薄壁类零件广泛应用于航空航天领域，由于其自身刚度低等特点，加工时受力易发生变形从而产生加工误差.本文基于铣削力精确建模对薄壁件铣削过程中由于工艺系统受力产生铣削让刀误差进行研究.在计算铣削力时，本文基于铣削刃离散为微元斜角切削模型^{[1, 2]}.

针对铣削过程刀具受力变形的建模研究，Kops等^[3]利用有限元建模计算刀具各点位移，运算时间较长.Law等^[4]将铣削力简化作用在切深的中间位置，误差较大.Seo^[5]提出将铣刀简化为等效直径的悬臂梁，瞬时铣削力等效为集中力，本文采用此种模型.对于薄板受力变形的研究，国内学者提出较多关于弹性薄板受力变形的位移模式，宋戈^[6]基于薄板对称弯曲提出Rayleigh-Ritz法研究悬臂薄板的挠度.胡自化^[7]提出悬臂板在受移动集中载荷下不对称弯曲变形的位移模式，本文基于此位移模式进行薄板受力变形的建模.除此之外，考虑到铣削过程的随机因素，本文采用基于神经网络的蒙特卡洛方法计算铣削让刀误差，并对其进行数值模拟，预测其概率分布规律.

本文计算立铣刀侧铣过程的铣削力，将铣刀的第m个切削刃离散为微元斜角切削过程^{[1, 2]}，如图 1所示，微元剪切平面的剪切力为

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 铣刀微元示意图 Fig. 1 The schematic diagram of milling cutter infinitesimal

由式(1)得出垂直于剪切平面的法向力为

刀具齿数为K，根据剪切力及法向力与设定坐标轴的角度关系以及微元叠加后导出x，y，z方向的铣削力为

Rayleigh-Ritz法是求解薄板力学问题的一种能量解法，根据最小势能原理，在满足连续和位移边界条件的所有可能位移场中，实际存在的位移应使系统的总势能取最小.

本文针对铣削时单边装夹的情形进行研究，其对应模型如图 2所示，弹性薄板的一边固定，其余三边自由，受到集中载荷F的作用，在板上任意点(x，y)的挠度函数^[7]：

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 薄板受力示意图 Fig. 2 Schematic diagram of the plate under stress

在保证精度的情形下为了计算方便，将式(4)对x展成Taylor级数形式，并取其前5项得到点(x，y)挠度函数：

悬臂薄板弯曲变形的总势能为

要使薄板受力弯曲总势能最小，则需要满足

由式(9)可以求得式(6)中的K值.

立铣侧铣薄板过程中每一个刀齿参与切削时，切削刃与工件的接触线称为切削接触副，其形状是一段或多段三维螺旋曲线，铣削过程中只有刀刃和工件啮合才产生切削力.刀具在切入切出工件的过程可以看作是接触副在切削区由最低点到最高点移动的过程.

如图 3所示，铣削加工过程中，铣刀和工件同时在接触副上受到铣削力F_z的作用，因此两者均发生弹性变形，其初始设计加工切深为a_w，刀具受力后的挠度为ω_t，工件受力后挠度为ω_c，铣削过程产生的总挠度为ω=ω_t+ω_c，即铣削过程的让刀误差，切削厚度变为a_w-ω.由于薄壁切削厚度较小，则刀齿参与切削的最大刃长较小，因此，可将铣削力简化为集中力，作用于切削接触副的起点.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 刀具-工件耦合变形局部示意图 Fig. 3 Local schematic diagram of deformation of cutting tool and artifact coupling

如图 4所示，设某时刻接触副的坐标为(ξ,η)，铣削力为F，接触副运动到点(ξ,η)，则铣刀的悬臂长为l，由文献[5]中方法求得铣刀受力的变形为

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 薄板铣削示意图 Fig. 4 Schematic diagram of the sheet milling

薄板受到F作用后由式(6)得到点(ξ,η)挠度表达式为

铣削力大小与铣削让刀误差是相互反馈影响的，因此，本文考虑工件与铣刀耦合变形引起的加工误差，具体计算的迭代过程如图 5所示.其中， a_wi为前一次迭代的铣削深度.

