2020, Vol. 41
2. 江苏物联网研究发展中心，江苏 无锡 214135;
3. 无锡物联网创新中心有限公司，江苏 无锡 214135
2. Jiangsu R & D Center for Internet of Things, Wuxi 214135, China;
3. Wuxi Internet of Things Innovation Center Co., Ltd., Wuxi 214135, China
锂离子动力电池作为新能源电动汽车的重要供能来源，准确估计其荷电状态(state of charge，SOC)[1-3]、健康状态(state of health，SOH)[4-5]，能够有效预估汽车可行驶里程，充分合理利用电池，延长电池使用寿命以及提高整车运行效率，对加快汽车电动化进程具有重要实际意义.
目前，电池SOC估计方法主要有:①安时积分(ampere-hour counting, AH)法[6]，存在累计误差、SOC初值校准的问题；②开路电压(open circuit voltage, OCV)法[7]，需要长时间静置，不适用于工作中的电池状态估计；③神经网络法[8]，对数据集的依赖性较强，且算法的抗扰动能力不足；④基于扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter, EKF)进行状态估计[9]，EKF通过对系统非线性函数进行一阶Taylor展开，再用卡尔曼滤波(KF)公式对目标的状态作最优估计，而对于强非线性系统来说，EKF滤波性能极不稳定，甚至发散，此外Jacobian矩阵计算复杂易出错；⑤基于无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter, UKF)进行状态估计[10]，UKF采用一系列确定样本来近似系统状态的后验概率密度分布，能够有效解决由系统非线性加剧而引起的滤波发散问题，但其估计精度仍然受到电池等效模型准确性的影响；⑥基于粒子滤波(particle filter, PF)进行状态估计[11]，PF采用大量粒子来近似系统状态的后验概率密度分布，适用于强非线性、非高斯系统，但存在计算负荷重、粒子退化等问题.
电池SOH表示电池的老化程度，主要表现为:电池的欧姆内阻增大，电池的当前最大可用容量降低，电池的能量密度与功率密度降低.目前，电池SOH估计方法主要有:①内阻法[12]，对于毫欧级的内阻来说，量测难度较大；②电化学阻抗法[13]，常用于实验室分析电池健康状态；③数学模型法[9-10, 14]，电池系统的非线性以及环境的不确定性，将影响数学建模的准确性，进而影响到估计精度；④基于数据驱动的预测[15]，如支持向量机(support vector machine, SVM)、粒子滤波等，该类方法不需要对象系统的机理知识，通过数据挖掘来预测其中的隐含信息，以解决模型失配的问题，然而，因通常所采集数据的有限性、不确定性，也导致该方法在工程实施时具有一定的局限性.
KF，EKF，UKF等滤波算法中，通常是假设过程噪声和量测噪声服从预设的正态分布，而实际上若噪声的统计特性参数估计不准确的话，可能会导致滤波结果发散.为改善电池状态估计精度、估计算法的自适应容错性等实用化问题，本文发展了一种自适应UKF的电池状态联合估计算法.首先构建电池等效模型的状态空间方程；其次基于UKF框架在线滚动估计电池SOC、电池等效模型的欧姆内阻，在无迹变换(UT)时对量测方程进行准线性化处理，同时在循环迭代过程中实时更新高斯噪声的统计特性参数；接着设计了一种电池状态联合估计策略，实时跟踪并对电池等效模型参数进行在线更新，解决了模型参数时变的问题；最后对该算法的估计效果进行了验证与探讨.
1 电池等效模型锂离子动力电池的一阶等效模型如图 1所示，图中：Re为电池的欧姆内阻; Rc为电池的极化内阻; C为电池的极化电容; It为电池的放电电流；Uo, t为电池两端的观测电压；Et为电池的平衡电动势(balanced electro-motive force, B-EMF).
