为满足市场多样化、定制化的需求，作为传统面向大规模制造的钢铁工业，也在逐渐适应多品种、小批量、个性化的订单生产模式^[1].按订单组织热轧带钢生产时，钢种或规格切换频率较以往显著增加，批次连续稳定生产过程时常中断.另外，加热炉板坯混装也导致出炉温度不均匀，轧制速度变化大，影响轧制的稳定性.在非稳态的生产工况下，因产品尺寸超限、板形不佳、性能不合引起的切损比例和降级改判率较高.对此，亟需开发精准轧制技术^[2]，提高热轧产品质量控制水平.

卷取温度是影响热轧带钢微观组织和力学性能的重要工艺参数.卷取温度的前馈控制、反馈控制和自学习功能一般都由过程自动化来执行，通过卷取温度数学模型和控制模型来实现^[3-5].为增强现有卷取温度模型的精准控制能力，需要在切换轧制时提升模型对带钢头部的预设定能力，在抛钢后速度大幅度变化阶段，增强模型对带钢温度的快速精准调节能力，解决层冷水阀调节大滞后的问题.为此，Zheng等^[6]、Hashimoto等^[7]对冷却区进行多点温度监控，采用模型预测控制技术来提高卷取温度的设定精度.孙铁军等^[8]尝试建立遗传神经网络来提高卷取温度的前馈补偿控制能力.Liu等^[9]基于Smith预估器的反馈控制算法对预测的卷取温度偏差及时地进行反馈调节，解决层冷大滞后的问题.宋勇等^[10]利用前后两块带钢各段的滞后特性的相似性开发卷取温度卷对卷自适应模型，提高厚规格带钢卷取温度的命中率.Mendez等^[11]基于模糊逻辑推理规则模型，开发了卷取温度预测系统，利用终轧温度、速度和带钢厚度及目标卷取温度对冷却水量和卷取入口温度进行预测.Pian等^[12]将案例推理、规则推理和神经网络相结合，建立卷取温度动态模型参数的智能辨识方法，试图对模型参数进行实时动态调节.

上述研究主要还是立足于现有的卷取温度模型架构，模型关键参数并没有实现精准预报和在线实时更新，冷却温度计算模型也没有参与到卷取温度的反馈控制过程中，冷却温度模型与过程控制基本上是分离的.为解决这个问题，可将温度反馈控制变更为模型关键参数的在线自适应，根据卷取温度实时预报偏差对模型关键参数进行在线滚动优化，通过提高卷取温度模型在动态设定时的精准设定能力来达到温度精准控制的目的.

本文基于传热与相变耦合的卷取温度模型，主要对带钢卷内在线自适应方法进行研究.根据带钢段的实际卷取温度与模型预报温度的偏差，采用数学方法对奥氏体相变速率学习系数和水冷换热学习系数这两个模型关键参数的协同自适应进行研究，并给出实际应用效果.

1 新型卷取温度自动控制系统

传统卷取温度模型是基于模型设定-温度反馈-后计算-卷对卷自学习的架构，而图 1所示的新型卷取温度模型是基于模型参数即时寻优-模型分布式设定-在线自适应的智能控制新架构，通过历史生产数据驱动和在线自适应来实现卷取温度模型参数与生产工况的匹配，力图增强模型对非稳态轧制时的预测、控制能力，可提高卷取温度模型对定制化生产模式的适应能力.

热轧带钢离开精轧末机架后进入到热输出辊道上，在带钢头部还未进入冷却区时的初始冷却设定由图 1所示的预设定模块进行计算.预设定的准确性主要由模型参数的学习系数的精确性来决定，学习系数初值是基于历史生产数据，通过模型参数继承来确定的.

当每段带钢离开终轧高温计后，动态设定模块根据其初始条件进行温度计算和水阀开闭状态设定.为更好地进行冷却路径控制，卷取温度模型采用多点分布式设定来确保带钢温度的精细控制.当带钢头部到达卷取高温计后，冷却控制系统根据卷取温度的实际值和模型预报值进行在线自适应，对模型参数的学习系数进行实时计算与修正，并及时传递给动态设定模块，再作用于冷却区域内的所有带钢段，对其还未经历的冷却区域进行修正设定，更新水阀开闭状态.当带钢尾部离开卷取高温计后，通过离线计算功能将带钢的生产数据、模型设定参数、自适应数据等保存到历史数据库中，为下一块带钢的预设定服务.

2 基于热焓的导热偏微分方程

热轧轧后冷却过程既是温度降低的传热过程，一般也是奥氏体转变为铁素体、珠光体、贝氏体或马氏体的相变过程.常规的卷取温度模型是基于傅里叶导热偏微分方程，为更准确地预报冷却过程中奥氏体相转变体积分数及其所释放的潜热，导热偏微分方程可用热焓的形式来表达：

(1)

式中：e为带钢热焓；t为冷却时间；x为沿带钢厚度方向的位置(x=0指带钢上表面，x=d指带钢下表面，d为带钢厚度)；λ为导热系数，是热焓的函数；ρ为带钢密度；T为带钢温度，也是热焓的函数.

