股票市场波动率的测度和预测一直是金融研究的重要课题, 其对投资组合配置、金融资产定价、市场风险管理等方面有着重要的理论意义和现实价值.近年来, 基于高频数据研究股市价格波动成为学术界和实务界的广泛共识.Andersen等^[1]首先提出基于日内高频数据的已实现波动率(RV)方法.随后, Corsi^[2]将异质投资者划分为短期、中期和长期三类, 构建了异质自回归模型(HAR).已实现波动率及HAR模型因其简便的形式和良好的预测能力, 成为普遍使用的股市波动率测度及建模方法^[3-5].

随着研究的深入, 大量文献证实高频收益在日内近似连续的时间内可能出现突然的大幅波动, 即跳跃现象.因此, 部分学者将已实现波动率进一步细分为不同统计特征的连续和跳跃波动两部分.Clements等^[6]证实加入跳跃波动可以改善波动率模型的预测能力.Andersen等^[7]通过建立HAR-J和HAR-CJ模型, 证实了跳跃对波动率预测的影响.国内学者, 如宫晓莉等^[8]、瞿慧等^[9]、陈声利等^[10]基于中国市场数据, 明确了跳跃对现有波动率模型的改进作用.

与此同时, 收益率和波动率之间的非对称关系也被认为是深入研究HAR模型的另一个切入点.Corsi等^[11]通过在HAR模型中增加收益率负向冲击的异质结构, 构建了LHAR模型.Zhu等^[12]和Duan等^[13]将杠杆效应与HAR模型相结合, 证实新模型具有稳定的改进效力.罗嘉雯等^[14]通过贝叶斯时变模型, 构建了包含杠杆效应在内的多个模型来提高动态模型的预测效果.Pan等^[15]的研究结果表明, 杠杆效应对短期市场波动的影响要强于对长期波动的影响.

然而, 随着非线性科学的发展, 部分学者试图突破已实现波动率, 构建一种包含价格序列复杂特征的新方法.Wei等^[16]首次提出多分形波动率及其计量模型, 实证比较了新模型与传统的GARCH和SV模型的预测效力.之后, Chen等^[17]和唐勇等^[18]在不同程度上对多分形波动率进行了改进.魏宇等^[19]采用尺度参数调整方法降低非连续交易的信息缺失, 构造了新的多分形波动率.与已实现波动率相比, 多分形波动率可以刻画复杂对象的非均匀和各向异性特征, 被认为是描述和解释金融市场复杂波动的有力工具^[20].

1 波动率测度方法及其计量模型 1.1 多分形波动率

本文在现有MFV^[16], MVM^[19]等方法的基础上, 采用赋权已实现波动率(WRV_t)^[21]作为修正因子, 提出了新的多分形波动率测度方法MVW_t, 定义如下：

(1)

式中，S_α为日内多分形谱奇异指数α^[16]的标准差.

此外, 通过现有研究^[18-19]和本文的实证结果发现, 多分形波动率对数序列不仅可以近似地用高斯动力学过程来描述, 而且能获得更好的拟合效果.因此, 以下对多分形波动率序列的建模采用对数序列.

1.2 波动率建模方法

在Corsi^[2]提出HAR模型后, Andersen等^[7]和Corsi等^[11]分别从分解已实现波动率和引入杠杆效应两方面对模型进行改进, 构造了HAR-J模型和LHAR类模型.因此, 本文在上述模型范式的基础上, 分别建立了4种已实现波动率模型和12种多分形波动率模型.以本文提出的多分形波动率MVW为例, 其4种波动率模型形式分别为

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：lnMVW_t, lnMVW_t-5和lnMVW_t-22分别为日、周和月的多分形累积平均波动率；ε_t+1为随机扰动项；MJ_t=max(MVW_t-BPV_t,0),BPV_t=是标准正态分布随机变量Z绝对值的均值；r_{t-h, t}^-=min(r_{t-h, t}, 0), r_{t-h, t}为t-h日的累计平均对数收益率.其他已实现波动率模型及多分形波动率模型也如上述模型所示.

