2018, Vol. 39
最经典的自适应波束形成算法是由Capon[1]提出的最小方差(minimum variance, MV)波束形成, 该算法通过抑制离轴信号同时保持感兴趣的轴上信号来提高图像分辨率和对比度.然而MV对方向向量误差过度敏感, 稳健性不如传统的延时叠加(delay-and-sum, DAS)算法[2]; 其次, MV在增强图像对比度及抑制杂波方面仍有待提高; 而且, 高运算复杂度限制了MV的硬件实现, 其计算量体现在协方差矩阵求逆, 复杂度高达O(L3).
针对这些问题, 很多学者提出了改进和优化的方法.文献[3-4]提出了最小方差与符号相干系数结合(minimum variance combined with sign coherence factor, SFMV)的波束形成, 这种方法进一步提高了超声图像的分辨率和对比度.Park等[5]提出了基于QR分解的MV(minimum variance based on QR decomposition, QRMV)波束形成, 成功将运算复杂度降低到O(L2), 而且保持了与MV几乎相等的成像性能.
SFMV算法虽然获得了高分辨率和高对比度的超声图像, 但是进一步增加了算法的复杂度.QRMV算法虽然显著降低了运算的复杂度, 但是保留了MV的缺点.本文把符号相干系数引入到QRMV波束形成中, 提出一种基于QR分解的最小方差与符号相干系数融合(minimum variance combined with sign coherence factor based on QR decomposition, SFQRMV)的自适应波束形成算法.为了验证该算法的优越性, 采用了点散射目标和囊肿目标进行超声成像仿真实验, 并将该算法与DAS, MV, QRMV, SFMV算法在分辨率、对比度和运算复杂度上进行了比较.
1 方法 1.1 MV波束形成假设超声探头有M个等间距的换能器阵列, xm(n)是第m个通道在n时刻的回波数据.波束形成的输出表达式为
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(1) |
式中: xd(n)为延时聚焦后的信号, xd(n)=[x1 (n-D1), x2 (n-D2), …, xM(n-DM)]T, Dm为第m个通道的延时量; ω(n)为加权向量.当ω(n)为全1的向量时, 该表达式就是传统的DAS算法.
最小方差波束形式算法的最优加权向量ω是在保持期望方向增益不变的条件下, 使阵列输出的能量最小而得到的:
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(2) |
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(3) |
式中:R[n]为回波的协方差矩阵; α[n]为方向向量, 在回波数据经过延时后, α[n]可以表示为α[n]=[1, 1, …, 1]T.利用拉格朗日求解式(2), 得到最优加权向量:
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(4) |
在实际中, 无法得到精确的协方差矩阵R[n], 只能用样本协方差矩阵R [n]代替.为了去除信号的相关性, Synnevag等[6]引入空间平滑, 把M个阵元平均分割成具有M-L+1个重叠子阵, L为子阵长度.分别计算每个子阵的协方差矩阵, 然后求平均得到最终的协方差矩阵:
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(5) |
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(6) |
为防止出现病态协方差矩阵, 对协方差矩阵进行对角加载, 即用R[n]+λI替代R[n], λ为对角加载系数.最后MV波束形成器的输出为
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(7) |
其中子阵的长度L的选择必须保证协方差矩阵是可逆的, L需满足
相干系数(coherence factor, CF)反映了回波信号的相干程度, 用CF对各通道波束和进行加权能够抑制旁瓣.CF是基于幅度相干性的, 而SCF是根据回波信号符号分布特性设计加权因子, 设各通道回波信号符号位用bm[n]表示[7]:
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(8) |
对于各个通道的回波数据, bm[n]的方差为
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(9) |
符号相干系数F定义为
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(10) |
式中,
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(11) |
参数p(p≥0)用于调节SCF算法敏感度, p越大, 其抑制旁瓣和降低主瓣宽度的效果越明显.
