磁感应成像技术(magnetic induction tomography,MIT)是一种新兴的电学层析成像技术，它通过电磁传感器阵列来检测被测物体，计算出被测物体的电导率或磁导率的空间分布^[1].磁感应成像技术具有非接触性、非侵入性、可检测磁性材料等优点，因此在工业过程控制、生物医学研究、异物监测等领域应用前景广泛^[2].MIT图像重建算法的好坏直接影响到模型的电导率或磁导率分布.LBP和Landweber是现有的MIT图像重建算法.LBP^[3]算法优点是成像速度快，无需迭代，但该算法理论基础不够完善，导致重构出的图像失真较大.Landweber迭代算法的图像重建质量比LBP算法更好，且适应于大部分流型，但由于该算法是沿最速下降方向搜索，该搜索方向并不理想，只有最初几步收敛较快，迭代过程中易陷入局部极值，且其结果容易受参数影响出现发散^[4]；总变差(total variation,TV)正则化算法能保证求解的稳定性,且具有良好的保边缘性，但实时性很差，不符合MIT实时在线检测的条件^[5].

Donoho等建立了压缩感知 (compressive sensing，CS)理论框架^[6].其优势是一边得到信号，一边对其进行压缩，采样频率选取比传统方法更少的采样数，这样节省存储空间的同时又包含了足够的信息量.目前，学者们已经在水下监测、合成孔径雷达成像、无线传感器网络等诸多领域对压缩感知展开了广泛的应用研究^[7].

本文将MIT系统的数据采集过程看作是压缩感知针对原始信号的线性测量过程，并设计了测量矩阵.利用压缩感知原理重构出原始信号，达到图像重建的目的.

MIT系统通过传感器获取模型的电导率或磁导率分布的“投影”信息(即电压)，再将这些电压值输入成像系统，采用某种图像重建算法重建出与介质模型(导磁性或导电性)的分布图像.

图1为MIT系统原理示意图，其硬件部分由三部分构成：线圈、电子控制单元和计算机.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 MIT系统结构图 Fig. 1 Structure diagram of MIT system

在MIT系统中，传感器阵列不同线圈组合的检测电压V_ed与测量的电导率σ(x,y)间的关系可以表示为

其中:φ为被测区域;S_ed[(x,y),μ(x,y),σ(x,y)]为敏感场的分布函数;V_ed为检测电压.

式(1)离散化和线性化,可得MIT数学模型：

其中:V代表测量电压值;S代表灵敏度矩阵;σ代表电导率.图像重建的目的是通过测得的电压值解电导率的分布.

压缩感知理论的前提条件是信号具有稀疏性或可压缩性，但一般的信号都不是稀疏的，为了使信号满足压缩感知理论，将其正交变换，使信号具有稀疏性或可压缩性.

对于长度为N的离散信号x，由信号理论可知x能够用一组基 ψ={ψ₁,ψ₂，…，ψ_N}的线性组合来表示：

其中:ψ表示N×N的正交矩阵;α表示N×1的系数向量.当 α仅有K < < N个非零系数时，信号 x在基ψ上是稀疏的，稀疏度为K；称基 ψ为信号x的稀疏基.适当选取稀疏基 ψ，使信号的稀疏系数个数尽量少，这样既能提升采集速度，又能减少存储空间.

压缩感知的核心是线性测量过程，通过非相关测量将信号 x投影到维数少的测量向量y上：

其中:y为M×1(M < N)的向量；Φ为M×N的测量矩阵^[8].

由于测量值维数M小于信号维数N，所以式(4)是一个欠定方程.但由于 α仅有 K个非零系数，且K < M < N，那么通过求解式(4)的逆问题得到稀疏系数α，从而通过式(3)恢复重构信号x.

在l₀范数下求解最优化问题：

测量矩阵Φ在满足RIP准则下，M个测量值才能还原出K个系数，所谓的RIP准则就是测量矩阵Φ和稀疏基ψ不相关^[9].

MIT系统数据采集过程可视为是对被测模型的电导率分布信号的线性测量过程，其测量矩阵即为灵敏度矩阵 S，数学模型如式(2)所示.这与压缩感知的采样过程(如式(4)所示)十分类似.然而，压缩感知要求测量矩阵能够使任意K个稀疏信号x从R^N→R^M的投影过程中主要信息不丢失，才能准确重构原始信号.因此必须使设计的测量矩阵和稀疏矩阵之间满足不相干性和受限等距特性这两个必要的条件.

通过增加测量电压数目可以提高采样率，一般从增加电磁线圈数来增加测量电压数目，但势必会造成传感器间的距离过小，从而增加了干扰信号.所以可采用补0的方法来增加测量电压数目，即假设增加一些虚构的电磁线圈，所有网格节点相对于这些虚构电磁线圈的灵敏度为0，那么这些虚构电磁线圈的测量电压为0.假设增加虚构电压后，MIT系统的数学模型变为

其中V₀和S₀分别是增加虚构电磁线圈后电压向量和灵敏度矩阵.

