大群体决策是指针对参与决策的个体数量多、规模大的情形，将参与决策的个体意见集结成群体意见，并据此进行备选方案比较和择优的过程^[1-2].在现实中，大群体决策具有广泛的实际应用背景.例如，随着政府工作的透明化，政府部门为提高政务服务水平和民众满意度，在实施民生工程项目前通常会广泛征集公众意见，从而对项目实施方案进行优化或调整.近年来，已有学者从多个角度针对大群体决策问题开展研究，如考虑多指标多标度的大群体决策方法研究^[1-3]、对大群体中个体意见或偏好进行聚类分析^[4-9]、大群体决策中的共识问题研究^[10-14]等.

在现实的大群体决策过程中，参与决策的个体往往在年龄段、知识结构、社会背景等方面存在差异，根据这些差异可将大群体划分为若干子群，在决策过程中兼顾各子群的偏好和需求，以此提升决策过程的合理性.此类大群体决策问题可称为考虑多个子群意见的大群体决策问题，目前已有学者针对此类问题开展了探索性的研究.例如，文献[15]依据预先建立的评价标度集合对备选方案进行评估，从而确定各子群关于各备选方案的评估百分比分布，进而计算两两备选方案之间的优序度，利用PROMETHEEⅡ方法确定备选方案的排序.文献[16]针对同时考虑集体评估和备选方案公平性的大群体决策问题，通过计算两种情形下各备选方案的排名值，获得针对各备选方案的贴近度，从而确定备选方案的排名.需要指出的是，文献[15-16]仅考虑了子群中的个体针对各备选方案给出评分值的情形，但在一些现实的决策情境中，个体直接对备选方案进行评估并给出确切的分值显然是比较困难的.为解决此类问题，提高个体针对备选方案评估的准确性，可令个体对构成备选方案的要素或指标进行评估.例如，某地政府欲建设一个城市公园，初步拟定了若干个设计方案，现广泛征求民众的意见.由于设计方案具有复杂性和专业性，对参与调查的民众来说，直接对设计方案进行打分具有较强的随意性.此时，若能将设计方案拆解为多个构成方案的要素，再由民众对各要素进行评估，则所获取的评估结果的准确性会更高.

基于此，本文在考虑了多个子群意见的前提下，提出一种新的多要素大群体决策方法.在该方法中，参与决策的个体依据自己的偏好对构成方案的要素进行排序.为确定最优备选方案，首先根据排序结果计算出各要素针对每个个体的borda分值，然后构建要素针对各子群的归一化平均borda分值向量，并将其作为代表各子群偏好的虚拟方案; 进一步地，计算出各子群的权重和各虚拟方案与备选方案之间的贴近度，将二者集结得到针对各备选方案的综合贴近度，从而确定出最优备选方案.

1 问题描述

为了描述本文考虑的大群体决策问题中的集合与变量，现给出如下符号说明.

A={A₁, A₂, …, A_n}：备选方案集合，其中A_i表示第i个备选方案，i=1, 2, …, n;

E={E₁, E₂, …, E_k}：构成方案的要素集合，其中E_r表示构成方案的第r个要素，r=1, 2, …, k;

b_i=(b_i1, b_i2, …, b_ik)：备选方案A_i针对各要素的表现值向量，其中b_ir表示备选方案A_i针对要素E_r的表现值，i=1, 2, …, n，r=1, 2, …, k;

G={G₁, G₂, …, G_m}：参与决策的子群集合，其中G_j表示参与决策的第j个子群，j=1, 2, …, m;

C={c₁, c₂, …, c_m}：子群中的个体数量集合，其中c_j表示子群G_j中的个体数量，j=1, 2, …, m;

P_j={P_j¹, P_j², …, P_j^c_j}：子群G_j中的个体集合，其中P_j^l表示子群G_j中的第l个个体，j=1, 2, …, m，l=1, 2, …, c_j;

R_j^l：个体P_j^l对各要素的排序，j=1, 2, …, m，l=1, 2, …, c_j.在本文中，每个个体给出针对各要素的严格排序，R_j^l可表示为R_j^l→E₍₁₎≻E₍₂₎≻…≻E_(k);

