压电断裂力学的研究成为人们关注的焦点，始于20世纪90年代初期Pak，Sosa和Suo等^{[1, 2, 3]}的研究工作.Kumar和Singh^[4]采用奇异元对双边缺口压电试件进行了分析，李尧臣^[5]采用有限元法计算了压电材料平面裂纹问题的强度因子和能量释放率，Fang等^[6]采用无网格法给出了压电材料裂纹问题的力电场，有限元法应用最为广泛，但采用位移有限元法理论得到的位移解偏小，为提高计算精度，Liu等^[7]提出光滑有限元法.

光滑有限元法是将光滑应变技术引入有限元的一种方法，目前有多种光滑有限元法^{[8, 9]}，其中，Cell-based光滑有限元法具有形函数选取简单、网格质量要求低、计算精度高等优点，现已应用于压电材料领域^[10]，并取得了良好的计算结果，但对压电体含裂纹问题还未涉及.

本文将复势函数法和Cell-based光滑有限元法引入到含裂纹平面压电材料问题中，建立了含裂纹压电材料的Cell-based光滑有限元法，求解了含裂纹压电材料的正则强度因子.

单元内任一点的广义位移u和广义电势φ可表示为

在光滑单元Ω^k内任意点x^k处，光滑应变 和光滑电场强度 为

将求解域Ω划分为n_p个四节点单元，节点个数为 为空集，再将Ω_ncⁱ划分为n_c个光滑子元，图 1为四节点单元划分为4个光滑子元分布情况及形函数值.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 光滑子元及节点的形函数值 Fig. 1 Smoothing subcells and the values of shape functions at nodes

将式(3)和式(4)改写为

单元刚度矩阵K^k可表示为

平衡方程为

无限大均匀压电体含2a长度裂纹，无穷远处作用的力电载荷为 T，裂纹面上应力和电位移为零，采用复变函数法求解压电材料的机电耦合裂纹尖端场^[5]，引入复变应力函数U(z)和电位移函数φ(z)，复势的解为

考察裂尖前方的材料行为，令x3=0，z_k=x1=a+Δa，Δa→0.代入式 (17)和式(18)得

定义

则

当压电材料受远场载荷作用时，应力强度因子和电位移强度因子为

裂纹尖端前方的位移和电势为

裂尖位移和电势为

因此，采用Cell-based光滑有限元法求得节点位移和节点电势的数值解代入式(44),式(45)和式(46)便可求解强度因子.

在力电耦合载荷作用下，含中心裂纹压电体 模型如图 2所示，边长2l=40cm，裂纹长度2a，P为极化方向，受到无穷远处的单向均匀拉伸 σ^∞=0.1MPa和电位移D^∞=7.5×10^-5C/m²，采用PZT-4和P-7压电材料进行数值模拟，材料参数如表 1所示.采用Cell-based光滑有限元计算u₃和φ，再外推到Δa=0处，联立方程组，便可求得强度因子.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 含中心裂纹压电体模型 Fig. 2 Piezoelectric model with a centre crack

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 材料常数 Table 1 Material constant 材料 弹性常数×10 -10/(N·m -2) 压电常数/(C·m -2) 介电常数×10 -10/(C·V·m -1) c 11 c 12 c 13 c 44 c 55 e 31 e 33 e 15 d 11 d 33 PZT-4 13.9 7.78 7.43 2.56 11.3 -6.98 13.84 13.44 60.0 54.7 P-7 13.0 8.3 8.3 2.5 11.9 -10.3 14.7 13.5 171.0 186.0

表 1 材料常数 Table 1 Material constant

由于结构对称，取试件1/4进行计算，对左端所有节点的x₁方向位移进行约束，底部的裂尖以右的所有节点进行x₃方向约束和电势约束(即底部电势为零)，同时在其顶部施加相应的应力和电位移.对裂纹长度2a=2cm情况下，采用图 3~图 5所示的开裂前三种网格划分模式(I为裂尖圆形区域加密，II为裂尖矩形区域加密，III为裂尖均匀加密)，计算时采用4个光滑子元，并与FEM作比较，给出了正则强度因子的计算结果，如表 2所示.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 裂尖圆形区域加密 (Nodes：2508， Elements：2407) Fig. 3 Round refinement at crack tip(Nodes：2508， Elements：2407)