将增加虚构电磁线圈后的灵敏度矩阵S₀按行随机排列形成新的灵敏度矩阵记为S_new，电压值 V₀变为V_new，则 MIT系统的数学模型可用式(7)来表示：

其中，S_new即为MIT系统的测量矩阵.

在MIT系统中，对于大多数的流型，信号稀疏度几乎都无法满足压缩感知的要求.为了使MIT系统原始信号能够适应压缩感知理论，须对信号进行正交变换来满足压缩感知要求的稀疏信号.其过程如式(8)所示：

其中:σ表示仿真模型的电导率，大小为N维；ψ表示信号 σ的稀疏基，大小为N×N； s表示原始信号 σ在其稀疏基ψ上的投影，为N维稀疏信号.

MIT系统的数学模型变为

由于信号s是稀疏的，因此方程可解，可以通过求解式(10)来获得稀疏信号s.

通过压缩感知信号重构算法求得稀疏信号s以后，电导率σ可以通过求解式(8)来获得.

具体实现步骤：

Step 1 初始化：对由MIT系统获得的电压和灵敏度数据进行归一化，归一化后的电压向量记为V，归一化后的敏感场矩阵记为S.

Step 2 设计测量矩阵：对灵敏度矩阵S进行补零拓展和行向量随机重组操作，生成的矩阵 S_new即为压缩感知对应的测量矩阵；为使新生成的测量矩阵 S_new满足MIT系统方程，需要对电压向量 V也进行同样的操作，所生成新的电压向量记为V_new.

Step 3 构造稀疏基：本文采用余弦DCT基.设原始信号的长度为N，离散余弦DCT基可通过式(11)~(12)得到：

其中:m,n=1，2,…,N;

Step 4 MIT图像重建：通过求解式(10)的最优化问题，从而获得仿真模型的电导率分布的重构.

本文选择了4种具有代表性的电导率分布模型进行仿真实验.MIT系统选取了具有8个电磁线圈传感器系统，被测模型为圆形.图2是原始图像，图3~图5是传统算法(LBP算法)、TV算法和本文算法的图像重建结果.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 原始图像 Fig. 2 Original images (a)—单个扰动； (b)—2个扰动； (c)—3个扰动； (d)—4个扰动.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 LBP算法图像重建结果 Fig. 3 Images reconstructed by LBP algorithm (a)—单个扰动； (b)—2个扰动； (c)—3个扰动； (d)—4个扰动.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 TV迭代算法图像重建结果 Fig. 4 Images reconstructed by TV algorithm (a)—单个扰动； (b)—2个扰动； (c)—3个扰动； (d)—4个扰动.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 本文方法图像重建结果 Fig. 5 Images reconstructed by the method in this paper (a)—单个扰动； (b)—2个扰动； (c)—3个扰动； (d)—4个扰动.

从图3,图4和图5中可以看出本文的图像重建算法在重建质量上要好于其他2种算法.

为了便于评价和对比3种MIT图像重建算法的性能，引入两个指标：图像误差和相关系数^[10].图像误差是指重建图像与原始图像间的相对误差，计算公式如式(12)所示.相关系数是指重建图像灰度向量与原始图像灰度向量各变量之间的线性相关程度，计算公式如式(13)所示.

式中:σ为原始图像的电导率分布，均值为 为重建图像的电导率分布，均值为 .表1和表2分别为传统图像重建算法(LBP算法)、TV算法和本文方法与原始图像间的图像误差和相关系数.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 不同算法重建图像的误差 Table 1 Image errors of different reconstruction image algorithms % 扰动 LBP TV 本文算法 a 195.09 48.07 41.23 b 149.83 63.89 46.98 c 77.17 51.69 40.69 d 147.65 62.90 48.95 平均值 142.44 56.64 44.46

表 1 不同算法重建图像的误差 Table 1 Image errors of different reconstruction image algorithms

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 不同算法重建图像的相关系数 Table 2 Correlation coefficients of different reconstruction image algorithms 扰动 LBP TV 本文算法 a 0.2796 0.8801 0.9270 b 0.4037 0.7981 0.8719 c 0.5160 0.7298 0.8380 d 0.3724 0.7064 0.8316 平均值 0.3929 0.7786 0.8671

表 2 不同算法重建图像的相关系数 Table 2 Correlation coefficients of different reconstruction image algorithms

从表1和2可得，利用本文算法与传统图像重建算法(LBP算法)，TV算法相比，其图像误差更小，线性相关程度更高.

从仿真实验结果中看出，本文方法的图像误差和相关系数比传统图像重建算法(LBP算法)和TV算法要好得多.由此可见，本文方法用于MIT图像重建是有效且精度较高的，值得进一步研究和推广.