1.3 SFQRMV波束形成SFQRMV算法首先通过引入变换矩阵T[n], 在变换域定义子阵数据向量zl[n]：
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(12) |
同样可以在变换域定义方向向量和空间协方差矩阵：
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(13) |
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(14) |
这样, 式(2)变为
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(15) |
求解式(15)得
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(16) |
波束形成器的输出为
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(17) |
变换的目的是使Rz[n]变成标量矩阵sI, 如果Rz[n]是标量矩阵, 那么它的逆矩阵也是标量矩阵.所以, 可以化简ωz[n]为
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(18) |
定义(M-L+1)×1的子阵向量uk[n]为
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(19) |
然后得到(M-L+1)×L维子阵数据矩阵U[n]:
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(20) |
对U[n]进行QR分解:
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(21) |
其中,
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(22) |
Q[n]是由正交基{qk[n]}k=1L构成的正交矩阵; S[n]是L×L的上三角矩阵.为了避免和空间协方差矩阵R[n]混淆, 用S[n]表示上三角矩阵.
在1.3节引入了变换矩阵T[n], 并且对{xl[n]}l=1M-L+1作变换, 而QR分解是对{uk[n]}k=1L应用的, 所以, 需要找到U[n]的QR分解和T[n]之间的关系.
首先, 对式(21)进行转置操作得
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(23) |
因为ST[n]是一个主对角线非零的下三角矩阵, 所以ST[n]是可逆的.式(23)左乘S-T[n]得
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(24) |
从U[n]和{xl[n]}l=1M-L+1的定义看, 可以重新写UT[n]：
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(25) |
在QT[n]中定义{zl[n]}l=1M-L+1为
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(26) |
其中:
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(27) |
分析式(24)~式(26), 令T[n]=S-T[n], 这样, 就可以使Rz[n]变成一个标量矩阵.
根据式(18), 仅通过αz[n]就可以得到ωz[n], 计算αz[n]:
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(28) |
为了避免ST[n]的求逆操作, 将式(28)变形为
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(29) |
因为ST[n]是一个下三角矩阵, 可以采用前向代替技术[8]求得αz[n].这样可以得到SFQRMV第一阶段波束形成的输出, 即QRMV波束形成器的输出:
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(30) |
也可以推出:
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(31) |
其中,
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(32) |
通过计算UT[n]中列向量的平均值即可得到xmean[n].由式(30)和式(31)可得
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(33) |
类似于式(29), 可以通过前向代替技术得到zmean[n], 这样无需计算Q[n], 仅通过U[n]和S[n], 就可以得到波束的输出.
观察式(20)可以发现, U[n]中平行于对角线的元素都相同, 即U[n]是一个Toeplitz矩阵.针对Toeplitz矩阵, Qiao[9]提出了快速QR分解算法.本文中令M=3L, 如果SFQRMV第一阶段波束形成采用Qiao的QR分解算法, 且只需计算上三角矩阵S[n], 可以使运算复杂度降低到O(L2).
SFQRMV算法第二阶段是用式(10)的符号相干系数对式(30)的输出结果进行加权, 最后得到波形成的总输出:
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(34) |
在Field II[10]超声仿真平台中, 进行点目标和囊肿目标仿真实验.设置超声探头为线性阵列, 阵元数M=96, 子阵长度L=32, 对角加载系数λ=10-5.点目标仿真设置6对点, 分布深度为20~ 70 mm, 横向距离为2 mm, 纵向距离为10 mm.不同波束形成算法的成像结果如图 1所示.囊肿仿真设置在x×y×z=10×10×10的空间区域内, 随机放置50 000个强度服从高斯分布的点, 成像深度为40~50 mm.同时在该区域中心设置一个圆形囊肿, 直径为6 mm, 囊肿内部点强度均为0.不同波束形成算法的成像结果如图 2所示.
