为解决连铸坯尺寸种类少，产品规格多的问题，粗轧机组常采用立-平轧方式来调整板坯宽度.由于轧件宽厚比大，立轧变形仅集中在板坯边部导致局部呈现明显的“狗骨”形状^[1].

Okado^[2]首先提出描述狗骨特征参数的经验公式，但只考虑了板厚和侧压量两个因素的影响.Tazoe^[3]得出了增加立辊直径和板宽的狗骨高度经验公式，后来Ginzburg等^[4]对其进行了修正.Xiong等^[5]采用FEM方法，得出轧件形状参数和轧制力矩变化规律.Yun等^[6]建立了抽象的狗骨数学模型(里面包含多个未知参量)，最终通过FEM模拟拟合轧制力和形状参数的表达式，并没有得到解析解.这些模型通过回归拟合物理模拟或FEM模拟的数据得到的，大多忽略了摩擦因子的影响，目前还没有关于立轧狗骨解析模型的详细报道.

本文首次建立了立轧对称-反对称抛物线狗骨函数模型和运动许可速度场，通过上界定理得出立轧总功率泛函和轧制力解析解，并与FEM模拟、其他模型和现场实测值进行对比分析.

设立辊半径为R，轧件的初始厚度为2h₀，宽度由2W₀减小到2W_E，单侧压下量ΔW=W₀－W_E，l为变形区接触弧在轧制方向上的投影长度，θ为咬入角，θ=sin^-1(l/R)，α为接触角，轧件入口速度v₀=v_Rcosθ.x为轧制方向，y为轧件厚度方向，z为宽度方向(图 1，图 2)，2W_x为变形区中轧件的宽度，，则轧件半宽变化量为ΔW_x=W₀－W_x.根据立轧变形区的对称性，选取轧件的1/4为研究对象.

图 1 (Figure 1)

Fig. 1

图 1 立轧咬入区示意图 Fig. 1 Definition sketch of the bite zone in vertical rolling

通过对立轧实际生产过程的研究以及有限元模拟，提出了具有对称和反对称性质的抛物线狗骨函数模型，如图 2所示.

图 2 (Figure 2)

Fig. 2

图 2 反对称抛物线狗骨模型示意图 Fig. 2 Sketch of anti-symmetric parabola dog-bone profile

为描述轧的半厚度h(x,z)，将咬入区沿宽分为骨茎区Ⅰ、过渡区Ⅱ和骨头区Ⅲ3部分，为方便建立模型，设定Ⅲ区宽度是Ⅱ区的2倍，并将Ⅱ区与Ⅲ区均分长为A_x三部分(A_x为狗骨截面宽度参数)：

由式(1)得W_x－3A_x=W_E－3A，出口处(x=l)A_l=A，入口处(x=0)A₀=ΔW/3+A.

在骨茎区Ⅰ(0<z<W_x－3A_x)，半厚度为

在过渡区Ⅱ(W_x－3A_xx－2A_x)，半厚度为

在骨头区Ⅲ(W_x－2A_x<z<W_x)，半厚度为

式中，D_x为厚度参数(将厚度凸起处均分为D_x两部分).由式(3)，式(4)可以看出，Ⅲ区狗骨函数是关于z=W_x－A_x对称的抛物线，Ⅱ区与Ⅲ区的左半部分是关于z=W_x－2A_x呈反对称的抛物线.Ⅰ区为刚性区，立轧时未变形；Ⅱ区和Ⅲ区为塑性区.狗骨峰值厚度为h_bx=h₀+2D_x，与辊接触狗骨厚度为h_rx=h₀+D_x.

从文献^{[6, 7]}可知，立轧时轧制方向上的速度变化很小，已假设为平面变形过程.轧制方向各个横截面满足体积不变条件：

将式(5)代入式(3)，式(4)可得

得到对称-反对称抛物线狗骨模型厚度参数的表达式.经验证，该模型满足边界条件.

通过求解变形区总功率泛函的最小值来确定A值.

前面已假设立轧为平面变形，应力与应变状态见图 2，根据边界条件，建立立轧变形区速度场:

经验证，式(7)是满足运动许可条件的速度场.

若不考虑变形区前后张应力的作用，使用刚塑性第一变分原理，则相应的总功率泛函为

式中，，，分别为内部塑性变形功率、摩擦功率和剪切功率.

本文采用考虑中间主应力影响并逼近Mises准则的EA(等面积)线性屈服准则来求解内部变形功率.EA屈服准则已在平轧^[8]和断裂力学裂尖塑性区解析^[9]等诸多领域获得应用.由该准则可以得出单位体积的比塑性功率为

式中σ_s为材料的变形抗力，则内部变形功为

注意到，，代入式(2)~式(4)可得

根据速度场可知，在入口处(x =0)存在速度不连续面，速度不连续量为

屈服剪切应力，为了计算方便，将入口塑性区分为图 3上下两个部分，则剪切功率

图 3 (Figure 3)

Fig. 3

图 3 入口横断面图 Fig. 3 The cross-section drawing of the entrance section

求解式(17),式(18)，并代入式(16)可得

Ⅰ区和Ⅱ区分界面上的剪切功率为

摩擦力作用在轧件与立辊接触面上(z=W_x)：

轧件与立辊的相对速度为

在积分区域上采用中值定理求Δvt,h_r和v_y的平均值.