综上, 基于已实现波动率(RV)和3种多分形波动率(MFV, MVM, MVW), 本文共得到了4种已实现波动率模型和12种多分形波动率模型.

2 实证结果 2.1 数据描述

本文采用上证指数和深证成指2011年1月4日至2016年5月20日5 min高频数据为研究样本.样本区间基本涵盖了中国股市相对完整的牛熊市周期, 数据来源于Wind数据库.为了研究不同市场态势下的各模型的预测能力, 本文以2014年10月7日为节点, 将样本划分为低波动(样本期一)和高波动(样本期二)两个子样本.各序列在两个子样本的描述性统计见表 1.

从表 1可以看出, 两个子样本的统计特征存在显著差异.例如, 样本期二的均值和标准差显著高于样本期一时期, 而偏度和峰度则显著低于样本期一时期, 这说明样本序列在样本期二的波动性显著增强, 但是“有偏”和“尖峰”的形态则相对减弱.总体来说, 大部分样本序列都表现出显著的“有偏”和“尖峰”的形态, 而且在滞后5, 10和22期内, 具有明显的自相关特征.ADF单位根检验结果表明, 各序列都显著拒绝了存在单位根的原假设, 表明各序列都是平稳的时间序列, 可以直接进行分析和计量建模.

2.2 波动率模型的样本外预测性能检验

本文采用“滑动时间窗”方法, 将样本前80%划分为估计样本, 后20%作为预测样本.遵循Hansen等^[22]的建议, 本文在6种损失函数指标(MSE, HMSE, MAE, HMAE, QLIKE, R2LOG)的基础上, 通过“模型信度设定”(MCS)方法判断各模型的样本外预测精度.为了更加清晰地展示检验结果, 本文仅在表 2中列出在两个子样本内至少取得一次最优检验值的模型检验结果.

由表 2可知：①在通过检验的模型中, 多分形波动率模型的数量要明显多于已实现波动率模型, 而且多分形波动率模型MCS检验的p值也普遍高于已实现波动率模型.②在样本期一中, HAR-lnMFV模型的表现最为突出, 在几乎所有检验统计标准下幸存, 特别是在MSE，MAE和HMAE标准下获得了最小的损失函数值和最大的MCS检验的p值.这一结果说明多分形波动率测度方法及其波动率预测模型具有良好的样本外预测能力.③在样本期二中, HAR-J-lnMVW模型的样本外预测能力具有压倒性优势.可能有两方面原因：其一, HAR-J-lnMVW模型中的MVW指标对日内效应进行了修正, 更加贴近真实波动率；其二, 市场处于高波动时期, 投资者交易的频繁使其受非预期信息冲击的影响更为显著, 跳跃成分显著提高了模型的预测表现.因此, 本文提出的MVW测度方法及其HAR-J-lnMVW模型具有更为显著的样本外预测能力.④跳跃和杠杆效应在两个子时期均对模型具有一定的改进作用.具体来说：当市场处于平稳波动时期, 市场中的持续性波动占据主导地位, 二者的改进效力并不明显；当市场处于剧烈波动时期, 跳跃成分和杠杆效应的改进效果得到大幅提升, 而且跳跃具有比杠杆效应更强的改进效力.

3 结论

1) 对已有的多分形波动率测度方法进行了改进, 提出了新的多分形波动率测度方法(MVW).在HAR类模型范式的基础上, 构建了多分形波动率预测模型, 并考察了跳跃和杠杆效应对波动率预测模型的影响.

2) 实证结果表明, 多分形波动率作为不同于已实现波动率的新方法, 在波动率预测的应用中具有一定优势, 特别是在市场的高波动时期, 其优势更加明显, 这为刻画金融市场波动的复杂性特征提供了新的可能.此外, 基于多分形波动率构建的计量模型可以灵活地描述金融市场长记忆性、厚尾分布、杠杆效应等“典型事实”, 在金融资产定价及风险监管等应用方面也存在诸多可能.因此, 本文的研究结果对金融市场波动率的精准刻画及对金融风险的定量描述和预测都具有一定的理论意义和实际应用价值.