在冷却过程中，奥氏体的相转变行为可通过碳扩散模型、Avrami方程和Scheil叠加法则来描述^[13].对冷却后微观组织为铁素体-珠光体的热轧带钢，其在冷却过程中的热焓可表示为

(2)

其中：x_a，x_f，x_p，x_c分别为奥氏体、铁素体、珠光体和渗碳体的相体积分数；e_a，e_f，e_p，e_c为各单相组分的热焓，由热力学理论可表示为

(3)

其中：G为吉布斯自由能，是化学成分和温度的函数；p表示等压状态.

显然，热焓计算需要温度作为输入条件，而带钢温度的变化又受带钢外表面强制冷却传热和内部相变潜热释放及导热的影响.因此，式(1)所示的卷取温度模型是温度与相变的耦合模型.

3 模型关键参数段间自适应方法 3.1 表征传热和相变的自适应参数

在轧后冷却过程中，带钢温度的变化主要受外部冷却介质传热和内部相变潜热的影响.外部冷却介质有冷却水、空气和辊道.带钢与空气的热辐射及对流传热可分别通过斯蒂芬-玻尔兹曼定律和雷诺数表征的层流或紊流关系式来进行计算.带钢与辊道的接触导热可通过两个半无限体之间的热传导过程假设来进行较精确的计算^[14].而冷却水喷射到带钢表面将形成单相强制对流区、核沸腾/过渡沸腾区和膜沸腾区^[15]，各子区流动形态差异较大，很难精确地建立各区域的传热模型并确定各区域换热时间.在工程上，一般更关注各区域的平均换热特性，将各种难以定量表征的影响因素通过水冷换热学习系数来进行综合反映，通过自学习的方式进行更新.

另外，在冷却过程中，带钢热焓和温度的变化还与微观组织的转变相关.由连续冷却转变CCT曲线可知，在A_r3温度下奥氏体将向铁素体转变，在A_r1温度下会发生奥氏体向珠光体的转变.奥氏体相变分数X可以通过Avrami方程来计算：

(4)

式中：t表示奥氏体相变开始之后的时间；n为常数；k为转变速率参数，与转变温度和相变机制有关.

综上所述，热轧带钢轧后冷却传热的精确计算受到奥氏体相转变速率和水冷换热效率的影响.为此，可将水冷换热学习系数k_H和奥氏体相转变速率学习系数k_P作为卷取温度模型自适应参数，并将其划分为以下两部分，即

(5)

式中：k_H0和k_P0是带钢段刚进入冷却区时的基准学习系数值；Δk_H和Δk_P是带钢段在冷却区运行时，因速度变化引起的学习系数增量值，也正是自适应计算的对象.

3.2 段间自适应流程

卷取温度在线自适应是根据当前时刻卷取温度实际值与模型预报值的偏差，通过自适应算法动态改变模型参数的学习系数，在下一时刻使模型预报值趋近实际值，经周期性调节达到提高模型预报能力的目的.带钢段间自适应流程如图 2所示.

3.3 段间自适应计算 3.3.1 学习系数对卷取温度影响增益计算

轧后带钢冷却温度的准确计算与水冷换热学习系数和奥氏体相转变速率学习系数密切相关.因此，带钢温度可表示为学习系数的函数，即

(6)

学习系数对温度的影响增益可通过图 3所示的由3个顶点W₁，W₂，W₃组成的等边三角形来计算.

假设等边三角形的重心W₀代表带钢段刚进入冷却区进行第一次设定时采用的学习系数对(k_H0，k_P0)，据此可通过带钢温度模型计算出卷取温度为CT₀.由图 3所示几何关系，W₁，W₂，W₃处的学习系数对均可利用k_H0，k_P0和增量Δd来表示，在其他条件不变的情形下，通过带钢温度模型可计算出相应的卷取温度CT₁，CT₂和CT₃.

于是，式(6)的偏导数即可表示为

(7)

(8)

因此，当增量Δd已知时，即可计算出学习系数对温度的影响增益.

3.3.2 学习系数增量瞬时值计算

假设第i段带钢在卷取高温计处实测的卷取温度与模型预报值的偏差为

(9)

令

(10)

其中，ω为调节参数.于是，两个学习系数增量部分Δk_H和Δk_P的自适应瞬时值可分别表示为

(11)

(12)

3.3.3 学习速率设计及自适应学习计算

带钢在冷却区的运行速度深刻影响着冷却水的换热效率和奥氏体的相变时间.在变速轧制条件下，因带钢各段经历的速度是不同的，为兼顾自适应的稳定性和调节能力，可沿带钢长度方向，通过二次曲线形式来设置不同的学习速率θ，即

(13)

(14)

式中：θ₀和θ₁分别为自适应开始和结束时的学习速率，因带钢尾部抛钢后，速度大幅度变化，为及时地进行冷却规程调整，一般要求学习速率要大一些，也就是θ₁≥θ₀；L₁和L₂是与带钢厚度相关的常量；v_strip和L_act分别为带钢实际速度和带钢头部通过卷取高温计的长度.

