2020, Vol. 41
2. 东北大学 航空动力装备振动及控制教育部重点实验室，辽宁 沈阳 110819
2. Key Laboratory of Vibration and Control of Aero-Propulsion Systems, Ministry of Education, Northeastern University, Shenyang 110819, China
齿轮在生产生活中的应用比较广泛.由于制造误差、安装不对中以及轮齿受载后产生的弯曲变形和扭转变形等的影响会造成齿轮副啮合不对中，齿轮沿齿宽方向接触不均匀产生偏载现象[1-6].这对系统的振动、噪声和齿轮副的寿命等会产生很大的影响.对轮齿进行适当的鼓向修形可以有效缓解齿轮不对中对系统的不利影响[7-10].
对于不对中齿轮副，Li等[1]分析了直齿轮角不对中对于轮齿微点状裂纹形核接触疲劳寿命的影响.Zhang等[2]分析了直齿不对中对于齿面磨损的影响，轮齿不对中会加剧载荷的分布状态，加速表面的磨损.在此之后，Wang等[3]和Elsayed等[4]分析了不同形式的不对中对于斜齿轮副啮合特性的影响，研究发现一个很小的不对中量变化可以导致接触应力的显著变化.Pham等[5]对内齿圈不对中进行了理论和实验研究.轮齿不对中在设计初期是必须考虑的.为了有效缓解不对中的影响，Li[7]研究了齿廓修形、鼓向修形和传递转矩对齿轮啮合应力、载荷分配和啮合刚度的影响.其研究发现齿廓修形对轮齿的载荷分配和啮合刚度有显著的影响，鼓向修形可以有效缓解由于不对中造成的边缘应力集中.Yuan等[8]建立了考虑不对中以及鼓向修形的斜齿轮副啮合模型，其研究发现鼓向修形可以有效缓解由于不对中所加剧的系统振动.袁冰等[9]基于齿面承载分析方法分析了斜齿轮修形对负载扭矩和啮合错位的敏感性，并对修形参数进行了优化，有效降低了系统共振转速.贾超等[10]建立了内啮合人字齿轮不对中模型，通过遗传优化算法进行修形优化来降低承载传动误差幅值并避免边缘接触.
基于上述研究，本文基于MATLAB软件自编建立了考虑修形的不对中齿轮副啮合模型，分析了不同条件下齿轮副的时变啮合刚度及接触状态，并利用有限元方法验证了本文方法的有效性.同时本文对不同不对中量下的鼓向修形量进行了优化来消除不对中的不利影响，给出了最佳修形量与不对中角之间的关系.对不对中齿轮副修形优化设计具有指导意义.
1 考虑不对中的啮合特性分析模型 1.1 不对中模型不对中分为角不对中和平行不对中.不对中的产生原因主要是安装误差，轴承与箱体在啮合过程中发生变形.本文主要讨论角不对中的情况.角不对中是指主动轮和从动轮发生一定的角度错动(见图 1).
|
图 1 不对中示意图 Fig.1 Schematic of misalignment |
不对中会使齿轮由线接触变为点接触，引发齿轮边缘的应力集中，恶化接触状态(见图 2).在工程上，通常使用接触斑点来判断接触状态.在本文的仿真中，以齿面接触应力的形式展现齿面的接触状态.轮齿基本参数如表 1所示.在本文中，鼓向修形量Cβ=10 μm(只修主动轮)，不对中角度θ=0.028 6°.有限元模型图如图 3所示.
|
表 1 齿轮副主要参数 Table 1 Main parameters of the gear pair |
|
图 2 不对中与鼓向修形之间的关系 Fig.2 Relationship between misalignment and lead crown (a)—理想啮合状态；(b)—不对中；(c)—鼓向修形；(d)—不对中+鼓向修形. |
|
图 3 有限元模型图 Fig.3 Finite element model of the gear pair |
轮齿承载接触分析方法的主要思想是利用有限元方法计算齿轮的刚体柔度，利用解析公式计算局部接触柔度.基于MATLAB软件对齿面上节点采用循环加载法施加单位力获得啮合齿面柔度矩阵，柔度矩阵形成过程如图 4所示.为了避免局部变形失真，提取施力点下方节点的变形存入柔度矩阵.
|
图 4 齿轮承载分析示意图 Fig.4 Schematic of loaded tooth contact analysis |
单对齿弯曲剪切柔度矩阵为
|
(1) |
式中，λijkp和λijkg分别为主、从动轮对应的接触点j对接触点i的弯曲剪切柔度.
