风险型多属性决策是指在不确定环境下依据多个属性进行有限方案排序或选择的问题,该问题的特点是:在决策过程中每个备选方案都会遇到几种不同的可能情况,而且已知每一种情况的可能性有多大,即发生的概率有多大,因此在依据不同概率所拟定的多个决策方案中,不论选择哪一种方案,都要承担一定的风险,其在经济管理及工程管理等多个领域具有广泛的实际背景^{[1, 2]}.但在一些现实的风险型多属性决策问题中,决策者可能会对每个属性给出参照点,且在不同自然状态下的参照点是不同的,而属性值超过参照点的部分被视为“收益”,没有达到参照点的部分被视为“损失”,这体现了决策者的心理行为.因此,针对决策者给出参照点的风险型多属性决策问题的研究是值得关注的.目前,关于此方面的研究,已有一些相关的研究成果^{[3, 4, 5, 6]},而这些研究成果主要是建立在Kahneman和Tversky所提出的前景理论^{[7, 8]}的基础之上.需要指出的是,已有的研究成果很少考虑解决多人(或多个参与决策人)给出参照点的风险型多属性决策问题.鉴于此,本文针对多人给出参照点的风险型多属性决策问题,提出一种基于累积前景理论的决策分析方法,该方法首先依据累积前景理论计算各参与决策人针对各方案的综合累积前景值,然后计算基于多人一致性分析的每个参与决策人的权重,并在此基础上计算每个方案的总体累积前景值,进而对各备选方案进行排序.

在考虑多人给出参照点的风险型多属性决策问题中,为便于分析,用以下符号来描述该问题中所涉及的集和量.H={1,2,…,h}为h个自然状态的下标集合(下文论述中的“自然状态”均被简称为“状态”);S={S₁,S₂,…,S_h}为h个状态的集合,其中S_t为第t种状态,t∈H;P_t为S_t发生的概率,满足P_t∈[0,1],∑ h t=1 P_t=1;M={1,2,…,m}为m个备选方案的下标集合;A={A₁,A₂,…,A_m}为m个备选方案的集合,其中A_i为第i个备选方案,i∈M;N={1,2,…,n}为n个属性的下标集合;C={C₁,C₂,…,C_n}为n个属性的集合,其中C_j为第j个属性,j∈N,且C₁,C₂,…,C_n是加性独立的;N_b,N_c为效益型属性、成本型属性的下标集合,满足N_b∪N_c=N,N_b∩N_c=; ω =(ω₁,ω₂,…,ω_n)为属性权重向量,其中ω_j为属性C_j的权重或重要程度,满足ω_j∈[0,1],∑ n j=1 ω_j=1;K={1,2,…,k}为k个参与决策人(专家或决策者)的下标集合;E={E₁,E₂,…,E_k}为k个参与决策人的集合,其中E_l表示第l个参与决策人,l∈K; η =(η₁,η₂,…,η_k)为参与决策人的影响程度向量,其中η_l为参与决策人E_l对决策过程的影响程度,满足η_l∈[0,1],∑ k l=1 η_l=1; Q^l_t=(q^l_t1,q^l_t2,…,q^l_tn)为参与决策人E_l在状态S_t下针对各属性所给出的参照点向量,其中q^l_ij为针对属性C_j的参考点,j∈N,t∈H,l∈K; D _t=[d_ijt]_m×n×h为状态S_t下的风险决策矩阵,其中d_ijt为在状态S_t下方案A_i针对属性C_j的属性值或结果,i∈M,j∈N,t∈H.

在本文中,考虑决策信息的数据类型均为清晰数的形式.本文要解决的问题是,依据上述决策信息,如何通过一个有效的决策分析方法来确定所有方案的排序或选择最优方案.

关于每个参与决策人针对各方案的综合累积前景值的计算,其具体计算过程如下:

1) 依据累积前景理论^[8],计算每个参与决策人针对状态S_t下属性C_j的属性值d_ijt相对于参照点q^l_tj的益损值F(d_ijt),其计算公式为

2) 考虑到每个参与决策人面对收益和损失时具有不同的风险态度,依据益损值F(d_ijt),可计算方案A_i针对属性C_j的属性值d_ijt的前景价值v^l_ijt.若记v^(-)l_ijt和v^(+)l_ijt分别表示方案A_i在各状态下遭受损失时针对属性C_j所对应的前景价值和获得收益时针对属性C_j所对应的前景价值,则依据累积前景理论^[8],前景价值v^l_ijt的计算公式为