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 裂尖矩形区域加密 (Nodes：2754，Elements：2643) Fig. 4 Rectangular refinement at crack tip (Nodes：2754，Elements：2643)

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 裂尖均匀加密 (Nodes：2745，Elements：2640) Fig. 5 Uniform refinement at crack tip (Nodes:2745, Elements: 2640)

由表 2可以看出，SFEM和FEM在3种模型二种材料下均得到了精度较高的正则强度因子，SFEM计算精度高于FEM，在裂尖处采用圆形区域加密精度最高，后面计算均采用该种局部加密形式；同时还对I模型下SFEM和FEM计算效率作了研究，在CPU：Intel(R) Core(TM) i5-3470 3.20GHz，RAM:8GB情况下，SFEM耗时30.975s，FEM耗时32.058s，SFEM效率有所提高，但不明显.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 不同网格划分下正则强度因子 Table 2 Normalized intensity factor under different mesh dividing methods 强度因子 Ⅰ Ⅱ Ⅲ FEM SFEM FEM SFEM FEM SFEM PZT-4 P-7 PZT-4 P-7 PZT-4 P-7 PZT-4 P-7 PZT-4 P-7 PZT-4 P-7 0.964 0.977 0.972 0.988 0.950 0.950 0.956 0.961 0.963 0.940 0.973 0.955 0.959 0.985 0.967 0.994 0.937 0.957 0.948 0.968 0.918 0.925 0.938 0.944

表 2 不同网格划分下正则强度因子 Table 2 Normalized intensity factor under different mesh dividing methods

表 3给出了不同裂纹长度，每个4节点网格均采用4个光滑子元时SFEM和FEM所得正则强度因子，从结果可以看出 SFEM精度高于FEM.

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 不同裂纹长度下正则强度因子 Table 3 Normalized intensity factor under different crack lengths 强度因子 PZT-4 P-7 FEM SFEM FEM SFEM 1 0.964 0.972 0.977 0.988 0.959 0.967 0.985 0.994 1.5 0.932 0.947 0.924 0.941 0.940 0.955 0.947 0.963 2 0.980 0.987 0.971 0.983 0.969 0.978 0.978 0.987 2.5 0.987 0.993 0.979 0.991 0.974 0.983 0.983 0.993 3 0.990 0.994 0.996 1.003 0.991 0.998 0.981 0.989

表 3 不同裂纹长度下正则强度因子 Table 3 Normalized intensity factor under different crack lengths

表 4给出了裂纹长度2a=6cm，材料为P-7，光滑子元采用1,2,3,4,8,16时，SFEM所得正则强度因子，从结果可以看出光滑子元为2时，SFEM精度就具有很高精度，从一致性方面验证了SFEM的正确性和可靠性.

表 4

Table 4

表 4(Table 4)

表 4 不同光滑子元个数下正则强度因子 Table 4 Normalized intensity factor under different smoothing subcells 强度因子 FEM SFEM 1 2 3 4 8 16 0.996 0.957 1.009 1.011 1.003 1.003 0.998 0.981 0.921 0.998 0.993 0.989 0.985 0.986

表 4 不同光滑子元个数下正则强度因子 Table 4 Normalized intensity factor under different smoothing subcells

将复势函数法和光滑有限元法引入到含裂纹平面压电材料问题中，提出了含裂纹压电材料的Cell-based光滑有限元法，并与FEM的精度和效率做了对比.采用SFEM的精度高于FEM，裂尖圆形区域加密比裂尖矩形区域加密和均匀加密精度高，且具有很好的一致性.