控制系统极点在复平面上的分布决定了系统的动力学特征，通过极点配置可以提高系统的鲁棒性.针对鲁棒极点配置问题，文献^[1]提出通过极小化特征向量矩阵谱条件数的方法实现状态反馈鲁棒极点配置问题.文献^{[2, 3]}中分别采用Newton方法和线性矩阵不等式(LMI)方法优化条件数.由于条件数具有非凸性，以上方法不能保证达到全局最优. 文献^[4]提出采用递归神经网络(RNN)方法解决鲁棒极点配置问题，虽然该方法得到了较好的结果，但需要转换成拟凸问题处理.

和声搜索(HS)算法是由Geem等^[5]提出的一种启发式优化算法.HS算法提出后受到人们的注意，不断地改进^{[6, 7]}，并且得到广泛的应用^{[8, 9]}.但HS及其改进算法仍存在着进一步提高寻优精度，解决陷入局部最优等问题.

本文首先提出了改进的全局和声搜索(IGHS)算法，通过修正位置更新操作提高算法的寻优精度.然后将IGHS算法应用于线性系统鲁棒极点配置中.对于条件数，可以直接进行非凸问题的优化计算，避免了拟凸转化.仿真结果验证了本文方法的有效性.

NGHS算法排除了HS算法中和声记忆库考虑概率HMCR、基音调整概率PAR和基音调整步长bw三个参数.引入了位置更新和变异操作.

NGHS中位置更新操作如式(1)和式(2)所示：

在NGHS算法中，位置更新操作能够提高算法的收敛性，但容易陷入局部最优.虽然通过变异操作增加了种群的多样性，但不利于对局部信息的开发.因此本文对NGHS算法进行了改进.

在新算法中重新引入HMCR，对于决策对称点 x _R的选取执行不同的操作，从而实现位置更新.以概率HMCR保留原算法中对称点 x _R的选取操作，即式(1).为了不降低新算法的收敛速度，其中概率HMCR取较大的值，用于保持原算法位置更新收敛快的特性，这样可以使新和声以较大的概率向当前最优和声逼近.以1-HMCR的概率执行新的选取对称点 x _R操作：

根据式(2)可知，在1-HMCR的概率下引入式(4)的操作后，使新和声以较小的步长进行局部信息精细的搜索，这样有利于对解空间的局部信息开发，有利于提高搜寻精度，避免陷入局部最优.

在IGHS算法中重新引入HMCR，与其他HS及其改进算法不同，它只用于考虑 x _j^worst关于 x _j^best的对称位置 x _R的选取.

IGHS算法的具体描述如下：

步骤1 初始化参数.设置和声记忆库大小HMS，最大迭代次数J，HMCR和基因变异率p_m.

步骤2 初始化和声记忆库HM.确定范围[x_j ^L,x _j^U] ，随机产生HMS个和声向量存入和声库HM中.

步骤3 即兴创作产生新的和声向量.

步骤4 更新和声记忆库.用新和声更新和声记忆库中的最差和声.

步骤5 判断终止准则.如果当前迭代次数等于最大迭代次数J，则终止运行IGHS算法，否则重复执行步骤3和步骤4.

在IGHS算法中，参数HMCR取值较大可以提高算法的收敛性；反之可以增加和声记忆库多样性，但影响算法收敛速度.通过仿真实验，当参数HMCR≥0.9时，算法具有较好的寻优性能.

为验证IGHS 算法的性能，本文将其与HS^[6]，SGHS^[7]和NGHS^[8]算法进行对比实验.选取文献^[8]中的5个标准测试函数，f₁(Sphere)，f₂(Rosenbrock)，f₃(Rastrigrin)，f₄(Griewank)和f₅ (Ackley)，其最优值均为0.实验中IGHS算法的两个主要参数，HMCR取0.9，基因变异率p_m取值与文献^[8]中相同.其他算法用到的参数均选择参考文献中的最优设置值，具体设置如表 1所示.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 算法参数设置 Table 1 The parameter setting for algorithms 参数 HS SGHS NGHS IGHS HMS 5 5 5 5 J 60000 60000 60000 60000 HMCR 0.95 0.95 - 0.9 PAR 0.33 - - - PARm - 0.3 - - bwmin - 0.0005 - - bwmax - ( xi U- xi L )/10 - - pm - - 0.005 0.005

表1 算法参数设置 Table 1 The parameter setting for algorithms

实验中变量空间取30维，每种算法独立运行30次，分别用B代表最优值，M代表平均值，W代表最差值，S代表方差，测试结果如表 2所示.

