经济物理学和行为金融学的相关研究发现人们在进行跨期决策时需要对远期报酬进行贴现^{[1, 2, 3, 4, 5, 6]}.经典经济理论认为人们是理性决策者，故其时间偏好不会变化，即用指数函数的贴现模型描述贴现率.然而，众多实证研究发现人们的心理贴现率并非常数，而是随时间按照一定规律变化，即瞬时贴现率随时间递减^{[7, 8, 9, 10, 11, 12]}.行为经济学研究将该现象视为预期效用理论的一种衍生理论，称之为动态不一致性或时间不一致性.

为解决关于贴现函数的争论，本文通过对本科生和MBA学生进行实验，测算其对远期报酬的心理贴现价值，然后使用AICc(Akaike information criterion with small sample correction)作为拟合度指标分别测试指数函数、简单双曲线函数、拟双曲线函数以及q指数函数4种贴现函数模型，从中找出最优模型. 在此基础上，对两种测量动态不一致性程度的方法进行比较，从中找出最优方法.

首先选择4种贴现函数作为备选.

1) 指数贴现函数.经典经济学理论假定人们对于不同期限的时间偏好不变，根据Strotz ^[13]提出的观点，若时间偏好在动态上具有一致性，则只能使用指数贴现函数.

2) 简单双曲线贴现函数.越来越多的研究验证了动态不一致性的存在，其中一些使用简单双曲线描述该性质^{[7, 9]}.

3) 拟双曲线贴现函数.拟双曲线函数是另外一种双曲线类的贴现函数.近些年，拟双曲线函数在金融物理学领域备受关注，并被广泛应用于退休及投资决策问题.人们发现其参数的连续变动可以引发消费或储蓄的跳跃变动^{[14, 15, 16]}.

4) q指数贴现函数.q指数函数是非广延热力学中常用的一种变形代数，最早由Tsallis提出，因此也被称为Tsallis统计量^[17].Cajueiro首次将q指数函数引入动态不一致性问题，并定义q指数函数的倒数为q指数贴现函数^[18].

实验研究是行为金融学的主流研究方法，本文借鉴Takahashi ^{[7, 8]}关于贴现函数测试的实验设置.

1) 实验对象.实验对象为某“985”大学的本科生和MBA学生，每组均为26人(男女各13人).其中，MBA学生平均年龄为30.27岁(标准差为4.13岁)； 本科生平均年龄为22.27岁(标准差为0.53岁).Takahashi的实验对象均为其所在学校的本科生，数量与本文接近.为在后文中对两种测量动态不一致性程度的方法进行比较，本文分别对本科生和MBA学生进行实验.

2) 实验过程.实验对象在一个安静房间内与实验老师面对面进行，实验对象被告知将收到一定金额的报酬，该报酬的使用途径由个人自主决定.然后实验对象需要选择报酬支付的方式，其左侧卡片上为即期支付(马上可以得到但金额较少)，其右侧为远期支付(金额固定为1万元人民币，但是需等待一段时间).共有27张不同金额的卡片和8张不同时间的卡片.卡片金额为10 000，9 900，9 600，9 200，8 500，8 000，7 500，7 000，6 500，6 000，5 500，5 000，4 500，4 000，3 500，3 000，2 500，2 000，1 500，1 000，800，600，400，200，100，50和10元.卡片时间为1周，2周，1个月，6个月，1年，5年，25年和30年.

实验老师选择一个滞后时间，然后向实验对象出示即期支付的金额卡片，从10 000元开始，每次出示一张，降序出示直至10元.每次翻卡，实验对象需在即期支付和远期支付之间进行选择，其首次选择远期支付时对应的即期支付金额被记录为其主观贴现价值，即K(D).对每位实验对象，随机按8个时滞分别进行实验.

根据实验收集的原始数据，首先按照MBA和本科生进行分类，然后计算各组实验对象在各个滞后时间的心理贴现价值的均值，最后使用该均值估计4种贴现函数的参数.各贴现模型的参数值以及拟合度AICc见表 1,表 2. AICc= ln[(残差平方和)/N] + (N + k)/(N - k - 2)，其值越小拟合效果越好.其中，N为样本数，k为模型中需要估计的参数数量.由于AICc是参数数量k的减函数，因此适用于本研究中对各贴现模型拟合度的比较(q指数函数和拟双曲线函数贴现模型不会因为参数多而取得天然优势).

