永磁同步电机具有高功率密度、结构简单、易于调速等优势^[1]，其转子位置与速度是实现解耦控制的必要条件.通常采用位置传感器检测电机转子位置或转速信号，导致了系统的体积和质量增加、成本增高、可靠性降低、应用场合受限.为扩展系统应用场合，国内外学者正致力于永磁同步电机无位置传感器控制的开发和应用^[2].适用于低速段和中高速段的永磁同步电机无传感器控制方法大多存在抗扰能力差、受系统参数影响严重等缺点^[3].

滑模观测器(sliding mode observer, SMO)是基于变结构理论设计的一种非线性观测器，对于系统内部参数摄动与外部扰动具有良好的鲁棒性和动态性能，同时具有较高的稳态控制性能.滑模观测器的开关函数会使滑模面不连续地切换，导致系统出现严重的“抖振”现象.国内外学者针对上述问题提出多种解决方法：文献[4]和文献[5]分别采用双曲正切函数和sigmoid函数代替符号函数改进滑模观测器的趋近律，在一定程度上抑制了系统“抖振”; 文献[6]采用模糊控制策略调节滑模增益，实现低速抖振抑制，增大了滑模观测器的适用转速范围; 文献[7]采用级联式滑模观测器，改善了传统滑模观测器中锁相环造成的相位滞后.上述文献虽然从不同角度对滑模观测器进行了改进，但仍然存在系统超调量大、调整时间长等问题.

本文提出super-twisting二阶滑模观测器对永磁同步电机反电势进行估计，该观测器可实现滑模变量及其一阶导数稳定收敛到0，且将符号函数隐藏在积分项内，有效抑制了“抖振”现象; 采用Lyapunov方法对super-twisting滑模观测器(super-twisting sliding mode observer，STSMO)进行稳定性分析，给出了算法收敛的参数取值范围.

1 Super-twisting滑模观测器的设计

Super-twisting的算法形式^[8]：

(1)

其中：x_i为系统状态变量; k_i为滑模增益; ε_i为扰动变量.

根据PMSM数学模型构建的super-twisting滑模观测器为

(2)

其中：R为电阻; L为电感; 符号“^”表示观测值，则观测误差为

(3)

定子电流误差微分方程为

(4)

趋近律选择等速趋近，则滑模控制律可设计为

(5)

(6)

式中：z_α和z_β为主滑模面的观测值; 和 为辅助滑模面的观测值.k_{α, 1}，k_{α, 2}，k_{β, 1}和k_{β, 2}为滑模增益，取值需要满足滑模存在性、可达性和稳定性; sign(x)为符号函数：

(7)

选取定子电流的观测误差构建主滑模面s：

(8)

则滑模面一阶导数：

(9)

(10)

即

(11)

(12)

对比式(9)、式(10)和式(1)可发现，T₁和T₂相当于STSMO的干扰项.对任意δ₁, δ₂>0，T₁和T₂满足：

(13)

等价于：

(14)

系统进入主滑模面时s=0和辅助滑模面=0即，此时z_α和z_β等效于EMF：

(15)

由于等效反电势e_α, e_β是非连续的高频信号，波形存在一定程度的失真，无法直接估算转子位置和转速，因此，在滑模观测器的输出侧需要加一个截止频率为ω_c的低通滤波器，将高次谐波滤除后，获得与实际反电势接近的连续等效信号：

(16)

对反电势进行反正切运算可以得到转子位置和转速的估计值：

(17)

(18)

滤除输出等效反电势高次谐波时采用的一阶低通滤波器具有相位延迟特性，导致计算的转子位置存在误差，故需要对估算的转子位置作相位补偿，补偿量Δθ_e和补偿后的观测转子位置角与转速为

(19)

(20)

(21)

基于super-twisting滑模观测器的转子位置估算模块结构框图如图 1所示.

根据Lyapunov稳定性定理可知，要使滑模存在且稳定，系统需要满足^[9-10]：

1) 当t→∞时，s→0;

2) 系统满足s < 0.

选取如下Lyapunov函数：

(22)

其中：

(23)

(24)

(25)

由于V₀是连续的，但在处不可微，若系统参数满足式(13)、式(14)，则在 处系统有界，并渐进稳定.因此系统的微分结果为

(26)

(27)

(28)

且为使系统稳定，只需令滑模增益满足:

(29)

(30)

2 仿真验证与分析

在Matlab/Simulink仿真环境下搭建基于super-twisting滑模观测器的PMSM无位置传感器矢量控制系统^[11]，结构框图如图 2所示.