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 测试结果 Table 2 The test results 函数 指标 HS SGHS NGHS IGHS f1 B 1.11e-01 6.12e-10 4.95e-18 2.06e-29 W 1.16e+00 4.39e-03 2.70e-15 2.34e-27 M 5.84e-01 1.85e-04 2.93e-16 9.04e-28 S 3.02e-01 8.21e-04 5.24e-16 7.47e-28 f2 B 2.20e+02 1.95e+01 1.55e-01 2.45e01 W 1.01e+04 5.51e+03 6.81e+03 2.50e01 M 1.09e+03 5.06e+02 8.72e+02 2.48e01 S 2.07e+03 1.35e+03 2.07e+3 1.52e-1 f3 B 1.98e-04 6.42e-08 1.78e-15 0 W 9.95e-01 9.95e-01 3.49e-11 0 M 1.34e-01 1.66e-01 1.30e-12 0 S 3.44e-01 3.77e-01 6.35e-12 0 f4 B 5.23e-01 6.05e-03 2.22e-16 0 W 1.01e+00 1.47e-01 2.27e-01 1.23e-2 M 8.00e-01 5.85e-02 6.62e-02 2.21e-3 S 1.39e-01 3.94e-02 5.66e-02 4.71e-3 f5 B 8.49e-04 1.53e-05 1.21e-09 0 W 2.18e-01 4.64e-05 3.82e-08 1.78e-14 M 2.43e-02 2.62e-05 5.11e-09 7.82e-15 S 5.18e-02 6.44e-06 6.64e-9 5.24e-15  注：黑体字代表算法优化得到的最好值.

表2 测试结果 Table 2 The test results

由表 2中的数据可以看出，IGHS算法对f₁，f₃，f₄和f₅几个函数优化得到的最优值、最差值、平均值和方差都优于其他几种算法的结果，而且IGHS算法对函数f₃，f₄和f₅都可以得到最优解.虽然IGHS算法对于函数f₂得到最优值稍差于NGHS算法，但所得到的最差值、平均值和方差都优于NGHS和其他几种算法.根据表 2的测试结果可知，在引入新的位置更新策略后，IGHS算法的寻优效果得到了提升.

考虑线性时不变系统：

如果矩阵 A+BK 的极点(特征值)都具有负实部，则闭环系统(7)渐近稳定.

对于系统(5)和任意给定极点λ₁,λ₂,…,λ_n的极点配置问题，可转化为构造非奇异矩阵 V∈ R ^n×n和状态反馈增益矩阵 K∈ R ^m×n，使下式成立:

由文献^{[1, 10]}可知，对于给定的 Λ，如果存在非奇异矩阵V和K满足式(8)，对矩阵 B进行 QR分解，可有式(9)和式(10)成立：

由于系统(5) 假设是完全可控的，根据式(10)可知，对于每一个极点λ_i(i=1,2,…,n)及其对应的特征向量 v _i满足：

在极点配置时，由式(12)可知，对于给定极点，选取不同的特征向量矩阵 V ，则对应不同的状态反馈增益矩阵 K .当闭环系统存在摄动Δ时，如何选取矩阵 K 使摄动后的系统矩阵 A+ Δ+ BK 仍然保持稳定，则称为鲁棒极点配置问题.

针对鲁棒极点配置问题，文献^[1]提出极小化特征向量矩阵条件数k₂(V)=‖V‖₂‖V^-1‖₂ 的方法，实现鲁棒极点配置.由文献^[1]可知，假设闭环系统 A+BK 稳定，如果摄动Δ的谱范数满足:

其中，Re(λ_j)表示系统极点的实部，则摄动后的系统矩阵 A+ Δ+ BK 仍能保持稳定.若条件数k₂( V )越小，则系统允许摄动的范围越大，从而系统的鲁棒性能就越好.因此鲁棒极点配置问题，转化为下面的优化问题：

本文利用IGHS算法解决鲁棒极点配置问题，此方法具有两大优势：一是在求解条件数时不需要进行拟凸转化；二是利用性能优良的启发式优化算法寻优.

