转子系统是燃汽轮机、航空发动机、压缩机等旋转机械的重要组成部分，其动力学特性一直是国内外学者研究的热点^[1].对转子系统动力学特性的研究方法通常主要有理论解析、数值仿真和实验验证^{[2, 3]}.其中，理论解析需要接受各种假设，而数值仿真则要简化物理模型、忽略次要因素和假定边界条件等，因此仅靠理论解析和数值仿真不能完全解决实际工程问题，必须结合实验研究.然而，由于几何尺寸、物理空间及实验成本等因素的限制，直接对原型转子系统进行实验存在许多困难，因此对转子系统进行动力学相似研究及实验模型的相似设计十分重要.

关于转子类结构动力学相似实验模型设计的研究，学者们做了很多工作.王铮等利用相似原理，建立了固体火箭发动机的动力相似模型，进行了相似模型和原型的有限元计算对比^[4].胡培民对完全几何相似转子系统的弯曲振动响应进行了分析，并分析了支撑刚度在转子弯曲振动中的相似律^[5].丁毅等针对部件特性数据缺乏的情况下如何对燃汽轮机进行建模的问题，提出了基于相似理论的建模方法，并对目标机组的特性数据提出了一系列修正措施^[6].Young针对自适应复合材料船用发动机转子推导了动力学相似关系，建立转子叶片的实体模型和相似模型，并用有限元法验证相似关系的正确性^[7].Wu建立了完全相似的实验模型，通过有限元仿真对相似模型的固有频率和径向位移的相似关系进行了验证^[8].殷杰等采用量纲分析法对燃汽轮机拉杆转子进行相似研究，推导了畸变补偿模型与原型动力学特性畸变的相似准则^[9].

由此可见，所设计的模型转子系统大多为完全几何相似模型，由于尺寸的减小会使固有频率增加，不利于模态实验研究，并且在设计的过程中未考虑轴承刚度的影响.为弥补以上缺陷，本文基于振动方程，在充分考虑轴承刚度的基础上，结合积分模拟法和量纲分析法，提出一种实验模型与原型轴承-转子系统的固有特性一致的缩尺几何畸变模型，给出了仿真和实验验证.

如图 1所示的转子系统，为便于说明，设转子系统由转轴、转盘和轴承等组成.建立坐标系oxyz，其中，坐标原点o为转轴的左支承点，x轴为转轴的中心线方向，y轴为垂直于轴中心线向外，z轴为转轴的径向方向.L为转盘的宽度，D为转盘的外径，d为转轴直径，ω_r为系统的转速.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图1 转子系统结构简图 Fig. 1 The structure diagram of the rotor system

转子系统的振动方程为

并且有轴中心线的倾角α和法向应力σ的表达式为

将积分模拟法运用到式(1)，式(3)中，得到系统相似的π群为

将式(5)中各个变量的因次代入到式(4)中得到：

根据π定理，为了满足原型转子系统和模型转子系统动力学相似，必须保证相对应的π值相等.在进行动力学相似设计时，取转轴的E,d,l,ρ作为设计参数，根据式(5)和式(6)，建立转轴变量的相似比：

根据式(6)推导得盘的转动惯量相似比λ_Jp=λ_ρλ²_dλ³_l，并使盘与轴的质量同步变化，即λ_G=λ_G′，G′为盘的质量.根据λ_Jp = λ_ρλ²_dλ³_l，λ_G=λ_G′，推导出盘的尺寸参数相似比：

式中，h为原型盘内径和外径的比值.

根据量纲分析理论，对某些变量的相似比进行组合，可得到所需变量的相似比.由于满足动力学相似，则转子系统和轴承系统中作用力的比例相同，根据刚度公式k=m₁f²及质量m₁的相似比λ_m1 = λ_mλ_l=λ_ρλ²_dλ_l、固有频率f的相似比λ_f= λ_d λ_E λ²_l λ_ρ ，得到轴承支承刚度k的相似比λ_k= λ⁴_dλ_E λ³_l .

如图 1所示的转子系统，两端为轴承支撑，假定轴承的支撑刚度k_p=3×10⁷N/m， 长度依次为42,40,535,40,535,47mm,直径依次为24,34,38,200,38,34mm.

选取模型和原型采用相同的材料，均采用45^#钢，材料的弹性模量为2.09×10¹¹Pa，泊松比为0.3，密度为7850kg/m³.

设计满足λ_ω=1的相似模型，取径向相似比λ_d=0.5，则轴向相似比λ_l=0.707.其余几何参数的相似比均可由式(7)，式(9)得到，建立的模型长度依次为30,28,378,16,378,33mm，直径依次为12,17,19,134,19,17mm.

根据原型轴承-转子系统中轴承的刚度值k_P=3.00×10⁷N/m及轴承支承刚度的相似比λ_k=λ⁴_d λ_E/λ³_l，推导得动力学相似模型中轴承的刚度值k_m=0.53×10⁷N/m.