B_jr^l：要素E_r针对个体P_j^l的borda分值，j=1, 2, …, m，l=1, 2, …, c_j，r=1, 2, …, k;

B_jr：要素E_r针对子群G_j的borda总分值，j=1, 2, …, m, r=1, 2, …, k;

：要素E_r针对子群G_j的borda均值，j=1, 2, …, m, r=1, 2, …, k;

：各要素针对子群G_j的重要程度向量，其中表示要素E_r针对子群G_j的重要程度，j=1, 2, …, m, r=1, 2, …, k;

：针对子群G_j的虚拟方案，j=1, 2, …, m;

σ_jr²：子群G_j针对要素E_r的评估结果的离散程度，j=1, 2, …, m, r=1, 2, …, k;

：子群G_j针对所有要素的评估结果的平均离散程度，j=1, 2, …, m;

CI_j：子群G_j针对所有要素的评估一致性，j=1, 2, …, m;

w_j：子群G_j的权重，j=1, 2, …, m;

：归一化后的备选方案A_i针对各要素的表现值向量，i=1, 2, …, n;

d_ji：虚拟方案与备选方案A_i之间的距离，i=1, 2, …, n，j=1, 2, …, m;

：子群G_j的意见与备选方案A_i之间的贴近度，i=1, 2, …, n，j=1, 2, …, m;

U_i：大群体意见与备选方案A_i之间的综合贴近度，i=1, 2, …, n.

本文需要解决的问题是，考虑到参与决策的个体来自不同的子群，依据子群G_j中的个体P_j^l对构成方案的要素的排序R_j^l和备选方案针对各要素的表现值向量b_i，确定最优的备选方案。

2 决策过程 2.1 构建针对各子群的虚拟方案

如上文所述，个体P_j^l对构成方案的要素E₁, E₂, …, E_k进行排序，排序结果为R_j^l.为方便处理，首先依据R_j^l计算要素E₁, E₂, …, E_k针对个体P_j^l的borda分值^[17].具体地，依据个体P_j^l对各要素的排序结果R_j^l，将k-1, k-2, …, 1, 0这k个数值分别赋予排序R_j^l中的第1位，第2位，…，最末位的要素.记要素E_r针对个体P_j^l的borda分值为B_jr^l，其计算公式为

(1)

其中，N(·)为计数函数.

然后，计算要素E_r针对子群G_j的borda总分值B_jr，其计算公式为

(2)

进一步地，考虑到各子群中的个体数量存在差别，为使各子群的意见在群决策中得到均衡考虑，计算要素E_r针对子群G_j的borda均值，即

(3)

容易看出，的含义为在考虑子群G_j中所有个体意见的前提下得到的要素E_r的重要程度.针对要素E₁, E₂, …, E_k，可以构建borda均值向量，该向量刻画了在考虑子群G_j中所有个体意见的前提下，构成方案的各要素E₁, E₂, …, E_k的重要程度.也就是说，对于子群G_j来说，若某方案的各要素以的比例关系进行配置，则此方案是最令该群体满意的.在此基础上，将向量归一化得到向量 ，其中

(4)

因此，本文以来表示针对子群G_j的虚拟方案，j=1, 2, …, m.对于子群G_j来说，虚拟方案中所有参与个体意见的最令子群G_j满意的方案，该虚拟方案既能刻画子群中参与决策的个体对方案各要素的重视程度，又能够规避不同规模子群对进一步决策造成的影响，从而使各子群的意见在决策过程中可以得到均衡考虑.为了解释针对子群的虚拟方案的生成过程，下面举例说明.

例1   某住宅小区欲投入一定资金进行园区环境改造，物业公司通过征求业主代表意见来确定改造方案.构成改造方案的要素为E₁=“增加健身器材”，E₂=“增设休闲座椅”，E₃=“种植树木”，E₄=“景观升级”.现按不同年龄段将业主代表分为若干子群，设子群G_j中的业主代表为P_j¹, P_j², …, P_j⁸，各业主代表分别依据自己的偏好对要素E₁, E₂, E₃, E₄进行排序，其结果如表 1所示.

依据式(1)，计算要素E_r针对个体P_j^l的borda分值B_jr^l，其结果如表 2所示.