鲁棒极点配置的具体操作步骤如下：

步骤1 对控制矩阵 B 根据式(9)做QR分解，确定 U₀ ，U₁和Z ；

步骤2 求解式(11)，确定λ_i对应的基础解系，由基础解系生成标准正交基(ε₁,ε₂,…,ε_m)_{(i=1,2,… ,n)}；

步骤3 初始化参数HMS，J，HMCR，p_m和[ x_j ^L,x_j ^U]；

步骤4 依据IGHS算法优化求解min k₂( V )；

步骤5 根据步骤4中min k₂( V )对应的特征向量矩阵 V，确定状态反馈增益矩阵K.

实验1

将本文方法与Method1法^[1]，Newton法^[2]，LMI法^[3]和RNN法^[5]对比实验.优化对象为文献^{[1, 5]}中采用的化学反应模型，其系数矩阵为

系统的极点为1.911，6.351×10^-2，-5.057，-8.666，显然系统是不稳定的.为了使系统稳定，需要通过反馈进行极点配置.为方便对比，取期望极点为(-0.2,-0.5,-5.0566,-0.232)，与文献^[5]中相同.

实验中[x_j^L,x_j^U]在( -R,R )上任意取，IGHS算法中参数与前文相同，迭代5000次，独立运行30次.得到的最优结果为条件数等于3.1588，对应的状态反馈增益矩阵 K₁ 为

仿真对比实验结果，具体如表 3所示.

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 对比实验结果 Table 3 Comparisons of simulation results 指标 Method1 Newton LMI RNN 本文 k2( V ) 3.3200 3.3500 3.2665 3.1600 3.1588 ‖K‖ 2 1.3962 1.4600 - 1.3235 1.3167 ‖K‖ F 1.4003 - - 1.3448 1.3399

表3 对比实验结果 Table 3 Comparisons of simulation results

通过表 3可以看出，采用本文方法得到的条件数最小，明显优于Method1，Newton和LMI方法的结果，虽然略优RNN方法的结果，但不需要对条件数进行拟凸转化，而且所得反馈矩阵的范数较小.

实验2

在实验1中，文献^[5]得到的条件数值与本文采用IGHS算法得到的结果最为接近.为了进一步检测本文方法的有效性，下面进行相应两个闭环系统的鲁棒性能对比测试.

文献^[5]所得到的状态反馈增益矩阵 K₂ 为

假设系统的初始状态为 x ₀=[1, 3, 3, 4]^T，选取状态反馈K₁ x 和K₂ x ，在系统矩阵 A 无摄动，有摄动Δ₁=-0.01 A 和Δ2=0.01 A ^T三种情况下，系统的零输入状态响应分别如图 1和图 2所示.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图1 本文方法对应的零输入状态响应 Fig. 1 Response to initial conditions in this paper

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图2 文献[5]方法对应的零输入状态响应 Fig. 2 esponse to initial conditions in literature [5]

通过图 1和图 2可以看出，文献^[5]中所得到的闭环系统的零输入响应抖动较大，收敛速度较慢；本文所得到的闭环 系统的零输入响应抖动较小，而且收敛速度相对较快，具有更好的鲁棒性.

5 结 语

本文针对NGHS算法因位置更新操作导致过早收敛，容易陷入局部最优的问题，给出了新的位置更新策略，提出的IGHS算法增强了算法开发解空间局部信息的能力，避免了算法因收敛过快而陷入局部最优的不足.

将所提出算法应用于线性系统鲁棒极点配置问题中，解决了以往条件数优化计算中需要凸转化处理的不足.仿真实验表明，利用本文方法所得到的条件数明显优于Method1，Newton和LMI方法.从条件数值和反馈增益矩阵的范数来看，本文方法也略优于RNN方法，同时反馈后的闭环系统具有更好的鲁棒性.