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图 1 锂离子动力电池的一阶等效模型 Fig.1 The 1st order equivalent model of Li-ion battery |
根据图 1所示的电池模型，有
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(1) |
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式中:Uc, t为电池极化内阻上产生的压降; τ=RcC为时间常数.
电池SOC的安时积分法[6]定义为
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(3) |
式中:St0为电池t0时刻的荷电状态; Q0为电池的标称容量; η为充放电效率.
1.1 电池SOC的数学描述令x1(k)=[S(k), Uc(k)]T作为状态向量; y1(k)=Uo(k)作为系统输出; u(k)作为控制输入; w(k)，v(k)作为系统扰动; Ts为采样周期.根据式(1)~式(3)，建立以x1(k)为状态向量的离散状态空间方程:
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(4) |
式中:u(k)=I(k); w(k)=[w1(k), w2(k)]T为过程噪声; v(k)为观测噪声，各系数矩阵满足:
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其中，Et=f{S(k)}表示电池的平衡电动势Et与电池荷电状态SOC之间的映射关系，该关系会受温度、电池老化程度等因素的影响.电池SOC状态空间模型中，欧姆内阻、极化内阻是事先已辨识的.
1.2 电池SOH的数学描述电池SOH可以通过电池的欧姆内阻来间接衡量[16].将电池的荷电状态、极化电压视为已知量，建立关系式:
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(5) |
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(6) |
式中，rt为过程噪声.
令x2(k)=Re(k)作为状态变量，进而建立以x2(k)为状态变量的离散状态空间方程:
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(7) |
式中，q(k)为观测噪声，各系数满足:
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式(4)所示的状态空间模型是非线性的，考虑到EKF存在线性化误差较大、滤波不稳定等问题，本文采用UKF来处理非线性估计问题.UKF采用UT来近似非线性模型，即通过某种计算规则构造出Sigma点集来间接逼近非线性系统的状态分布，能够有效避免由系统非线性加剧而引起的滤波发散问题.
为了降低UKF的计算开销，UT变换时对量测方程进行准线性化处理，以降低循环迭代过程中的计算负荷；为了提高UKF估计算法的自适应容错能力，在迭代过程中，不断更新过程噪声的统计特性参数以减少状态估计误差.
具体算法设计:
1) UT变换.
① 构造Sigma点集{Xi}:
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(8) |
式中: x, Px分别为式(4)所示模型中x1(k)的均值、协方差; Px为N维对角阵; (·)i表示矩阵中第i列元素; λ为设计参数.
不难发现，Sigma点集{Xi}是由2N+1维列向量构成的.为了更好地逼近系统状态分布的集中趋势，对Sigma点集{Xi}进行权值设计[10]：
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(9) |
式中:i∈(1, 2N); α用来确定Sigma点集的分布，取值范围为(10-4, 1)；β反映系统状态的分布情况，当系统状态为高斯分布时，取值为2；λ=α2(N+k)-N，影响逼近精度，其中, 参数k可调，通常取0.
② 对Sigma点集进行非线性变换.
如图 2所示，对Sigma点集进行非线性变换:
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(10) |
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图 2 Sigma点集的映射示意 Fig.2 Sketch of Sigma sets mapping |
式中，f{ · }，h{ · }分别反映式(4)所示模型中输入对状态转移、状态转移对输出的影响.
这里对h{ · }进行准线性化处理，即把Et=f{S(k)}函数关系式转换成电动势与电池SOC的一一映射表，再通过查表的方法来减少迭代过程中的计算量.
2) 一步迭代算式.
令过程噪声w(k)服从N(0, Q)分布，观测噪声v(k)服从N(0, R)分布.
① 时间更新.
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(11) |
② 量测更新.
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(12) |
式中:Z是量测值; G是卡尔曼增益，反映了量测残差对状态估计的影响; 
③ 过程噪声特性更新.
