可靠控制是将系统部件(执行器和传感器) 可能发生的故障考虑在控制器设计过程中,设计可靠控制器可使闭环系统无论部件是否出现故障都能保持渐近稳定性且满足一定的性能指标^{[1, 2, 3]}.

自从Markovian跳变系统作为一类特殊的混杂系统被提出以来，就成为广大学者研究的热点之一.Markovian跳变系统的各个子系统按照一定的Markovian规则进行切换,并且取得了很多有意义的成果^{[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]},其中文献^{[4, 5, 6, 7, 8]}考虑的是Markovian跳变系统转移概率全部已知的情况.事实上，Markovian跳变系统的转移概率很难精确得到，仅仅得到其估计值或者部分概率^{[9, 10, 11, 12, 13, 14]}.文献^[9]研究的就是Markovian跳变系统转移概率部分未知的情况下系统的稳定性和镇定性问题.Markovian跳变系统转移概率部分未知的问题研究成为近年来学术界研究的热点问题.

本文针对执行器故障和概率转移矩阵部分未知的情况，研究了离散Markovian跳变系统的可靠控制问题.目的是设计一个状态反馈可靠控制器，不仅使得闭环系统在无故障的时候是随机稳定的，而且在执行器出现故障的时候还能使得闭环系统是随机稳定的.

给定概率空间(Ω, )，考虑如下一类离散的Markovian跳变系统：

如果转移矩阵中有部分转移概率不能够得到,此时,转移矩阵中有一些元素是未知的,例如，

在一些文章中转移概率矩阵一般都是已知的或者完全未知的.在文献^[11]中的转移矩阵是部分未知的，本文转移概率矩阵部分未知所用的方法是文献^[11]的形式.

定义1 当 u (k)≡0时，称系统(1)是随机稳定的，如果

引理1 设 R₁,R₂ 为适维常值矩阵,Σ 为时变适维矩阵,|Σ|≤U,U 为正定对角矩阵,则

引理 2 Schur补：对于给定的对称矩阵

1) Ξ<0.

2) Ξ₁₁<0,Ξ₂₂－Ξ₂₁Ξ₁₁^－1Ξ₁₂<0.

3) Ξ₂₂<0,Ξ₁₁－Ξ₁₂Ξ₂₂^－1Ξ₂₁<0.

引理3 当u(t)≡0时，称系统(1)是随机稳定的，当且仅当存在正定矩阵P_i,i∈ l ,使得

引理4 当u(t)≡0时，称转移概率矩阵部分未知的系统(1)是随机稳定的，如果，存在正定矩阵P_i,i∈ l ,使得

给定概率空间(Ω, )，考虑如下一类离散的Markovian跳变系统：

反馈控制律为u(k)=K(r_t)x(k).执行器增益故障模型为

则相应的闭环系统为

引进如下符号：

定理1 称转移概率矩阵部分未知的闭环系统(2)是随机稳定的，如果存在正定矩阵P_i> 0 ，i∈ l ，使得

那么，所设计的随机可靠控制器为u(k)=K(r_t)x(k).

证明 根据闭环系统(2)，用(A_i+B_iM_iK_i)代替引理4中的A_i即可以得到式(3).

定理2 称转移概率矩阵部分未知的闭环系统(2)是随机稳定的，如果存在标量ε>0,ζ>0和矩阵 X_i>0，Y_i,i∈ l ，使得

那么，所设计的随机可靠控制器为K_i=Y_iX_i^－1.

证明 对于定理1中的两个不等式利用引理3得

考虑二维4模态的离散Markovian跳变系统，参数如下：

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图1 状态响应曲线 Fig. 1 Curves of state response (a)—开环系统； (b)—闭环系统.

本文针对执行器故障和概率转移矩阵部分未知的情况，研究了离散Markovian跳变系统的可靠控制问题.设计一个状态反馈可靠控制器，不仅使得闭环系统在无故障的时候是随机稳定的，而且在执行器出现故障的时候还能使得闭环系统是随机稳定的.