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 贴现模型函数的拟合度(AICc) Table 1 Fitness (AICc) of functions of the discount models 函数 q指数 指数 简单双曲线 拟双曲线 MBA 13.05 15.17 14.64 13.89 本科 12.56 15.06 14.35 13.85     注：其中指数函数、简单双曲线函数和拟双曲线函数可以通过线形化处理，通过回归估计其参数；q指数函数无法线形化，故使用非线性估计方法，本文使用Matlab非线性估计，参数初始值设为[1, 1].

表 1 贴现模型函数的拟合度(AICc) Table 1 Fitness (AICc) of functions of the discount models

图 1为按照表 2中4种函数的参数值测得的拟合曲线.图中的圆圈为实验收集的原始数据，4种线型曲线分别表示使用4种贴现函数的拟合曲线.易看出，q指数贴现函数的拟合曲线更贴近原始数据，表明其拟合度优于其他贴现函数，表 1中AICc项也可验证该观点(无论MBA或本科生，q指数贴现函数所对应的AICc值均为最小).

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 MBA和本科生的拟合曲线 Fig. 1 Fitted curves of MBA and undergraduates(a)—MBA； (b)—本科生.

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 贴现模型参数的拟合度(AICc) Table 2 Fitness(AICc) of parameters of the discount models 参数 q指数 指数 简单双曲线 拟双曲线 参数 q rq re rs β δ MBA -1.768 6 0.002 53 0.000 161 0.000 386 0.756 73 0.999 869 本科 -1.803 5 0.002 11 0.000 138 0.000 374 0.789 39 0.999 862     注：其中指数函数、简单双曲线函数和拟双曲线函数可以通过线形化处理，通过回归估计其参数；q指数函数无法线形化，故使用非线性估计方法，本文使用Matlab非线性估计，参数初始值设为[1, 1].

表 2 贴现模型参数的拟合度(AICc) Table 2 Fitness(AICc) of parameters of the discount models

由于q指数贴现函数为最优贴现函数，因此不考虑其他备选贴现函数，仅根据q指数贴现函数分析实验对象的动态不一致性程度.根据q指数贴现函数的定义(式(4))可得其瞬时贴现率DR(D) = -(dK(D)/dD)/K(D)=r_q/(1+r_q(1-q)D).图 2为MBA和本科生的瞬时贴现率曲线，由于两条曲线非常接近且不相交，因此需要一种数量指标或测量方法对动态不一致性的程度进行比较和分析.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2MBA和本科生的瞬时贴现率曲线 Fig. 2 Instantaneous discount rates of MBA and undergraduates

动态不一致性程度即瞬时贴现率的变化率，1-q是用来描述动态不一致性程度的常用指标^{[7, 8, 10]}，1-q越大，动态不一致性程度越高.根据表 1可得，本科生的动态不一致性程度更高.

但也有学者认为1-q仅是对动态不一致性程度的粗略估计，同时也无法反应任何经济含义.一些学者认为动态不一致性是由心理时间的变化规律所引发，因此可依照心理时间理论来推算人们对远期报酬的贴现率^{[20, 21]}.根据对数时间理论(Weber-Fechner law)，心理时间τ可表示为

Prelec^[20]曾提出使用DI(D)= -ln″(θ)/ln′(θ)作为测量动态不一致性程度的指标，其中θ=K(D)/A.根据DR(D)的定义可知，DR(D)=-K′(D)/K(D)= -θ′(D)/θ(D).因此有，DI(D)=-DR′(D)/DR(D).另外，根据DI(D)的定义及式(5)可知:

把式(5)代入式(6)可得:

若把q指数函数代入DI(D)= -DR′(D)/DR (D)可得，

比较式(7)与式(8)可发现，q指数函数实际上隐含了对数时间理论，即当b= r_q(1-q)时，式(7)等于式(8).式(8)为r_q(1-q)的单调增函数，根据表 1可知，MBA学生的动态不一致性程度高于本科生 (MBA学生的r_q(1-q)=0.007 > 本科生的r_q(1-q)=0.005 9)，注意到这一结论与使用1-q作为度量指标的结论刚好相反.根据对数时间理论，q指数贴现函数的动态不一致性程度即等于其瞬时贴现率的变化率，而通过式(8)所得结论即表明MBA学生贴现率的下降速度快于本科生，故MBA学生的动态不一致性程度更高.与1-q相比较，该解释更符合动态不一致性的定义，因此式(8)是测量动态不一致性程度的最优方法.

1) q指数贴现函数是描述远期报酬贴现率的最佳贴现函数.

2) 基于对数时间理论的方法捕获了动态不一致性的本质，是测量动态不一致性程度的最优方法.即对于q指数贴现函数，r_q(1-q)越高，动态不一致性程度越高.