不准确的噪声统计特性往往会引起滤波结果发散，基于最大后验估计(maximum a posteriori, MAP)的Sage-Husa自适应滤波器能够较好地估计出噪声的一阶矩与二阶矩，其原理清晰、计算简单，在工程实际中被广泛应用.
采用Sage-Husa估计方法对过程噪声的方差Q进行在线估计，同时引入遗忘因子以降低历史数据的影响.
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(13) |
式中, 
按照式(11)~式(13)完成一步迭代后，得到最优估计
Sage-Husa估计器是一种次优的无偏估计，用一步预测来估计噪声的统计特性，容易导致噪声二阶矩失去正定性或半正定性，从而引起滤波发散.反观式(13)，在估计噪声二阶矩时，式中存在减法运算，故在滤波过程中难以保证二阶矩的非负定性.
为了避免由误差协方差矩阵负定而导致滤波结果发散的风险，迭代过程中需对滤波结果的收敛性进行判断.
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(14) |
式中：trace{ · }为求迹运算；γ为可调系数且γ≥1.
上述UKF迭代过程中，若如式(14)所示的判据不成立，则修正Px:
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(15) |
式中，
电池欧姆内阻能够间接表征电池的SOH健康状态，而电池欧姆内阻会受电池SOC、温度、电池老化程度等因素的影响.为了提高电池等效模型的准确性以及动态反映电池SOH的能力，有必要对电池欧姆内阻进行实时估算.
与SOC估计类似，仅需将式(4)所示模型换成式(7)所示模型，即可实现电池欧姆内阻的在线滚动估计.
由于电池SOH随着电池内阻的增大而逐渐衰减，故可据此特性对电池SOH进行间接量化，其数学描述[17]为
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(16) |
式中:REOL为电池寿命终结时的内阻值; R0为电池出厂时的内阻值; Re为在线辨识的内阻值.
此外，电池老化的另一种表现为电池当前最大可用容量的降低，故亦可据此特性对电池SOH进行间接量化，其数学描述[18]为
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(17) |
式中:Qpresent为当前电池最大可用容量; Q0为电池出厂时的额定容量.
2.3 电池状态联合估计策略基于一阶RC网络对电池SOC估计时，假设模型参数Re是事先已辨识的，在实际工程中，考虑到电池老化等因素的影响，有必要对模型参数进行在线更新，以保证电池SOC的估计精度.为此，设计了一种联合在线估计算法，如图 3所示.
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图 3 电池SOC, SOH联合在线估计框图 Fig.3 Diagram of SOC and SOH online co-estimation |
该算法充分考虑了电池状态之间紧密的内在关联性，能够较好地适用于动态工况，主要步骤如下:
步骤 1 模型参数初始化；
步骤 2 基于SOH状态空间模型，采用UKF框架，在线估计电池欧姆内阻；
步骤 3 基于SOC状态空间模型，采用UKF框架，在线估计电池SOC、极化参数；
步骤 4 根据步骤2中辨识得到的欧姆内阻更新步骤3中UKF迭代过程中的内阻参数，而步骤3中估计得到的电池状态参数又将进一步修正步骤2中的模型参数.
此外，电池老化、工作环境等因素会影响到SOC与OCV的映射关系，因此，在实际应用时，可通过实验方法拟合出不同条件下的OCV_SOC曲线，进而对应查表以期改善状态估计效果.
3 仿真验证本文的实验对象为合肥国轩公司的一个内含12串单体的电池包.要想获取电池的平衡电动势，必须在电池内部处于平衡状态时来量测电池的端电压.这里，浅放-静置实验条件为:环境温度为25℃，单体标称容量为30Ah，充放电效率为0.95，放电倍率为0.6C，放电电流为18A，放电时长为1min，静置时长为30min.
通过浅放-静置实验，对一阶RC网络模型参数进行辨识，模型参数初值见表 1.
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表 1 基于一阶RC网络的模型参数 Table 1 Model parameters of the 1st order RC network |
此外，该实验条件下，电池平衡电动势与SOC之间的拟合曲线如图 4所示.
