叶片是航空发动机中的关键零部件，其制造水平对发动机性能有着至关重要的影响，它的加工技术一直都是研究重点.叶片的制造一般无法一次成型，为获得高精度的叶片表面质量，需要反复磨抛加工.磨抛加工的前提是磨抛加工余量的获取.加工余量的测量计算是必不可少的.在整个叶片制造周期中，叶片测量占相当大的比例，如何提高叶片测量效率是缩短整个叶片制造周期的核心问题.

测量点的选择可以被提炼为一个优化选择曲线特征点的问题.目前特征点的检测大致分为两类：一类是逼近法(多边形逼近^[1]、曲线逼近^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]})；另一类是曲率法.多边形逼近法具有全局最优性，无法保证零件的细节特征.Cheng^[3]依据曲率极值点、支撑域端点选择初始特征点，容易丢失曲率平缓处的信息.Gálvez等^[4]利用全局优化的算法实现点简化，缺点是计算时间长.Li等^[5]考虑曲率的正负变化提取节点，没有考虑逼近误差.Park等^[6]依据曲率对特征点进行提取，曲率的估算准确度不高.周红梅等^[7]通过弧长、曲率信息选取主特征点，根据误差及曲率特性不断增加节点，噪声点对曲线误差影响较大.刘德平等^[8]按照曲率将数据点分不同区域，各区域采用不同的最小距离实现点的精简，保留了细节特征，但是对于点云密度变化过大的数据效果较差.

本文利用叶片截面线的曲率突变性，将其简化为直线和二次曲线，针对性地实现特征点提取.对叶片离散点进行积分运算，根据积分曲线性质，划分叶片离散点曲率平滑(直线)区域与曲率突变(曲线)区域，解决了选取曲率支撑域以及根据曲率与区域性质提取基本特征点的问题.以插值基本特征点B样条曲线逼近原始曲线为手段，以曲线段之间的Hausdorff距离达到预设误差值为目标实现特征点提取.

叶片截面线由叶盆、叶背截线和前、后缘圆弧组成(见图1).利用三坐标测量机测量一条叶片截面线得到离散点p_i(i=1,2,…,n)，采用B样条曲线拟合离散点,

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 叶片截面线组成 Fig. 1 The consist of the blade section curve

将式(1)表达为矩阵形式：

那么，离散数据点与拟合数据点之间的误差为

误差平方和为

离散点拟合问题转化为寻求参数值t，使误差平方和E最小的无约束优化问题.

采用Gauss-Newton^[9]算法求解该优化问题.设定拟合曲线的收敛条件为

当迭代所求的B样条曲线满足式(5)时，完成测量点预处理.

离散点p_i(i=1,2，…，n)做平移变换，使得所有离散点位于第一象限内，进行积分运算:

如图2所示，对积分曲线S进行单调性划分，分割为弧线段S(i)(i=1,2,…,m).每一弧线段S(i)利用直线逼近，逼近直线为L(i)(i=1,2,…,m)，相邻逼近直线的交点为O_(i,i+1)(i=1,2,…,m-1).计算每一弧线段上各点S(i)_(j)(j=1,2,…,l)到其逼近直线L(i)的距离H(i)_(j)，若点S(i)_(k)满足：

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 积分曲线区域划分 Fig. 2 The division of integral curves

则以O_(i,i+1)为圆心，以|S(i)_(k)-O_(i,i+1)|为半径作弧，交直线L(i),L(i+1)于点Y_O(i,i+1)_i,Y_O(i,i+1)i+1.

积分曲线被重新划分AB，BC，CD，DE，EF所标识的弧线段.新弧线段形成求解曲率的支撑域，依据式(8)求解离散点曲率.

弧BC，弧DE确定了积分曲线的圆弧段，弧AB，弧CD，弧EF确定了直线段.位于圆弧段内的离散点，认为其属于一条二次曲线.表征一条二次曲线最少需要3个特征点.位于直线段的离散点，曲线性质近似于直线，对于直线而言，最少需要2个特征点.依据曲率信息、最少特征点个数完成基本特征点的选取.对于前缘和后缘不是圆弧形状的叶片，由于其形状对积分曲线的单调性没有影响，所以不影响基本特征点的选择.

由式(9)可知两曲线段之间的最大距离越小，即d_i=max|L₂-L₁|越小，逼近误差e越小，两曲线的逼近效果越好.