依据带钢段的学习速率对自适应瞬时值进行学习计算，即可获得自适应学习值，即

(15)

3.3.4 学习系数增量部分变动量有效性检查

学习系数有效性检查分为增量检查和全量检查.增量检查是对学习系数增量部分的学习值进行限幅检查.

令ΔK_max=0.5×θ，则通过取小函数min(·)获取限幅比例η，即

(16)

经限幅检查后的自适应学习值就变更为

(17)

另外，为增加对自适应后学习系数变化幅度的控制，在学习系数增量检查后，可继续进行学习系数全量检查，也就是对学习系数(k_H0+Δk_H)，(k_P0+Δk_P)进行有效性检查，主要是因为各段带钢的k_H0并不相同.

假设当第i段带钢离开冷却区时，位于冷却区的带钢共有k段(图 4)，则该时刻各段学习系数的最大值和最小值可通过取小函数min(·)和取大函数max(·)来获取，即

(18)

则在满足下列条件：

(k_Hmax-δ) < (k⁽ⁱ⁾_H0+β·Δk_Hcheck) < (k_Hmin+δ)，且(k_Pmax-δ) < (k⁽ⁱ⁾_P0+β·Δk_Pcheck) < (k_Pmin+δ)时，通过学习系数全量检查.

在上述判定条件中，δ为控制参数，β为迭代调节因子，β∈(0, 1]，最大迭代次数可设为10次，每迭代一次β可减半.于是，学习系数增量部分经全量检查后即为

(19)

式中，Δk_H⁽ⁱ⁾和Δk_P⁽ⁱ⁾为第i段带钢采用的两个学习系数增量值.

当学习系数全量检查失败时，学习系数增量部分维持原值，即

(20)

3.3.5 学习系数自适应增量的平滑计算

为使自适应过程平顺进行，可以将当前时刻计算出的学习系数增量部分的新值和系统保存的学习系数增量部分的旧值进行平滑处理：

(21)

式中：Δk_Hold和Δk_Pold在带钢头部还未进入冷却区时，可取为0；f_s为平滑系数，可根据学习速率和带钢化学成分的影响进行设计，即

(22)

式中，f_chem为化学成分影响因子, f_chem=0.9-0.1w_Mn-0.2w_Cr-0.2w_C，如果f_chem < 0.6, 则使f_chem=0.6.

4 实际应用

某1 780 mm热连轧生产线在轧制化学成分(质量分数，%)为C 0.19, Si 0.04, Mn 1.24, P 0.019, S 0.005，Cu 0.015, Cr 0.03, Ni 0.02, B 0.002 2的微合金钢Gr50时，名义厚度为2.65 mm，目标终轧温度870 ℃，目标卷取温度580 ℃，采用前段稀疏冷却策略，实际卷取温度控制效果如图 5所示.由图 5知，尽管带钢冷却时速度波动较大，但通过自适应能将卷取温度控制在给定的温度偏差内.

由图 6可知，卷取温度实际值与模型预报值的偏差在±15 ℃以内，这表明卷取温度模型预报精度较高，模型关键参数的学习系数经在线自适应后，能够很好地匹配速度变化并进行准确的冷却设定.

如图 7所示，学习系数的增量部分能够根据带钢段的卷取温度预报偏差进行实时学习计算并间隔固定长度进行平滑计算.

另外，由图 6和图 7还可知，传热与相变耦合的卷取温度模型段间自适应是对水冷换热学习系数和奥氏体相变速率学习系数进行协同学习，当水冷换热学习系数降低，单位体积冷却水的换热能力降低，带钢温度下降缓慢，有利于奥氏体相变，奥氏体相转变体积分数增大，因此，奥氏体相变速率学习系数增大，反之亦然.

5 结论

1) 基于热连轧穿带-升速-降速制度，将卷取温度模型的水冷换热学习系数和奥氏体相变速率学习系数分解为基准值和增量值两部分，通过带钢段间自适应方法对学习系数增量值进行实时计算、学习、平滑和更新.

2) 传热与相变耦合的卷取温度模型段间自适应方法是根据每段带钢实测卷取温度与模型预报温度的偏差，通过求取带钢冷却温度函数对学习系数的偏导数, 计算带钢段的学习速率和平滑因子，对水冷换热学习系数和奥氏体相变速率学习系数的增量值进行自适应，并对学习系数变动量进行有效性检查.

3) 卷取温度实际控制效果表明，卷取温度模型学习系数的动态调节能够显著增强模型对轧制速度变化的适应能力，卷取温度在线控制能力得到明显提升，带钢全长卷取温度控制精度高、温度均匀性好.