四杆和六杆机构已在军事、航空、工业生产和医疗中有着广泛的应用，而今越来越多的学者关注于单自由度八杆机构的应用并在该领域取得不少成果^{[1, 2]}.八杆机构虽然有着较广的应用范围和较好的机械性能，但是由于八杆机构的设计相对四杆和六杆机构较为困难，从而导致八杆机构在实际应用中并不是十分广泛.有关八杆机构位置综合设计的文献相对较少，其中文献^[3]给出了五位置八杆机构综合方法，通过综合设计出单自由度八杆多功能轮椅.而本文将根据四杆和六杆的四位置解域综合理论^{[4, 5, 6, 7]}，给出单自由度八杆机构的四位置综合设计方法，该方法要求首先给定一个4R开链的4个位置，而后添加3个RR杆综合生成单自由度八杆机构.

由于单自由度机构降低了机构驱动和控制系统的复杂程度以及制造成本，并因只需一个驱动而减轻机械产品的质量.所以本文最终利用文中提出的八杆机构四位置综合方法综合出一个单自由度的机械手指来模拟人的掌骨、近节指骨、中节指骨和远节指骨在抓取东西时的运动. 本文采用的解域综合理论对其他机械产品的设计及多杆机构的综合利用有指导和借鉴意义.

在分析机构设计要求后可以确定4R开链的4个位置.例如，为设计一个能够模拟人类手指抓取物品运动的机械手指，在对机械手指设计要求分析后，确定4R开链的4个位置.其中4R开链的杆a₀a，ab，bc和cp依次代表人的掌骨、近节指骨、中节指骨和远节指骨，而4个位置近似模仿人的手指抓取动作，如图1所示.为综合设计出一个单自由度八杆机构，需依次添加3个RR杆在4R开链上，其中添加的3个RR杆依次为gd，he和b₀f，如图2所示.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 4R开链示意图 Fig. 1 A diagram of a 4R open chain

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 八杆机构和解曲线示意图 Fig. 2 An eight-bar linkage and solution curves

在添加杆gd时，根据杆长不变条件，可以得到下述约束方程^[7]：

或消去式(1)中g点坐标，得到关于铰链点d的方程:

具体的方程推导过程见文献^[7]，本文限于篇幅不再赘述.由于杆gd连接了构件L₂和L₄，并且铰链点g在构件L₂上，因此关于铰链点g的三次曲线称为解曲线24-2.同理把关于铰链点d的解曲线记作解曲线24-4.解曲线24-2和24-4上的点具有一一对应关系.根据机构的设计要求可以确定铰链点g和d的选取范围，如图2所示的实线框分别限定了铰链点g和d的选取范围.根据铰链点的限定范围可以确定解曲线的可行区段，可行区段是由可行点组成的曲线段.如解曲线24-2上的一点g′在铰链点g选取范围之内，且解曲线24-4上与g′对应的点d′也在铰链点d的选取范围之内，则称点g′(d′)为可行点.在得到解曲线24-2和24-4后相继添加杆he和b₀f，根据上述方法可以得到解曲线15-1，15-5，06-0和06-6(机架为L₀).其中为得到解曲线15-1和15-5需在解曲线24-2(24-4)上选择一点确定杆gd，在解曲线24-2 (24-4)上选取不同的点则得到不同的解曲线15-1和15-5，即解曲线15-1和15-5依赖于24-2和24-4.同时，解曲线06-0和06-6依赖于解曲线15-1和15-5.

首先根据铰链点的限定范围和对杆gd的其他设计要求，在解曲线24-2上选择合适的一点，确定杆gd的长度和位置.接着，为确定另外两杆的长度和位置，建立一个表示无穷多解的平面解域，在该解域中任选一点即可确定另外两杆.为了建立平面解域，首先需使解曲线可行区段的点集合向解域坐标轴的坐标值集合进行映射^[6]，其映射准则为①解曲线的方程形式如式(2)或式(3)所示，令x以适当的步长在其铰链点限定范围内连续取值，得到一系列关于y的三次方程；②当关于y的三次方程只有1个实根时将该点归为区段1；③当三次方程存在3个实根，且无重根时，按求得的y值从小到大将这些点依次归为区段1，2，3(存在重根时，将重根算作一个解，依次归为区段1和2).然后再将可行区段中的区段1，2和3依次排列.