接触柔度矩阵λck为
|
(2) |
|
(3) |
|
(4) |
式中:n为啮合位置潜在接触点的数目；Fi, Fj为接触点载荷；λbijk为接触点j对接触点i的弯曲剪切柔度；λcik为i点的接触柔度；ubi和uci分别为接触点整体变形和接触变形.
齿轮副整体变形协调为
|
(5) |
式中:F为接触力载荷向量; ε为齿廓偏差向量, 由于齿轮不对中以及轮齿修形造成的齿廓偏差作为初始齿廓偏差量引入齿廓偏差向量ε中；ste为静态传递误差；Q为齿轮啮合力.
由于接触柔度依赖于接触力，求解得到接触力矩阵F中小于零的位置为虚假接触点，将虚假接触点所在的行和列抹去，随后进行下一轮迭代求解.当迭代求解的接触力矩阵F满足收敛准则‖F(k)-F(k-1)‖ < εF(εF为收敛容差)后，迭代停止.齿轮副的啮合刚度k可以表示为
|
(6) |
式中, 空载传递误差nlste=min(ε).
2 修形对不对中齿轮副啮合特性的影响 2.1 鼓向修形对不对中齿轮副的影响图 5为理想接触状态下的齿轮副齿面接触应力，图中向径rk的定义见图 1.在此状态下，载荷沿齿宽近似均匀分布，接触区域遍布整个齿宽.同时由图可以看出，由本文方法和有限元方法得到的接触应力吻合很好，这表明本文方法对于齿面接触应力的计算具有较高的计算精度.
|
图 5 理想接触状态齿轮副接触应力 Fig.5 Contact stress of the gear pair under ideal contact state (a)—接触斑点；(b)—A时刻接触应力. |
图 6为鼓向修形齿轮副齿面接触应力.在此状态下，齿面的两侧端面不承担载荷，载荷主要由齿宽的中间位置承担.在不对中工况下，接触应力和接触斑点如图 7所示.在此状态下，齿轮呈现明显的偏载，在右侧端面出现很大的接触应力，使齿轮边缘有明显的应力集中.在这种情况下，非常容易引发齿轮的点蚀，剥落以及崩角等故障.图 8为不对中工况下的鼓向修形齿轮副齿面接触应力.鼓向修形补偿了一定的不对中量，使边缘的集中载荷转移到齿面的中间部位.通过与上例的对比可以清楚地看到，鼓向修形可以使不对中工况下的齿面接触应力分布更加均匀.
|
图 6 鼓向修形齿轮副接触应力 Fig.6 Contact stress of the gear pair with lead crown (a)—接触斑点；(b)—A时刻接触应力. |
|
图 7 不对中齿轮副接触应力 Fig.7 Contact stress of the gear pair with misalignment (a)—接触斑点；(b)—A时刻接触应力. |
|
图 8 不对中的鼓向修形齿轮副接触应力 Fig.8 Contact stress of the gear pair with misalignment and lead crown (a)—接触斑点；(b)—A时刻接触应力. |
从图 6~图 8可以看出:对于处于理想啮合状态的齿轮副，鼓向修形反而会使应力增大；但是对于含有不对中误差的齿轮副，鼓向修形能对不对中起到明显的补偿作用.
图 9为不同接触状态下的齿轮副时变啮合刚度.对于各种接触状态，本文方法和有限元方法所得的啮合刚度均能很好地吻合，这进一步说明了本文方法的有效性.不对中使啮合刚度急剧下降，利用鼓向修形对不对中进行补偿，可以使其啮合刚度与健康状态相近.
|
图 9 不对中和鼓向修形下的啮合刚度 Fig.9 Mesh stiffness under misalignment and lead crown |
在工程中，鼓向修形的一个主要用途就是降低不对中工况下的齿面接触应力，但是不合适的鼓向修形量反而会增加齿面接触应力.以降低齿面接触应力为优化目标，进行最佳鼓向修形量的优化.为了研究不同不对中角度下的最佳修形量，求取不同鼓向修形量和不对中量下的最大接触应力(见图 10a).不对中角度与最佳鼓向修形量之间近似为线性关系，其拟合曲线及近似关系式见图 10b.