3) 将前景价值v^l_ijt规范化为,规范化处理的目的是消除不同物理量纲对最终决策结果的影响,且v^l_ijt的规范化公式为

4) 将前景价值v^l_ij1,v^l_ij2,…,v^l_ijh由小到大进行排序,得到v^l_ij(1)≤…≤v^l_ij(ζ)≤0≤v^l_ij(ζ+1)…≤v^l_ij(h),其中v^l_ij(o)表示v^l_ij1,v^l_ij2,…,v^l_ijh中从小到大排在第o位的前景价值.若o≤ζ,则v^l_ij(o)=v^(-)l_ijo≤0;若ζ+1≤o,则v^l_ij(o)=v^(+)l_ijo≥0,o∈H.相应地,记v^l_ij(o)所对应的状态为S_o,S_o∈{S₁,S₂,…,S_h};S_o所对应的状态概率为P_o,P_o∈{P₁,P₂,…,P_h}.进而,可计算方案A_i针对属性C_j的属性值d_ijt所对应的决策权重函数值π^l_ijo.若记π^(-)l_ijo和π^(+)l_ijo分别表示方案A_i在状态S_o下遭受损失时所对应的决策权重函数值和获得收益时所对应的决策权重函数值,则依据累积前景理论^[8],决策权重函数值π^l_ijo的计算公式为

依据文献^[11],式(7)和式(8)中的w^-(·)和w⁺(·)分别为

5) 依据式(5)~式(10),计算方案A_i针对属性C_j的累积前景值,其计算公式为

6) 依据式(11)和属性权重向量 ω =(ω₁,ω₂,…,ω_n),计算每个人针对各方案的综合累积前景值U^l_i,其计算公式为

依据文献^[12]的基本思想,计算每个参与决策人的权重,具体的计算过程如下:

1) 依据规范化的前景价值 ^l_ijt和决策权重函数值π^l_ijt,构建加权价值矩阵 ^l_t=[^l_ijt]_m×n×h,该矩阵中的元素 ^l_ijt的计算公式为

2) 依据加权价值矩阵 ^l_t=[^l_ijt]_m×n×h,分别构建正理想加权价值矩阵 B _t=[b_ijt]_m×n×h,右负理想加权价值矩阵 _t=[_ijt]_m×n×h和左负理想加权价值矩阵 B _t=[b _ijt]_m×n×h,其中b_ijt,_ijt和 b _ijt的计算公式分别为

3) 依据式(13)~式(16),分别计算Euclidean距离s^l_t,^l_t和 s^l_t,相应的计算公式分别为

4) 依据式(17)~式(19),计算参与决策人E_l在状态S_t下的决策信息与总体决策信息的一致性程度GCI^l_t,其计算公式为

5) 依据式(20)和状态概率P_t,计算每个决策参与人对应的期望一致性程度EGCI_t,其计算公式为

6) 综合参与决策人的期望一致性程度EGCI_l和影响程度向量 η =(η₁,η₂,…,η_k),计算每个参与决策人的权重SEGCI_l,其计算公式为

7) 对权重SEGCI_l进行规范化,得到参与决策人的权重向量 δ =(δ₁,δ₂,…,δ_k),其中δ_l的计算公式为

依据由式(12)得到的各方案的综合累积前景值U^l_i和由式(23)得到的各参与决策人的权重δ_l,i∈M,l∈K,计算每个方案的总体累积前景值U_i,其计算公式为

进而,依据U_i的大小可对所有方案进行排序,U_i愈大,相应的方案愈排在前面.

综上所述,下面给出考虑多人给出参照点的风险型多属性决策方法的具体计算步骤.

步骤1 依据式(1)~式(4),计算每个方案针对各属性的属性值所对应的前景价值v^l_ijt,并依据式(5),将前景价值v^l_ijt规范化为.

步骤2 依据式(6)~式(10),计算每个方案针对各属性的属性值所对应的决策权重函数值π^l_ijo.

步骤3 依据式(11),计算每个方案针对各属性的累积前景值,并依据式(12),计算各参与决策人针对各方案的综合前景值U^l_i.

步骤4 依据式(13),构建加权价值矩阵,并依据式(14)~式(16),分别构建正理想加权价值矩阵 B _t=[b_ijt]_m×n×h,右负理想加权价值矩阵和左负理想加权价值矩阵

步骤5 依据式(17)~式(21),计算每个参与决策人对应的期望相似系数EGCI_l.

步骤6 依据式(22)和式(23),计算参与决策人权重向量 δ .

步骤7 依据式(24),计算各方案的总体累积前景值U_i,并据此对所有方案进行排序.