构建解域时需将解曲线15-1按上述方法进行映射，并将解曲线15-1的可行区段映射得到的集合作为x轴，选择x轴上不同的x坐标值(即解曲线15-1可行区段上的点)则得到不同的解曲线06-0，而后将解曲线06-0按上述方法映射所得到的集合作为所选x坐标值所对应的y直线.由于解曲线15-1可行区段内的每一点所对应的解曲线06-0不同，故06-0可行段所包含的元素个数不同，进而导致解域的一个边界呈曲线状.其中坐标轴x表示杆he(即铰链点h的x坐标值)，而y轴表示杆b₀f(即铰链点b₀的x坐标值).

根据上节可知解域是由满足给定4个位置要求的机构所形成的一个集合，但是解域中的部分机构因存在回路或分支缺陷而不能连续运动通过给定的4个位置.回路缺陷是指机构在通过给定4个位置过程中出现不得不拆开进行重新装配的情况.分支缺陷是指机构在通过给定4个位置过程中出现死点(奇异位形)的情况.其中分支缺陷虽然不是机构运动的致命缺陷，但当机构运动到死点位置附近时机构的运动性能会很差，且机械效率几乎为零，所以本文将解域中存在分支缺陷的机构视为不可行机构解.确定机构的缺陷判断方法，剔除解域中存在回路和分支缺陷的机构是构建可行解域的关键步骤之一.

多杆机构运动缺陷判断相对四杆机构的运动缺陷判断的研究还不够完善.通过对文献^{[6, 7, 8, 9]}所提出的一些多杆机构运动缺陷判断方法的研究，给出对如图3所示类型的八杆机构四位置运动缺陷的判断方法.具体判断步骤如下：

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 八杆机构示意图 Fig. 3 A diagram of an eight-bar linkage

1) 对基础四杆环路进行运动缺陷判断.因为图3所示八杆机构可以看作由1个四杆机构a₀hfb₀和2个二级杆组age和bcd组成，所以首先应保证基础四杆机构a₀hfb₀在通过给定4个位置时不存在运动缺陷.具体的判断方法如下:①求出位置1时的四杆机构所在回路的运动范围；②判断4个位置的符号是否同号，如果同号则无运动缺陷，反之存在运动缺陷.

2) 对二级杆组进行运动缺陷判断.判断在给定4个位置的的符号是否分别保持同号，不同号则存在运动缺陷，同号则无运动缺陷.通常可以通过列环路方程，而后根据Jacobian矩阵行列式值的符号来进行该步的缺陷判断，但是由于该八杆机构由二级杆组组成，故可以简化为通过叉积的符号来进行缺陷判断.

设计一个单自由度的八杆机械手指，根据人手指抓取物品的运动过程及手指结构，首先确定4R开链的4个位置，如图1所示，其铰链点坐标见表1.而后确定限定铰链点g，d，h，e，b₀，f的铰链点选取范围，见表2.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 4R开链在4个位置的参数 Table 1 Parameters of 4R open chain for 4-positions 位置 a0 a b c p 1 (0.0,0.0) (-100.0,0.0) (-150.0,0.0) (-185.0,0.0) (-210.0,0.0) 2 (0.0,0.0) (-96.59,-25.88) (-132.47,-60.71) (-148.75,-91.69) (-158.36,-114.77) 3 (0.0,0.0) (-86.60,-50.0) (-99.74, -98.24) (-81.62,-128.19) (-62.42,-144.20) 4 (0.0,0.0) (-64.28,-76.60) (-50.44,-124.65) (-15.46,-123.50) (1.78,-105.39)

表 1 4R开链在4个位置的参数 Table 1 Parameters of 4R open chain for 4-positions

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 各铰链点选取范围 Table 2 The range of each joint g d h e b0 f (-140,-15) (-200,-10) (-90,-15) (-140,-15) (-30,-20) (-100,-20) (-100,10) (-150,10) (0,10) (-100,10) (30,20) (0,20)