永磁同步电机参数如表 1所示.仿真条件设置为：设置离散仿真系统，采样时间10^-6s，采用变步长ode45算法，相对误差0.001，仿真时间0.15 s，矢量控制策略采用i_d^*=0方式.

根据电机参数及系统性能要求，取滑模增益参数k_{α, 1}=50，k_{α, 2}=0.001，k_{α, 3}=160，k_{α, 4}=0.0015，k_{β, 1}=60，k_{β, 2}=0.0013，k_{β, 3}=150，k_{β, 4}=0.001.

初始给定转速1000r/min，空载运行.0.05s时给定转速升至2000r/min，负载转矩不变.0.1s时负载转矩由零升至5N·m.传统滑模观测器与super-twisting型滑模观测器仿真结果如图 3~图 8所示.

从上述仿真结果可以看出，整个系统能够保持较好的转子速度和位置跟踪性能.在0.1 s负载转矩突变导致实际电机转速出现一个微小的低谷现象，此时估计转速仍然跟踪着实际转速，同样出现了一个微小的低谷现象，证明了其可行性与有效性.

由传统滑模观测器仿真结果可知，跟踪过程中转速和转子位置的估计值都存在一定的抖振问题.转速抖动幅度达到98 r/min，而转子位置估计误差抖动达到11°，这种抖动是由于滑模观测器的本身特性以及电流中的谐波成分导致的.由于引入低通滤波器导致转子位置估计存在大约为4°的稳态误差.

通过对super-twisting型滑模观测器进行仿真可以看出，改进后的滑模观测器的转速和转子位置估计值的波动明显减小，说明改进后的系统抖动问题得到了有效抑制.同时，转子位置估计误差也从4.2°减小至2.1°，说明估计值的相位滞后问题在一定程度上得到了抑制.仿真结果表明，改进后的super-twisting型滑模观测器可以有效提高转子位置估计精度，且具更小的转速超调量和更短的过渡过程时间，稳态和动态性能较传统滑模观测器更优.

图 9、图 10分别为永磁同步电机α-β坐标系两相反电势估计值和负载突变定子三相电流.由图 9可知，反电势幅值随电机转速增加而增大，e_α和e_β为幅值相等、相位互差90°的较为理想的正弦波.

仿真结果表明，super-twisting型滑模观测器观测到的反电势逼近其实际值，即所设计的滑模观测器可实现较为理想的估计结果.

3 实验验证及分析

通过图 11所示的RT-LAB半实物仿真平台对super-twisting型及传统滑模观测器的性能进行验证.实验过程为：首先在Matlab/Simulink环境下搭建控制系统并进行全数字仿真; 然后将仿真模型通过RT-LAB仿真管理软件编译并下载到仿真机中; 最后采取仿真机和实际被控对象连接的方法进行半实物仿真测试实验.实验结果如图 12、图 13所示.

由图 12可以看出，在转速分别为1 000 r/min和2 000 r/min的稳态情况下，super-twisting型滑模观测器的转速误差分别为11 r/min和14 r/min，传统滑模观测器的转速误差分别为23 r/min和29 r/min.在转速由1 000 r/min上升至2 000 r/min的过渡过程中，super-twisting型滑模观测器的转速超调量和快速性两项指标均优于传统滑模观测器.

由图 13可知，基于传统滑模观测器的转子位置估计误差峰-峰值最大为15°，基于super-twisting型滑模观测器的转子位置估计误差峰-峰值最大为7°，因此，super-twisting型滑模观测器的转子位置估计精度要远高于传统滑模观测器的估计精度.

综上所述，采用半实物仿真实验所得到的结果与在Matlab/Simulink环境下进行的仿真验证结果相似.因此，该实验有效验证了本文所提出的super-twisting型滑模观测器在转子位置和速度估计性能方面的有效性和优越性.

4 结论

1) 本文提出的基于super-twisting滑模观测器的永磁同步电机无位置传感器控制方法加快了状态变量到达滑模面的速度，有效抑制了系统“抖振”.

2) 仿真结果表明该滑模观测器的反电势估计值逼近实际值，系统具有较为理想的转子位置和速度估计精度，且永磁同步电机无位置传感器控制系统具有良好的稳态控制精度与动态响应能力.

3) 实验结果证明PMSM无位置传感器控制系统可以准确估计转子位置和速度，与仿真结果一致.