for deburring industry robotic systems[J]. International Journal of Advanced Robotic Systems, 2016, 13(1): 1–10.
DOI:10.5772/62058 |
[7] |
Piltan F, Yarmahmoudi M H, Mirzaie M, et al.
Design novel fuzzy robust feedback linearization control with application to robot manipulator[J]. International Journal of Intelligent Systems & Applications, 2013, 5(5): 1–10.
|
[8] |
Eric B, Aristotle A.
Simple sliding mode control scheme applied to robot manipulators[J]. International Journal of Control, 2007, 45(4): 1197–1209.
|
[9] |
Duchaine V, Gosselin C M. Investigation of human-robot interaction stability using Lyapunov theory[C]// Robotics and Automation. Pasadena, 2008: 2189-2194.
|
[10] |
Cuong P V, Wang Y N.
Adaptive trajectory tracking neural network control with robust compensator for robot manipulators[J]. Neural Computing & Applications, 2016, 27(2): 525–536.
|
[11] |
Guo Y, Woo P Y.
An adaptive fuzzy sliding mode controller for robotic manipulators[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics Part A Systems & Humans, 2003, 33(2): 149–159.
|
[12] |
Tanaka K, Sugeno M.
Stability analysis and design of fuzzy control systems[J]. Fuzzy Sets & Systems, 1992, 45(2): 135–156.
|
[13] |
Lu Z, Qi X, Wang H, et al.
Co-simulation system for a humanoid robot based on Pro/E ADAMS and MATLAB[J]. Information Technology Journal, 2013, 12(19): 5238–5244.
DOI:10.3923/itj.2013.5238.5244 |
[14] |
Fu K S, Gonzalez R C, Lee C S G.
Robotics:control, sensing, vision, and intelligence[M]. New York: Me Graw-Hill Book Company, 1987: 132-134.
|