表 2 各铰链点选取范围 Table 2 The range of each joint

根据前文介绍的RR杆的添加方法及给定参数，首先综合杆gd，得到解曲线24-2和24-4，如图4所示.由解曲线24-2的可行区段可以得到杆gd的杆长随解曲线24-2的可行区段x坐标值的变化图，如图5所示.根据设计要求，gd杆的长度为50 mm左右，故在图5上选择一点A(-125,47)，即gd杆的杆长为47 mm，对应铰链点g的x坐标值为-125.而铰链点g在解曲线24-2上的具体位置为图4上的A点.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 解曲线24-2和24-4 Fig. 4 Solution curves 24-2 and 24-4

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 杆长曲线 Fig. 5 The link length curve

确定杆gd后再综合杆he，得到解曲线15-1和15-5，如图6所示.选择解曲线可行区段内不同的点，综合杆b₀f时可以得到不同的解曲线06-0和06-6.根据前文介绍的解域构建方法，可以得到确定杆gd后的解域，如图7所示.在得到解域后剔除解域中存在运动缺陷的机构，再根据其他附加条件如杆长比(本文l_min/l_max≥0.08)等，得到新的可行解域，如图8所示.在可行解域中任意选择一点K，通过K点确定杆he和杆b₀f，结合之前已经确定的杆gd，便可得到一个单自由度机械手指.由于选择解曲线15-1上不同的点，得到不同的解曲线06-0，且图7和图8中解域的x轴是由图6所示解曲线15-1的唯一一段可行区段映射而得.所以得出该解域具有以下3个特点：①不同的x坐标值所对应的y直线是由不同的解曲线映射得到；②所有的y直线长度不尽相等；③y直线的起始与终止点也不尽相同.因为解域具有以上特点，所以不便标出解域中y轴坐标，而图8中仅标注出x_K=-60所对应的y直线坐标.图8中x_K=-60所对应的直线是由图9中的解曲线06-0映射得到，其中q1x 所代表的数值为图9中q₁的x坐标.具体映射过程为: 根据解曲线(铰链点b0)选取范围，令x_b0以步长0.2从-30连续变化到30，如果三次方程有1个根(即1个x_b0对应1个y_b0)，且点(x<sub>b₀,y_b0)为可行点，则将该点归为区段1，如图9中的[q₁,q₂]段即为区段1的一部分.如果三次方程有2个实根，且x_b0与2个y_b0组成的点都为可行点，则根据y_b0大小依次将这两点归为区段1和区段2，如图中的[r₁,r₂]和[t₁,t₂]分别归为区段1和区段2.依照映射准则解曲线可行区段的区段1由[q₁,q₂]，[r₁,r₂]，[s₁,s₂]组成，区段2由[t₁,t₂]，[u₁,u₂]，[v₁,v₂]组成.最后将区段1和2依次排列，取其x坐标值得出x_K=-60的y直线.图10则表示通过综合在可行解域中选择一点K所得机械手指在给定4R开链所在4个位置的装配构型.当然，通过本文的四位置综合方法得到的机械手指只是满足了一些初步的设计要求，若希望该机械手指真正得到实际应用，还有待进一步研究.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 解曲线15-1和15-5 Fig. 6 Solution curves 15-1 and 15-5

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 解域 Fig. 7 Solution region

图 8(Figure 8)

Fig. 8

图 8 可行解域 Fig. 8 Feasible solution region

图 9(Figure 9)

Fig. 9

图 9 解曲线06-0 Fig. 9 Solution curves 06-0

图 10(Figure 10)

Fig. 10

图 10 机构AK Fig. 10 Mechanism AK

1) 由综合示例可以看出，通过解域综合得到机械手指能较好地模拟人类手指的抓取功能，进而验证了解域综合理论与方法的可行性和正确性.

2) 利用解域综合理论与方法可以将满足设计要求的机构直观地呈现在设计者面前，便于设计者选择，从而有效地降低了八杆机构的设计难度，并缩短了八杆机构机械产品的设计周期.

3) 解域综合理论为八杆机构在实际中得到更广泛的应用奠定了基础.