2020, Vol. 41
近些年来, 各种用途的微/纳机电系统大量涌现.由于其极小的质量、极高的共振频率和品质因子(Q值), 它们作为超灵敏的传感器被广泛地应用于多个科学技术领域.其中, 作为典型应用的微纳谐振式质量传感器由于较高的检测精度, 被广泛应用于生物、化学、医学等多个领域[1-4].其检测原理为:当微粒吸附在传感器表面时, 传感器的共振频率发生变化, 通过检测微粒引起的振动偏差, 从而来确定微粒的质量和位置[5].并且随着传感器尺寸的减小, 以及采用杨氏模密度比较高的材料, 可以使传感器的共振频率增加, 从而提高其灵敏度.最新的研究表明, 传感器的质量分辨率已经达到了10-18~10-21 g的量级[6].Chen等[7]是最开始研究应用微纳质量传感器测量微粒的可行性, 从此以后微/纳传感器得到了稳定的发展.Dohn等已经利用多阶传感器的频率移动反求得到了待测微粒的质量和位置信息[8], 并且验证了使用高阶模态的共振频率会大大提高传感器的灵敏度[9].然而在现有的大多数研究中, 吸附微粒的质量要求比传感器自身质量小得多, 因此假设传感器的模态不受质量负载的影响[10-14].该假设并不是永远成立的, 在实际应用中, 总需要测量相对质量较大的微粒.
不同于这种假设, 本文利用摄动理论来系统描述附着的离散微粒质量对微悬空桥共振特性的影响.这将通过推导一个基于摄动法的新理论模型来实现[15].所得到的结果可以用来估计吸附微粒对悬空桥在任意模态下的共振频率和模态的影响.通过该影响可以进一步得到更加精确的悬空桥的频率移动以及待测微粒的质量.其结果也可以用来确定假设吸附微粒的质量远小于传感器的质量的现有模型.该方法的正确性通过有限元进行了验证.
1 微悬空桥的模态变化将纳米机械质量传感器建模为微悬空桥结构, 在桥的任意位置负载一个集中质量的微粒(可以忽略微粒负载对悬空桥刚度的影响).如图 1所示, 坐标系原点位于桥的左夹持端中心, x轴指向梁的长度方向.L代表微悬空桥的长度, Δm代表负载微粒的质量, xΔm代表微粒在悬空桥上的位置.
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图 1 表面带有吸附微粒的微悬空桥示意图 Fig.1 Schematic diagram of a micro-suspended bridge with an adsorbed particle on its surface (a)—单一悬空桥; (b)—集中载荷模型. |
根据欧拉-伯努利梁理论, 在不考虑应力和刚度等变化因素的情况下, 单位长度的悬空桥自由振动运动方程可表示为
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(1) |
其中:E, I分别为杨氏模量和弯曲截面转动惯量, (对于矩形截面梁I=bh3/12);ρ和A分别为悬空桥的密度和横截面积; Un(0)(x)为不受扰动的悬空桥的n阶模态; Ωn(0)=ωn, 02, ωn, 0为不受扰动的悬空桥的共振频率.
现有一质量为Δm的微纳粒子吸附在悬空桥的xΔm处.由于负载, 悬空桥的模态和共振频率发生改变, 其运动方程可表示为
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(2) |
其中:Un(x)和Ωn分别为微粒负载在传感器表面时的n阶模态及共振频率的平方, 换句话说就是受扰动后的悬空桥的模态和共振频率; μ(x)为吸附微粒单位长度的质量.
利用摄动理论, 模态和共振频率可以表示为
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(3) |
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(4) |
其中, Un(1)(x), Ωn(1)分别为Un(x)和Ωn的一阶摄动量, Ωn(1)=2ωn(0)ωn(1).
由于Un(0)(x), Un(1)(x)均为满足全部边界条件的正交函数, 根据分步积分, 并且利用悬空桥的边界条件, 可以得到共振频率的一阶摄动量:
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(5) |
对于初始振型函数的一阶摄动, 将Un(1)(x)写成初始模态的叠加:
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(6) |
将式(6)代入到式(2)可以得到
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(7) |
将式(7)代入到式(6)有
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(8) |
因此
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(9) |
在传感器的应用中, 有限元仿真分析是设计纳米机械传感器, 确定其动态性能和验证分析模型的有效工具.本文使用ANSYS16.0创建了微悬空桥结构的三维有限元模型, 并且任意选取模型的材料和尺寸参数.不失一般性, 本文选择微悬空桥的长度、宽度和厚度分别为100, 10, 1 μm.另外, 微悬空桥材料的弹性模量设定为120 GPa, 密度为2 850 kg/m3, 泊松比为0.28.为了计算微悬空桥的频率移动, 一个微小粒子被刚性地吸附在桥的表面.吸附微粒采用一个相对较小的四面体模型, 它的长度、宽度和厚度均设为1 μm.并且通过调节微粒和微悬空桥的密度, 来控制和实现微粒和桥质量比的较大范围.附加微粒的弹性模量被定义为1.2 GPa, 足可以忽略其刚度对微悬空桥振动的影响.仿真采用Soild186单元实体建模, 并进行模态分析, 以确定微悬空桥的动态特性.图 2为负载微粒的微悬空桥的有限元模型.