然后，依据式(2)，计算要素E_r针对子群G_j的borda总分值B_jr，其结果为B_j1=13，B_j2=16，B_j3=9，B_j4=10.进一步地，计算要素E_r针对子群G_j的borda均值，其结果为 .则 1.125, 1.25)，在此基础上，对向量进行归一化处理，得到 =(0.270 8, 0.333 3, 0.187 5, 0.208 4)，故为针对子群G_j的虚拟方案，也就是依据子群G_j中各业主代表的意见而构建出的虚拟方案.该虚拟方案的含义为：综合考虑子群G_j中业主代表的意见，“增加健身器材(E₁)”、“增设休闲座椅(E₂)”、“种植树木(E₃)”和“景观升级(E₄)”这4项内容在该住宅小区环境改造资金中的比例应为1.625:2:1.125:1.25.

2.2 确定子群权重

在考虑子群意见的大群体决策问题中，来自不同子群的个体通常具有不同的知识背景，决策组织者会关注各子群中的个体所提供的偏好信息，进而确定各子群的权重.这里，子群中的个体针对要素评估的意见越一致，相应子群的意见在决策过程中所占权重就越大.关于子群G_j的权重确定过程如下.

首先，基于2.1节得到的B_jr^l和，计算子群G_j针对要素E_r的评估结果的离散程度σ_jr²，其计算公式为

(5)

然后，为使方案的构成要素得到均衡考虑，计算子群G_j针对所有要素的评估结果的平均离散程度，其计算公式为

(6)

进一步地，计算子群G_j针对所有要素的评估一致性CI_j^[15]，其计算公式为

(7)

可以看出，一致性CI_j越高，说明子群G_j中个体之间的分歧越小.

在此基础上，给出子群G_j的权重w_j的计算公式，即

(8)

容易看出，权重w_j满足且0≤w_j≤1, j=1, 2, …, m.

2.3 对备选方案排序

为统一量纲，需要先对备选方案表现值向量b_i=(b_i1, b_i2, …, b_ik)进行归一化处理，得到.其中

(9)

基于上面的论述，为表示虚拟方案与备选方案之间的接近程度，引入贴近度. 表示子群G_j的意见与备选方案A_i之间的接近程度，其计算过程如下.

首先，计算虚拟方案与备选方案A_i之间的距离d_ji，其计算公式为

(10)

在此基础上，贴近度的计算公式为

(11)

其中：d_j⁺=max{d_j1, d_j2, …, d_jn}，表示虚拟方案与n个备选方案之间的最大距离; d_j-=min{d_j1, d_j2, …, d_jn}，表示虚拟方案与n个备选方案之间的最小距离.

显然，贴近度越大，说明子群G_j的意见与备选方案A_i之间越接近.

进一步地，在综合考虑各子群意见的前提下，集结与w_j，得到大群体意见与备选方案A_i之间的综合贴近度U_i，其计算公式为

(12)

最后，依据综合贴近度U_i的大小对方案A₁, A₂, …, A_n进行排序.显然，U_i越大，备选方案A_i就越接近于集结各子群意见后的大群体意见.也就是说，U_i越大，相应的备选方案A_i就越好.

3 算例

以L市的城市公园建设项目为例来说明本文提出方法的可用性.L市拟建设一座综合性城市公园，计划投资金额为800万元，构成公园设计方案的8个要素分别是E₁“公园建筑小品”，E₂“公园绿化”，E₃“儿童游乐设施”，E₄“公共健身设施”，E₅“休闲广场”，E₆“文化长廊”，E₇“运动场”，E₈“健身步道”.经过相关部门的研究，初步拟定了3个备选设计方案A₁, A₂, A₃，如表 3所示.

表 3中的数字表示各构成要素针对各备选方案所花费的金额.由表 3可知，b₁=(48, 320, 74, 40, 134, 86, 48, 50), b₂=(58, 280, 82, 20, 180, 54, 90, 36), b₃=(32, 328, 30, 80, 80, 26, 120, 104).

为选择一个最受市民认可的设计方案，政府通过微信公众号征集市民意见，参与调查的市民提交针对构成公园设计方案的8个要素的偏好.通过一段时间的调查，共有5 120位市民提供了自己对公园建设的意见.