摩擦剪切应力τ_f=mk，m为常摩擦因子.注意到τ_f与为共线矢量^[10].

将式(14)，(19)，(20)和(26)代入式(8)可得到变形区总功率泛函：

将J^*对任意的A求导，并令其等于零，可解得A值.

将A值代入式(27)可以得到总功率的最小值J^*_min.设M为轧制力矩，ω为立辊转速，P为单位厚度和宽度上的轧制力，则有如下关系^[10]：

式中,χ为力臂系数，则可以求得轧制力P.

结合某厂设备和工艺参数，2W₀=900~1500mm，2h₀=150~300mm，R=525~600mm，ω=2~6rad/s，m=0.6，得到取不同的减宽率ε_z=ΔW/W₀，轧件半厚度h₀和立辊半径R时轧制力P的变化，并与Yun^[6]模型进行比较，见图 4~图 6.从图中可以看出本文模型计算得到的轧制力与FEM仿真的误差很小，在3%以内；与Yun的模型预测值误差小于6.3%.此外，本文中给出总功率泛函的解析式，可以更快地得到不同生产条件下的力能参数.

图 4 (Figure 4)

Fig. 4

图 4 不同减宽率εz对应的轧制力P Fig. 4 The corresponding rolling forces P of different width reduction ratios εz

图 5 (Figure 5)

Fig. 5

图 5 不同轧件半厚度h0对应的轧制力P Fig. 5 The corresponding rolling forces P of various plate half thicknesses h0

图 6 (Figure 6)

Fig. 6

图 6 不同立辊半径R对应的轧制力P Fig. 6 The corresponding rolling forces P of different vertical roll radii R

图 4中轧制力随着减宽率ε_z增加显著增加，这是由于ΔW增加，变形区向中心渗透，变形金属增加，轧制力增加.图 5为不同h对应的轧制力，随着轧件初始厚度的增加，轧件与立辊接触面积和变形区体积增加，则轧制力增加.图 6为R对轧制力的影响，当立辊半径增加时，立辊与轧件接触区域弧长和面积增加，塑性变形区增加，所以轧制力增加.

选取现场某道次工艺参数，采用本文模型计算得到轧制力与现场通过压头测得轧制力随时间变化曲线进行对比，见图 7.由于采用上界法，本文模型预测的轧制力(880kN)比现场实测平均值(831kN)略大.采用图 7数据采样方法，分别计算和统计100次变换钢种和规格后，模型预报值与实测值比较，如图 8中▲所示，预报值最大误差不超过10%，因此本文模型可以满足现场粗轧立辊轧制力设定值的精度.

图 7 (Figure 7)

Fig. 7

图 7 预测轧制力与现场实测值对比 Fig. 7 Comparison of rolling force between prediction and measured value

图 8 (Figure 8)

Fig. 8

图 8 轧制力预报值的比较 Fig. 8 Comparison of predicted and actual rolling forces

选取图 9工艺参数，代入对称-反对称抛物线模型式(2)~式(4)中得到轧件出口处的轮廓线，并与FEM仿真、Yun^[6]和Okado^[2]的模型对比.从图中可以看出，本文狗骨模型计算得到的半厚度值与FEM仿真结果的偏差很小，在2.7%以内；与Yun和Okado的模型预测值的偏差较大，但在9.5%以内，这是由于本文模型考虑到轧件宽厚比大、变形区小的特点，FEM仿真也验证了这一点.此外，本文狗骨模型给出轧件变形过程中整个断面完整轮廓线的函数表达式，而Yun和Okado的模型只给出了某些狗骨参数(h_rl和h_bl等)的表达式，所以本文模型可以更完整、更容易得到不同生产条件下的狗骨断面形状及其参数，普适性广.

图 9 (Figure 9)

Fig. 9

图 9 狗骨形状预测值的比较 Fig. 9 Comparison of predicted values of dog-bone shapes under different models

1) 根据体积不变原理首次提出立轧对称-反对称抛物线狗骨模型，给出狗骨轮廓线完整的数学表达式，对应的轧件厚度解析结果与FEM仿真结果吻合很好，与Yun和Okado模型计算结果的偏差在9.5%以内.

2) 利用刚塑性第一变分原理，采用EA准则求得内部塑性变形功率，最终得出的总功率泛函和轧制力解析解.轧制力解析结果与FEM仿真值和Yun模型吻合良好.

3) 得到预测立轧力能和形状参数的表达式，易于求解不同生产条件下参数，预测精度良好，为制定合理的轧制规程和计算机控制提供可靠的依据.