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图 4 电池开路电压与SOC的关系曲线 Fig.4 Relationship curve of open circuit voltage vs. SOC |
考虑到老化、温度等内在和外在因素的影响，工程实施时需尽可能多地拟合出不同条件下的OCV_SOC映射表.
本文设计的自适应联合估计方法记为JUKF(joint estimation based on UKF)估计，对比实验如下.
3.1 JUKF与UKF估计对比文献[4]表明，锂离子电池的欧姆内阻受温度、电池SOC的影响，当温度或电池SOC较高时，电池活性增强，欧姆内阻较小，反之亦然.
实验条件:
1) 采用恒流放电工况，采样周期为60s；
2) 放电实验过程中，同时将恒温箱温度由25℃缓慢升至30℃.
将本文设计的JUKF估计与UKF估计[10]方法进行对比，仿真结果如图 5所示.
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图 5 JUKF与UKF估计结果对比 Fig.5 Comparison of JUKF and UKF estimation |
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图 6 SOC初值标定不准情况下JUKF和AH估计结果对比 Fig.6 JUKF and AH estimation with the inaccurate SOC initial value |
通过实验得出，JUKF估计精度较高，最大误差约为1 %，而UKF估计的最大误差约为3 %，即JUKF能够较好地适应电池模型参数的时变特性，估计效果要优于UKF.
3.2 曲线收敛性对比实验条件:
1) 常温下进行恒流放电，采样周期为30s；
2) SOC真实值为92 %，而初值标定为99 %.
通过实验得出，在SOC初值标定不准的情况下，采用AH估计的曲线始终不能收敛于期望轨迹，这是由于AH法是开环估计，缺少反馈校正网络所导致的，而采用JUKF估计解决了AH估计因SOC初值标定不准而导致曲线无法收敛的问题.
3.3 内阻估计实验条件:常温下进行恒流放电，采样周期为30s.
如图 7所示，内阻初值标定分别为5, 7mΩ时，经过JUKF迭代运算，两条估计曲线趋于一致，即内阻估计结果受初始取值的影响不明显.此外，开始阶段，由于电池放电过程中会产生热量，内阻阻值有略微减小过程，而随着电池SOC降低，内阻阻值呈增大趋势.
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图 7 采用JUKF的内阻估计 Fig.7 Inner resistance estimation by JUKF |
实验条件:
1) 上位机配置参数为1.3Hz主频、四核、4GB内存，仿真软件采用Matlab2015；
2) 分别采用OCV_SOC映射表、四阶拟合曲线的方法来表示量测方程；
3) UKF迭代步数为100步，且重复实验次数为50次.
上述实验环境下，完成100步迭代，采用OCV_SOC映射表的方法，平均时间开销约为108.6ms，四阶拟合曲线的多项式系数向量为[-3.2559, 8.06, -7.118, 2.7603, 2.8518]，采用该方法的平均时间开销约为121.1ms，即文中采用准线性化处理的方法能够在一定程度上降低UKF迭代过程中的计算负荷.
4 结论1) JUKF估计充分考虑了电池SOC、内阻之间紧密的内在关联性，其估计效果优于UKF，能够较好地适应电池模型参数的时变特性.
2) 相比标准UKF，JUKF对量测方程进行了准线性化处理，降低了循环迭代过程中的计算开销；采用带遗忘因子的Sage-Husa自适应估计方法对过程噪声的统计特性参数进行递推估计与修正，提高了UKF估计算法的自适应容错能力；同时实时跟踪滤波的收敛性，若呈发散趋势时，通过自适应衰减因子对误差协方差进行惩罚以抑制滤波发散，从而保证了滤波过程的数值稳定性.
3) JUKF估计解决了工程上AH开环估计不能收敛的问题，为电池SOC在线校正提供了一种研究思路与方法.
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