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 铣削让刀误差迭代计算流程图 Fig. 5 Flowchart of milling cutter error iterative calculation

铣削过程如图 4所示，工件材料为AA7055铝合金，其J-C模型参数^[8]：参考剪切应变率=0.001，材料屈服强度σ_s=571 MPa，材料硬化模量σ_h=184.9 MPa，应变敏感系数ζ=0，热软化指数m=0.733，硬化指数n=0.253，工件初始温度T_r=300 K，工件熔化时温度T_m=826 K，材料弹性模量E_c=71 GPa.工件的尺寸：长a=120 mm，宽b=80 mm，厚t=4 mm.铣刀参数：铣刀直径d_t=12 mm，螺旋角(刃倾角)λ_s=30°，弹性模量E_t=210 GPa.铣削参数：切削速度v=2 m/s，每齿进给量f_t=0.05 mm，铣削厚度a_w= 1 mm，材料泊松比ν=0.3，铣刀直径等效系数e=0.75^[9].

在y=74 mm处，铣削让刀误差在x方向(进给方向)的变化与文献[10]中图 9、文献[7]中图 7.11相比较如图 6所示.在x=60 mm，铣削让刀误差沿y方向(轴线方向)变化与文献[7]中图 7.13相比较如图 7所示.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 进给方向铣削让刀误差与已有文献比较 Fig. 6 Comparison of milling error between this paper and existing literature in feed direction (a)—本文计算结果； (b)—文献[7]中图 7.11;(c)—文献[10]中图 9.

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 进给方向铣削让刀误差与已有文献比较 Fig. 7 Comparison of milling error between this paper and existing literature in axis direction (a)—本文计算图线； (b)—文献[7]中图 7.13.

图 9(Figure 9)

Fig. 9

图 9 铣削让刀误差概率密度 Fig. 9 Probability density of milling error

图 6,图 7中本文计算的误差曲线变化趋势与现有文献相同.本文考虑到薄板刚度随铣削进行而逐渐减小，因此， 计算后图 6的结果显示铣削误差在切出端大于切入端，符合实际.需要说明的是，这里切入端与切出端指接触副移动到工件的边界，则等效载荷的作用点坐标为

实际加工过程中，材料参数、工艺系统参数存在随机性，这些随机参数一般服从正态分布^[11].随机参数机械性能的标准差，在没有大量实验统计数据的情况下可以根据变差系数κ来确定，一般取κ=0.05^[12].

由于铣削让刀误差是各参数的隐式函数，因此采用神经网络方法拟合其近似的显式表达式，随机抽取800组参数样本，采用确定性方法计算出800组让刀误差的最大值.将800组参数作为神经网络的输入，800组铣削让刀误差值作为神经网络的输出进行神经网络训练，反复试验后，取隐层个数为20，此时误差最小.经训练后得出输入与输出的显式表达式.

仿照上述参数抽样法计算100组样本对神经网络拟合的表达式进行测试，其误差如图 8所示，预测误差在±1.5%之间.

图 8(Figure 8)

Fig. 8

图 8 神经网络测试样本误差分布 Fig. 8 The error distribution of neural network test sample

利用蒙特卡洛方法随机抽取10⁵组样本，由上述显式表达式计算输出结果.采用统计直方图求得让刀误差的概率密度如图 9所示，对10⁵组 让刀误差值进行对数正态检验如图 10所示. 可以看出，铣削误差的概率分布接近对数正态分布，由对数正态分布求得让刀误差的均值为0.296 3 mm，与确定性计算的让刀误差0.309 9 mm接近，验证了本文概率统计的可信性，其总体概率分布的分散性体现了实际批量加工时误差的随机性.

图 10(Figure 10)

Fig. 10

图 10 铣削让刀误差对数正态检验 Fig. 10 Lognormal test of milling error

本文基于神经网络数值拟合与蒙特卡洛抽样方法，提出了一种薄壁板铣削让刀误差预测与概率统计分析方法.与现有的确定性计算让刀误差的方法相比，本文所述方法考虑了刀具参数、材料参数、工件参数以及加工工况等随机参数对金属切削的影响，更加符合实际状况.采用本文所述的方法获取铣削加工后表面让刀误差最大值的概率分布特性，对加工工艺设计、加工过程误差补偿，以及加工后产品精度质量评估等都具有重要的参考价值.