|
图 10 最佳鼓向修形量 Fig.10 Optimal amount of the lead crown modification (a)—最大接触应力；(b)—最佳鼓向修形量C*. |
优化过程中需要大量地求解计算接触应力，如将鼓向修形量离散为30份，将不对中角度离散为20份，则一共需要600次接触应力计算.有限元方法计算一次(一个啮合周期)接触应力的时间需要7 h，因此肯定无法胜任如此大规模的计算.本文方法计算1个啮合周期需要60 s(57 s用于生成柔度矩阵，3 s用于求解载荷分配).对于同一齿轮副而言，修形和不对中只会改变齿廓偏差向量，柔度矩阵不会改变，因此在优化过程中不需要重复计算柔度矩阵.本文方法只需30 min便可完成600次接触应力计算，相比有限元方法极大地提升了计算效率.
3 结论1) 通过与有限元方法的对比可知，本文方法与有限元方法有着相当的精度(误差在5%以内)，但计算效率远远高于有限元方法.以计算一个啮合周期为例，本文方法和有限元方法分别耗时4 s和2 h.
2) 对于处于理想啮合状态的齿轮副，鼓向修形反而会使齿面接触应力增大.在不对中的情况下，轮齿边缘会出现明显的应力集中.鼓向修形可以有效地补偿不对中量，改善偏载导致的应力集中，使齿面接触应力分布更加均匀.
3) 鼓向修形常常被用来降低不对中工况下的齿面接触应力，但是不合适的鼓向修形量反而会增加齿面接触应力.以降低齿面接触应力为优化目标，进行最佳鼓向修形量的优化.结果表明，最佳鼓向修形量与不对中角度之间近似为线性关系，可为不对中齿轮副的修形优化设计提供理论依据.
| [1] |
Li S T. An investigation on the influence of misalignment on micro-pitting of a spur gear pair[J]. Tribology Letters, 2015, 60(35): 1-12. |
| [2] |
Zhang J, Liu X Z. Effects of misalignment on surface wear of spur gears[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.Part J:Journal of Engineering Tribology, 2015, 229(9): 1145-1158. DOI:10.1177/1350650115574732 |
| [3] |
Wang J H, Li C. Multi-contact in modified helical gear tooth pair considering misalignments[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.Part C:Journal of Mechanical Engineering Science, 2019, 233(11): 4058-4075. DOI:10.1177/0954406218806011 |
| [4] |
Elsayed A, Adnan M A, Mohammed O D. Modeling the effect of misalignment and tooth microgeometry on helical gear pair in mesh[J]. Engineering Failure Analysis, 2019, 106: 1-18. |
| [5] |
Pham H T, Weber J. Theoretical and experimental analysis of the effect of misaligned ring gear on performance of internal gearmotors/pumps[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2019, 33(9): 4049-4060. DOI:10.1007/s12206-019-0801-4 |
| [6] |
曹正.旋转轴线误差的齿轮动力学建模与行星轮系动态特性分析研究[D].重庆: 重庆大学, 2017. (Cao Zheng.Dynamic modeling of gears with the error of rotating axis and study on dynamic characteristics of planetary gear trains[D].Chongqing: Chongqing University, 2017. ) |
| [7] |
Li S T. Effects of misalignment error, tooth modifications and transmitted torque on tooth engagements of a pair of spur gears[J]. Mechanism and Machine Theory, 2015, 83: 125-136. DOI:10.1016/j.mechmachtheory.2014.09.011 |
| [8] |
Yuan B, Chang S, Liu G, et al. Optimization of bias modification and dynamic behavior analysis of helical gear system[J]. Advances in Mechanical Engineering, 2017, 9(11): 1-14. |
| [9] |
袁冰, 常山, 刘更, 等. 斜齿轮修形对负载扭矩和啮合错位的敏感性[J]. 西北工业大学学报, 2018, 36(6): 1085-1092. (Yuan Bing, Chang Shan, Liu Geng, et al. Sensitivity analysis of helical gears with tooth surface modification to applied torque and gear misalignment[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2018, 36(6): 1085-1092.) |
| [10] |
贾超, 方宗德, 张永振. 高速内啮合人字齿轮多目标优化修形[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2017, 49(1): 166-172. (Jia Chao, Fang Zong-de, Zhang Yong-zhen. Multi-objective optimal modification for internal double helical gears with high speed[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2017, 49(1): 166-172.) |