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图 2 负载吸附微粒的微悬空桥有限元模型 Fig.2 The finite element model of the micro-suspended bridge with an attached particle |
特别地, 将微粒吸附在微悬空桥的ξΔm=xΔm/L=0.3位置处, 并将微粒质量设定为Δm.图 3为颗粒质量在ξΔm=0.3位置处微悬空桥的模态变化的仿真及理论计算的对比.结果表明:仿真与理论计算的结果基本吻合, 从而可以有效地验证利用摄动理论推导的模态的一阶摄动的正确性, 为进一步的研究提供了重要的依据.
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图 3 微悬空桥的前两阶模态改变的理论计算和仿真对比 Fig.3 The comparison of calculation and simulations for the first two order mode shape changes of the micro-suspended bridge (a)—一阶模态改变; (b)—二阶模态改变. |
本文通过Mathematica(Wolfram 10.3)软件对式(5)和式(9)进行数值求解, 得到带有吸附微粒的悬空桥随负载质量增加的精确模态和共振频率.在数值计算中, 只使用了式(9)中的10阶振型函数的叠加(N=10), 通过与有限元仿真的比较, 验证了叠加10次的振型函数为确定精确模态提供了足够的精度.本文系统性地研究吸附微粒的质量效应, 质量比α=Δm/M变化在一个大范围(α=0.01, 0.03, 0.06, 0.09, 0.12), 其中, M为微悬空桥的质量, 负载到悬空桥的位置ξΔm=0.3.图 4表示微悬空桥前两阶精确的模态.
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图 4 微悬空桥在0.3位置处不同负载下的前两阶模态 Fig.4 The first two order mode shapes of the micro-suspended bridge with an attached particle located in positions ξΔm(ξΔm=0.3) with different loadings (a)—一阶模态; (b)—二阶模态. |
从图 4中可以明显看出, 对于一阶模态, 在负载微粒后的微悬空桥的模态变化不大, 然而对于二阶模态而言, 负载微粒后的微悬空桥的模态发生了很大的改变.并且随着吸附微粒质量的增加, 微悬空桥的精确模态和未扰动模态的差异越来越明显.
在传感器的实际应用中, 如果认为此时的传感器模态不变, 则会严重影响检测精度.为了进一步研究吸附微粒对传感器检测精度的影响, 应用两种方法来识别负载微粒后的频率移动.第一种方法是使用文中所提出的模型得到的悬空桥的精确共振频率, 其中包括扰动量.根据式(5), 对于没有负载的悬空桥的频率移动为
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(10) |
其中, Δf为微悬空桥在负载微粒前后的频率移动.
为了比较, 本文还考虑了文献中常用的近似模态的方法.该方法在计算传感器时, 忽略了吸附微粒引起的模态的变化, 因此频率移动为
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(11) |
图 5展示了通过微悬空桥的频率移动所确定的微粒质量.在不失一般性的前提下, 以微粒被负载在微悬空桥的ξΔm=0.3位置处为例.其中精确地附加微粒的质量和相应的频率移动是由第2节中的有限元仿真计算得到的, 这些频率移动被认为是“实验结果”, 并作为验证使用.然后将基于本文利用摄动理论和近似模态的方法所得到的质量预测值与有限元仿真的精确结果进行比较.
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图 5 微悬空桥在不同负载下的频率移动 Fig.5 The frequency shifts of micro-suspended bridge under different loads (a)—一阶模态; (b)—二阶模态. |
如图 5所示, 对于一阶模态来说, 本文求解的精确模态法和文献中常用的近似模态法所得到的频率移动差别较小.然而, 对于二阶模态, 微悬空桥在负载前后的频率移动差异显著.通过比较可知:精确模态法所得到的微粒质量与仿真的精确质量相差甚微.对比近似模态法所得的微粒质量与仿真得到的微粒质量可以看到, 近似模态法大大低估了吸附微粒质量的真实值.如表 1所示, 利用近似模态法计算了在不同频率移动下所求得微粒质量与真实值之间的误差.
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表 1 近似模态法不同频率移动下的质量误差 Table 1 Mass error of different frequency shifts by using the approximate mode shape method |
显然, 从表 1中可以看出, 利用近似模态法, 使用一阶模态时得到的微粒质量的最大误差约为6%, 而使用二阶模态求解时最大误差约为13%.因此, 可以得出:当被测微粒的质量与传感器的质量之比相差较大时, 忽略微悬空桥的模态变化会导致不可忽略的测量误差.因此在基于微悬空桥的质量传感器的应用中, 应用近似模态方法时需要特别注意待测微粒的质量信息.并且, 基于本文利用摄动法提出的理论精确模态求解方法, 将微粒质量对传感器模态的影响应用到传感器的检测计算, 可能是未来质量传感器应用的首选方法.
4 结语本文利用摄动法理论, 采用微悬空桥质量传感器为研究对象, 系统研究了在相对质量范围较大的集中粒子吸附的作用下, 梁式传感器的动力学特性.并将这些动力学特性与常用的近似模态法推导出的动力学特性进行了比较.结果表明:随着吸附微粒质量的增加, 精确模态法和近似模态法得到的待测质量之间的差异是显著的.因此在传感器的应用中, 有必要考虑微粒自身质量对传感器模态的影响, 从而提高传感器的检测精度.
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