独立分量分析^[1](ICA)是一种有效的盲源分离技术，要求需分离的源信号相互独立，由其发展产生的各种ICA算法^[2]具有重要的理论和应用价值，在语音处理、特征提取^[3]、医学图像处理^[4]、阵列信号处理^[5]、雷达信号处理^[6]等领域得到了广泛的应用.

目前，针对实数信号的全盲和半盲问题已经得到了很好的解决.然而，随着独立分量分析理论的逐渐发展和成熟，在许多ICA的应用领域，都要求直接或者间接地分离复值信号，如盲解卷积问题、脑图像数据分析及功能磁共振成像等，因此将ICA算法逐渐应用到复值信号中已不可避免.

与实数盲分离^{[7, 8]}类似，复数盲分离算法经常采用以下3种代价函数：①采用复数峭度最大化作为代价函数，能达到较好的分离效果，分离误差小，且不需要调节步长参数；②基于复向量不相关特性和复值非线性函数，结合非正则复向量的协方差矩阵和伪协方差矩阵构造代价函数，能充分利用非正则复向量不相关的特性,从混合信号中提取出复值独立分量，获得更多有用的信息量；③利用非圆信号的协方差和伪协方差都为非零对角矩阵的特点，构造代价函数.与强不相关变换算法相比，不需要特征值和奇异值分解，即使信源谱系数相同也能成功分离出复值混合信号，具有结构简单，实时性好及分离误差小等优点.

在本文中，采用复数标准峭度代替复数峭度，得到新的代价函数，并采用修正的复值拟牛顿迭代算法对代价函数进行优化.仿真实验结果表明，改进后的算法具有很好的分离效果，算法的收敛速度及运行时间也得到了相应的改善.

线性瞬时混合模型表达式为

写成向量形式为

其中:x(t)=[x₁(t),x₂(t),…,x_m(t)]^T为m个观测到的复值随机信号;s(t)=[s₁(t),s₂(t),…,s_n(t)]^T为n个相互统计独立的未知复数随机源信号;A是由混合系数{a_ij}组成的混合矩阵.源信号s(t)和混合矩阵A都是未知的，只有混合信号x(t)可以被观测到.

ICA的目标就是寻找一个分离矩阵w，并通过w从观测信号x(t)中恢复出源信号s(t).设输出的分离信号为y(t)=[y₁(t),y₂(t),…,y_m(t)]^T，则分离过程为

其中，输出信号y(t)是源信号s(t)的一个估计，且y(t)的各个分量相互独立.

复数随机变量标准峭度^[9]定义为

其中kurt代表峭度(Kurtosis)，定义为

kurt(y)=E{|y|⁴}－2E{yy^*}E{yy^*}－E{yy}E{y^*y^*}，将kurt定义式代入式(4)中有

如果y是均值为零、实部和虚部互不相关，且方差相等的复数信号，则：

采用式(6)的复数标准峭度最大化作为代价函数：

其中y=w^Hx，w^H是w的共轭转置矩阵.为了使解唯一，将分离矩阵的模限制为1，则

式中，λ为拉格朗日乘子.当式(7)对分离矩阵的共轭矩阵w^*的一阶导数为零时，系统将达到平衡点，此时的解即为要求的解.

本文在文献^[10]的基础上，应用复数标准峭度代替复数峭度来实现复值信号的盲源分离.首先，利用文献^[11]中给出的复数求导方法，计算其一阶导数：

由复值变量二阶求导公式^[12]，进一步计算其二阶导数：

当∂J/∂w^*=0时的解即为要求的分离向量.此时，采用文献^[9]中给出的修正的拟牛顿迭代算法求解.算法表达式：

该算法收敛速度可以达到三阶，将其扩展到复数域，进而有

将式(8)和式(9)带入式(11)中，再经式(12)计算可得

进一步得到

算法的具体实现步骤如下:

1) 对观测信号x进行中心化^[13]；

2) 对观测信号x做白化处理^[13]；

3) 将随机初始值w₀初始化，设收敛误差，0<ε<<1 ;

4) 代价函数对w^*进行求导，得到其一阶、二阶导数；

5) 采用修正的复值拟牛顿迭代算法优化代价函数，最终得到分离矩阵w，即式(15)；

6) 利用得到的分离矩阵w，得到源信号的所有估计y_i，进而输出估计信号Y.

本文所提算法可以很好地分离圆对称复值信号与非圆对称复值信号，如基带传输信号、阵列信号、射频通信信号等.由于篇幅所限，本文源信号选择为易于观察的方形4QAM和方形16QAM信号进行仿真，来验证改进算法的有效性.算法仿真软件采用Matlab软件，其随机产生如下混合矩阵A：

样本数为1000.首先，对观测向量进行预白化处理，再分别用基于峭度的盲分离算法和基于标准峭度的盲分离算法完成仿真实验.两种算法的步长均选为λ=0.005.图 1分别给出了源信号(s₁,s₂)、混合信号(x₁,x₂)以及两种算法得到的分离信号星座图.其中(y₁,y₂)为基于复数峭度算法得到的分离信号，(z₁,z₂)为基于复数标准峭度算法得到的分离信号.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 原始信号及两种算法得到的分离信号星座图 Fig. 1 The original signals and their signals separated with two algorithms

由图 1可以看出，分离后的信号存在幅度的不确定性，即分离信号是源信号的收缩信号，同时存在一定的相位模糊性，但源信号的波形信息被完整地保留下来.在绝大多数问题中，这两种不确定性是可以接受的.由分离结果可以看出，所提出算法具有良好的分离效果.

本文通过计算分离矩阵W和实际混合矩阵A的乘积C=WA与单位矩阵I之间的距离来衡量算法的分离性能，并以此对改进后的算法进行性能分析，即：

其中：c_ij为C=WA的第(i,j)个元素；PI表示算法的分离性能.其值越小，表示分离误差越小，分离的性能越好.在理想情况下，PI=0，表示信号完全分离.

两种算法的PI曲线如图 2所示.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 两种算法PI值对比图 Fig. 2 Compare of two algorithms’PI values

从图 2可以看出，基于复数标准峭度的算法在收敛速度、分离性能两方面均优于基于复数峭度的算法.

为了比较两种算法的运行时间，对两种算法分别进行了8次分离试验，记录每种算法的分离时间，如表 1所示.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 迭代时间的比较 Table 1 Comparison of iteration time s 运算序号 复数峭度算法 复数标准峭度算法 1 4.7563 3.9106 2 4.5260 3.9664 3 4.3512 3.9287 4 4.3732 3.9103 5 4.3423 3.9284 6 4.3092 3.8888 7 4.3254 3.8691 8 4.4995 3.8769 平均时间 4.4354 3.9099

表 1 迭代时间的比较 Table 1 Comparison of iteration time

由表 1可以看出，在8次分离运算中，基于复数标准峭度算法的运行时间普遍比基于复数峭度算法算法的运行时间要少，收敛效率得到了一定程度的提高.

传统的CFICA算法经常采用复数峭度最大化为代价函数，本文用复数标准峭度代替复数峭度作为新的代价函数，采用修正的复值拟牛顿迭代算法对代价函数优化，进而推导出新的分离向量迭代公式.仿真实验证明了改进后的算法具有很好的分离效果，通过比较还可看出，改进后的算法具有更快的收敛速度，更高的收敛效率.