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图 1 仿真点目标图像 Fig.1 Simulated point target phantom images |
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图 2 仿真囊肿图像 Fig.2 Simulated cyst phantom images (a)—DAS; (b)—MV; (c)— QRMV; (d)—SFMV(p=1.0); (e)—SFQRMV(p=1.0); (f)—SFQRMV(p=0.5). |
由图 1可知, DAS分辨率最差; 相比于DAS, MV和QRMV区分横向两点的能力变强, 二者表现了几乎相等的分辨率性能; 而SFMV和SFQRMV的分辨率最好, 都表现出最优分辨效果.为了更直观地说明不同算法对图像性能的影响, 图 3给出了40 mm处和60 mm处的点目标横向剖面图.主瓣是衡量侧向分辨率的具体指标, 旁瓣是衡量对比度的具体指标.通常, 主瓣越窄, 图像分辨率越高; 旁瓣级越低, 图像对比度越高.
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图 3 点目标图像侧向变化 Fig.3 Lateral variations of point phantom (a)—40 mm; (b)—60 mm. |
显然, MV和QRMV比DAS具有更窄的主瓣、更低的旁瓣级, 而且MV的主瓣略窄于QRMV, 旁瓣也略低于QRMV, 但二者总体性能非常接近.SFMV和SFQRMV主瓣宽度约小于MV和QRMV主瓣宽度的1/4, 它们的旁瓣级也比MV和QRMV低了约60 dB, 而二者的主瓣宽度和旁瓣级几乎重合, 进一步说明它们表现出几乎相等的性能.同时也可以看出随着深度的增加, 主瓣变宽, 旁瓣变高, 图像分辨率和对比度相应下降.
由图 3可知, DAS的中心圆区域噪声干扰最大, 不能很好区分中心圆和背景区域, 说明DAS算法对旁瓣的抑制能力差, 对比度低; 相比于DAS, MV和QRMV能在一定程度上抑制旁瓣, 提高对比度, 但是它们中心圆区域仍然存在着一定的噪声干扰.SFMV和SFQRMV则进一步降低旁瓣、抑制杂波、提高对比度, 从图中可以看出, 它们中心圆区域变得更加圆润清晰.但是也发现使用相干系数会导致图像背景亮度降低, 使整体图像质量降低.这个缺点可以通过调整SCF中的算法敏感系数p来改善, 通常令p取一个小于1的值.如图 2f所示, 当p=0.5时, 虽然中心圆内的噪声有一定增加, 但是增加了图像的整体亮度, 提高了图像对比度.
为了更直观地分析以上结果, 对图像对比度性质进行量化, 本文引入了囊肿对比度CR.CR定义为中心圆内部区域与外部背景区域的平均功率之差, 表 1给出了不同波束形成算法的对比度CR.由表 1可知, SFQRMV(p=0.5)的对比度最高, 依次是SFMV(p=1.0), SFQRMV(p=1.0), MV和QRMV, DAS的对比度最低.结果表明符号相干系数加权的方法能提高对比度, 而且通过调节敏感系数p可以调节算法的对比度性能.
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表 1 不同波束形成方法得到仿真囊肿的对比度 Table 1 Contrast of simulated cyst phantom for different beamformers |
在表 2中, 比较了SFQRMV和其他波束形成算法的复杂度, 这里只统计乘法运算数量.可以发现DAS的运算复杂度最低为3L, SFMV和MV的运算复杂度最高为
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表 2 不同波束形成方法的运算复杂度 Table 2 Computational complexity of different beamformers |
1) 本文提出了一种基于QR分解的最小方差与符号相干系数融合的医疗超声自适应波束形成算法, 该算法在超声成像性能和算法复杂度之间作到了较好的权衡, 既弥补了QRMV算法对比度低、稳健性差的缺点, 又提高了分辨率, 克服了SFMV算法复杂度高的问题, 还可以通过调节参数来调节算法的总体性能.
2) 点目标和囊肿仿真实验说明:与DAS, MV, QRMV算法相比, 本文提出的SFQRMV算法能显著提高图像分辨率和对比度, 达到了和SFMV几乎相等的成像性能, 并且具有较好的稳健性.
3) 算法复杂度分析说明:与MV, SFMV算法相比, 本文所提的SFQRMV算法能成功将运算复杂度降低为O(L2), 具有最高的运行效率.
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