由于不同年龄的人群对于设施有不同的偏好和期望，现按年龄将参与调查的5 120人划分成4个子群，分别是G₁=“30岁以下的青年人”，G₂=“30~45岁(包括30岁但不包括45岁)的中青年人”，G₃=“45~60岁(包括45岁但不包括60岁)的中年人”，G₄=“60岁及以上的老年人”，4个子群的个体数量集合为C={1 290, 1 310, 1 270, 1 250}.每个参与调查的个体都给出了关于构成设计方案的8个要素E₁, E₂, …, E₈的偏好排序.依据式(1)~式(3)，可获得各要素针对各子群的borda均值，如表 4所示.

故针对子群的borda均值向量分别为 =(3.43, 3, 4, 4.14, 1.43, 2.71, 4.86, 4.43), =(3.33, 3.52, 5.6, 3.2, 3.59, 3.92, 1.65, 3.19), =(2.75, 3.06, 2.05, 5.38, 3.9, 3.56, 2.5, 4.8), =(4.35, 4.67, 2.1, 3.52, 3.84, 4.16, 1.1, 4.26).考虑到4个子群中的个体数量存在差别，为使各子群的意见在决策过程中得到均衡考虑，依据各要素针对各子群的borda均值构建向量，其中元素表示在考虑各子群中所有个体意见的前提下，构成方案的要素E₁, E₂, …, E₈的重要程度.

依据式(4)，对进行归一化处理，得到针对各子群的虚拟方案 =(0.122 5, 0.107 1, 0.142 9, 0.147 9, 0.051 1, 0.096 8, 0.173 5, 0.158 2), =(0.118 9, 0.125 7, 0.2, 0.114 3, 0.128 2, 0.14, 0.059 0, 0.113 9), =(0.098 2, 0.109 3, 0.073 2, 0.192 2, 0.139 3, 0.127 1, 0.089 3, 0.171 4), =(0.155 4, 0.166 8, 0.075, 0.125 7, 0.137 1, 0.148 6, 0.039 3, 0.152 1).虚拟方案, , , 表示集结了各子群意见的最令子群G₁，G₂，G₃，G₄满意的方案.

然后，依据式(5)~式(7)，计算各子群针对构成方案的所有要素的评估一致性，4个子群对应的评估一致性分别为CI₁=0.565，CI₂=0.452，CI₃=0.386，CI₄=0.487.

在此基础上，依据式(8)，计算各子群的权重，计算结果分别为w₁=0.3，w₂=0.24，w₃=0.2，w₄=0.26.

依据式(9)，对备选方案表现值向量b₁, b₂, b₃进行归一化处理，得到 =(0.06, 0.4, 0.092 5, 0.05, 0.167 5, 0.107 5, 0.06, 0.062 5), =(0.072 5, 0.35, 0.102 5, 0.025, 0.225, 0.067 5, 0.112 5, 0.045), =(0.04, 0.41, 0.037 5, 0.1, 0.1, 0.032 5, 0.15, 0.13).

进一步地，依据式(10)和(11)，分别计算各虚拟方案与各备选方案之间的距离及贴近度.各虚拟方案与各备选方案之间的距离如表 5所示.

各虚拟方案与各备选方案之间的贴近度如表 6所示.

最后，依据式(12)，计算集结各子群意见后的大群体意见与各备选方案之间的综合贴近度，计算结果分别为U₁=0.454 0，U₂=0.867 2，U₃=0.334 1，故备选方案的排序结果为A₂≻A₁≻A₃.因此应选择备选方案A₂作为城市公园的建设方案.

4 结语

本文提出了一种考虑多个子群意见的多要素大群体决策方法.该方法依据参与决策的个体针对方案构成要素的排序构建了代表各子群偏好的虚拟方案.考虑到各子群中个体意见存在差异，计算出各子群的权重和各虚拟方案与各备选方案之间的贴近度，并将二者集结得到针对各备选方案的综合贴近度，据此选出最优备选方案.与已有研究不同的是，本文考虑到在许多决策环境下个体直接对备选方案进行评估并给出确切的分值是相当困难的，因而提出了“多要素大群体决策”这一新的决策问题.

在今后的研究中，可针对该类问题进行更加深入的研究，提出一系列具有适用性的决策模式和决策方法，扩展大群体决策分析的研究范围.