根据原型和动力学相似模型的尺寸参数及材料参数，在ANSYS中转轴采用Pipe16单元；对转盘，只考虑其质量和转动惯量，采用Mass21单元；轴承采用具有刚度、阻尼、质量矩阵的Matrix27单元，由于轴承阻尼和许多因素有关，并且阻尼的相似比比较复杂，因此不考虑其阻尼的影响，采用无阻尼方法进行模态求解，得到了转子系统的固有频率，通过绘制转子系统的Campbell图提取了临界转速.

通过ANSYS模态分析得到的原型和动力学相似模型的固有频率如表 1所示.

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 原型和模型固有频率对比 Table 1 The contrast of the natural frequencies between the prototype and model 阶数 fp/Hz fm/Hz η/ % 1 36.09 37.16 2.96 2 222.79 229.79 3.14 3 394.00 408.73 3.74 4 650.42 664.85 2.22

表1 原型和模型固有频率对比 Table 1 The contrast of the natural frequencies between the prototype and model

由表 1中前四阶固有频率的对比发现，二者的最大相对偏差为3.74 % ，在可接受范围内，从仿真角度验证了原型和模型固有频率的相似关系的正确性，表明提出的设计方法的正确性.

在ANSYS中，通过绘制原型和动力学相似模型的Campbell图得到的原型和模型的临界转速分别为2165，2228r/min，相对偏差为2.91 % .表明用所设计的动力学相似模型可以准确预测原型的临界转速.

在实验台的搭建中，应该选择刚度值严格遵循相似关系的两个轴承，但轴承刚度与油膜及间隙等因素有关，很难保证准确的刚度值^[10].因此选取了2个型号相同的轴承，通过实验测得的固有频率和ANSYS仿真得到的固有频率进行对比，来修正在ANSYS仿真中预先给定的支撑刚度值，使实验测得的固有频率和仿真所得的频率的相对误差在允许范围内.

用LMS振动测试系统对原型和模型固有频率进行测试时，采用多点激励、单点响应的锤击法来测得系统的弯曲固有频率;为了测得其弯曲固有频率，加速度传感器垂直放置;为了保证力脉冲信号的足够宽度，使用带橡胶弹性冲击垫的力锤，并且在与加速度传感器相反的方向进行激振，进而获得固有频率.

对原型和模型临界转速的测试，由于电动机转速的限制，仅测其第一阶临界转速.对原型和模型转子系统，逐渐提高转子系统转速，用电涡流位移传感器测量转子系统同一位置的振动幅值.在转速不断提高的过程中，振动幅值越来越大，当转速达到临界转速时，转子系统会发生共振，此时振动幅值明显增加,因此，振动幅值最大时所对应的转速即为该转子的一阶临界转速.

实验测得的原型和模型的固有频率如表 2所示.

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 原型和模型固有频率对比 Table 2 The contrast of the natural frequencies between the prototype and model 阶数 fp/Hz fm/Hz η 1 35.63 34.94 1.94 % 2 213.61 213.77 0.07 % 3 365.03 380.99 4.37 % 4 570.94 616.53 7.99 %

表2 原型和模型固有频率对比 Table 2 The contrast of the natural frequencies between the prototype and model

通过表 2中前四阶固有频率的对比可知，二者最大相对偏差为7.99 % ，随着阶数的增加，相对偏差有变大的趋势，但在偏差允许范围内.从实验角度验证了固有频率相似关系的正确性，证明了所提出的设计方法的合理性.

实验测得的原型和模型固有频率与仿真对比如表 3所示.从表中可知，相对偏差的最大值为9.45 % ，在允许的范围内，表明预先给定的轴承刚度值接近于实际的刚度值，不需要再对刚度值进行修正.

通过实验测得的原型和模型的临界转速分别为2128，2100r/min，预测相对偏差为1.31 % ，在偏差允许的范围内，验证了相似关系的正确性.

表3

Table 3

表3(Table 3)

表3 固有频率的实验与仿真对比 Table 3 The contrast of natural frequencies between the experiment and simulation Hz 阶数 原型仿真 原型实验 相对偏差/ % 模型仿真 模型实验 相对偏差/ % 1 36.09 35.63 1.29 37.16 34.94 5.97 2 222.79 213.61 4.12 229.79 213.77 6.97 3 394.00 365.03 7.35 408.73 380.99 6.79 4 650.42 588.94 9.45 664.85 616.53 7.27

表3 固有频率的实验与仿真对比 Table 3 The contrast of natural frequencies between the experiment and simulation Hz

1) 通过ANSYS模态分析和锤击实验验证了所提出的实验模型与原型轴承-转子系统的固有特性一致的缩尺几何畸变模型设计方法的正确性.

2) 轴承支撑刚度会对固有频率产生影响，在对转子系统进行动力学相似设计时不能忽略轴承刚度的影响，应该对轴承支撑刚度进行相似化设计.

3) 原型和模型转子系统的实验分析可测得比较精确的固有频率和临界转速等，可用模态实验结果去指导有限元理论模型的修正，使计算模型更加完善.