为说明本文给出的决策方法的可行性,下面考虑一个风险投资项目选择问题.某投资银行欲选择一个项目进行投资,该投资银行组建了一个由3位投资专家(E₁,E₂,E₃)组成的投资咨询组,经咨询组商议后,现有5个备选项目(A₁,A₂,A₃,A₄,A₅),且决策者考虑的属性主要有3个(C₁,C₂,C₃),即期望净现值C₁(单位:万元)、风险盈利值C₂(单位:万元)和风险损失值C₃(单位:万元).在这3个属性中,属性C₁和C₂为效益型属性,C₃为成本型属性.另外,在投资期间,有3种可能的市场状态(S₁,S₂,S₃),分别为好、中和差,且已经估计各市场状态发生的概率分别为P₁=0.3,P₂=0.5,P₃=0.2.假设决策者提供的属性权重向量为 ω =(0.6,0.2,0.2),专家影响程度向量为 η =(0.2,0.6,0.2).假设3位投资专家分别针对各市场状态给出属性的参照点向量分别为 Q¹₁=(320，100，40),Q¹₂=(260，100，60),Q¹₃= (210，60，70); Q²₁=(360，120，55),Q²₂=(300，110，70),Q²₃=(250，70，70); Q³₁=(300，90，30),Q³₂=(250，80，50),Q³₃=(200，50，60).不同市场状态下的风险决策矩阵为 D _t,t＝1,2,3(如表 1所示).

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 风险决策矩阵 Table 1 Risky decision making matrix Ai S1(P1=0.3) S2(P2=0.5) S3(P3=0.2) C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 A1 310 110 45 260 80 60 180 50 70 A2 360 130 35 310 90 55 240 75 65 A3 340 120 50 290 110 65 220 80 75 A4 300 100 55 250 95 70 190 60 80 A5 330 140 40 280 100 60 260 65 60

表1 风险决策矩阵 Table 1 Risky decision making matrix

下面,运用前文给出的决策分析方法来选择最优项目进行投资,有关计算过程描述如下:

步骤1 依据式(1)~式(4),计算每个方案针对各属性的前景价值v^l_ijt,并依据式(5),将前景价值v^l_ijt规范化为,其中式(3)和式(4)中的参数取值为文献^[7]提供的实验值，α₁=α₂=α₃=β₁=β₂=β₃=0.88,θ₁=θ₂=θ₃=2.25.

步骤2 依据式(6)~式(10),计算每个方案针对各属性的属性值所对应的决策权重函数值π^l_ijo,其中式(9)和式(10)中的参数γ^-,γ⁺和φ分别取γ^-=0.8,γ⁺=0.8和φ=1.0^[11].

步骤3 依据式(11),计算每个方案针对各属性的累积前景值,并依据式(12),计算每个专家针对各方案的综合前景值,即:U¹₁=-0.42,U¹₂=0.58,U¹₃=0.28,U¹₄=-0.68,U¹₅=0.39;U²₁=-0.59,U²₂=0.12,U²₃=-0.16,U²₄=-0.79,U²₅=-0.10;U³₁=-0.12,U³₂=0.65,U³₃=0.41,U³₄=-0.19,U³₅=0.47.

步骤4 依据式(13),构建加权价值矩阵,和,并依据式(14)~式(16),构建正理想加权价值矩阵B_t=[b_ijt]_m×n×h,右负理想加权价值矩阵和左负理想加权价值矩阵.

步骤5 依据式(17)~式(21),计算每个专家对应的期望一致性程度为EGCI₁=0.84,EGCI₂=0.72,EGCI₃=0.75.

步骤6 依据式(22)和式(23),计算专家权重向量为 δ =(0.31,0.40,0.29),即每个专家的权重分别为δ₁=0.31,δ₂=0.40,δ₃=0.29,其中式(22)中的调节因子取μ=0.5.

步骤7 依据式(24),计算各方案的总体累积前景值分别为U₁=-0.40,U₂=0.42,U₃=0.14,U₄=-0.58,U₅=0.22.进一步地,可知U₂>U₅>U₃>U₁>U₄,进而得到所有备选方案的排序结果为A₂>A₅>A₃>A₁>A₄,即选择项目A₂进行投资.

由算例的计算过程可以看出,本文给出的决策分析方法具有以下两个优点:①针对多人给出参照点情形的风险型多属性决策问题,提供了一种较为科学、有效的决策分析工具,即体现在将累积前景理论应用于多人给出参照点情形的风险型多属性决策问题;②在充分利用客观决策信息的同时,兼顾到了主观决策信息对决策结果的影响,即体现在基于多人一致性分析的各参与决策人权重确定的方法中,引入调节因子,从而既考虑到了客观决策信息对各参与决策人权重的影响,也考虑到了主观决策信息(参与决策人的影响程度)对各参与决策人权重的影响.

本文给出了一种基于累积前景理论的决策分析方法来解决多人给出参照点的风险型多属性决策问题.该方法是依据累积前景理论计算各方案的综合累积前景值,并进一步计算每个决策参与人的权重,在此基础上,计算每个方案的总体累积前景值并据此对各备选方案进行排序.与已有相关决策方法不同的是,本文着重考虑了多人给出参照点的情形.本文的方法具有可操作性和实用性,为解决现实中考虑多人给出参照点的风险型多属性决策问题提供了一种新途径,具有实际应用价值.