基本特征点的选择已经能大致反映曲线的形状，为提高逼近速度,采用距离法向量最近点对单向Hausdorff距离^[10]计算方法进行改进(见图3).

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 距离计算 Fig. 3 Calculate the distance

在第k个逼近弧段中，根据原始测量点拟合曲线L₂上每一离散数据点p_i(i=1,2,…,m)的切线方向计算其法线F_i,计算插值逼近曲线L₁上离散数据点c_j(j=1,2,…,k)到法线F_i的距离h_ji，满足

选取满足式(10)的点c_c，即距离法向量最近点以及与之相对应的点p_p，判别

叶片两个截面线原始测量点分别为2 401，2 211个.选用截面线1来验证基本特征点选择的合理性.基本特征点提取见图4.图4a为基本特征点(JT)和文献^[7]主特征点(ZT)示意图；图4b中，由插值基本特征点B样条曲线(JN)和插值主特征点B样条曲线(ZN)与原始曲线之间的误差对比可知，基本特征点的选取更加合理.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 截面线1基本特征点提取 Fig. 4 The extraction of basic feature point in section curve 1(a)—初始特征点对比图； (b)—误差对比图.

从压缩率、计算时间、精度三方面分析本文方法的性能.设置误差阀值ε=0.05 mm.表1为本文和文献^[7]的特征点提取结果比较.

由表1可知，本文方法的压缩率与文献^[7]没有显著差异.计算时间分别比文献^[7]缩短57.78%，61.84%.文献^[7]耗时表现在两个方面：①提取特征点有两个标准，分别以曲率和最大误差为标准提取特征点，择优选择所要加入的特征点；②Hausdorff距离的计算非常耗时，尤其在原始测量点非常多的情况下，耗时更加明显.本文只根据最大误差进行特征点提取，并且简化了传统Hausdorff距离的计算方法，实现了特征点的快速提取.逼近误差相比文献^[7]，最大误差分别降低31.46%，24.16%；平均误差降低34.42%，7.56%.文献^[7]相比文献^[5],仅曲率是通过分段曲线拟合得到.文献^[2]相比于文献^[7]，特征点个数有所减少，但是在原始测量点非常多的情况下，整体的压缩率、精度和速度没有显著差异.通过间接对比，本文方法在精度与速度方面相比于文献^{[2, 5]}中的算法也有所提高.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 提取结果比较 Table 1 The comparison of extraction results 提取方法 模型 特征点数 最大误差/mm 平均误差/mm 压缩率/% 计算时间/s 本文 截面线1 30 0.042 7 0.014 1 98.75 114.49 截面线2 27 0.049 6 0.015 9 98.77 93.961 文献[7] 截面线1 21 0.062 3 0.021 5 99.12 271.15 截面线2 27 0.065 4 0.017 2 98.77 246.21

表 1 提取结果比较 Table 1 The comparison of extraction results

采用非接触三坐标测量机测量所提取的特征点，验证实际测量特征点的有效性(见图5).

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 三坐标测量机 Fig. 5 The three coordinate measuring machine

该实验误差产生的主要原因:所选模型为实际模型，会受到叶片表面精度的影响；测量系统误差的影响；人工操作、环境等外界因素的影响.数据预处理阶段存在逼近误差需要调整数据点，数据点的逼近精度也是影响因素之一.图6中仿真误差曲线FZ为插值仿真特征点曲线与原始测量点拟合曲线之间的误差，实验误差曲线SY为插值测量特征点与原始测量点拟合曲线之间的误差.由图6c，图6d误差曲线可知：实验误差最大值发生在仿真误差最大值处；最大误差集中发生在截面线的前后缘处；在前后缘处增加特征点个数，对提高逼近曲线的精度有非常重要的作用；实验误差仍在设定误差范围内.这说明所提取的特征点能够表征原始曲线信息，具有一定的合理性，为提高叶片测量效率奠定基础.

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 实验结果 Fig. 6 The experimental results(a)— 截面线1特征点； (b)—截面线2特征点; (c)—截面线1误差； (d)—截面线2误差.

1) 通过分析叶片截面线构成的特殊性,从宏观角度将叶片截面线重新划分为曲率平滑区域和曲率突变区域.基本特征点的提取综合考虑曲率和区域段曲线性质.这一区域划分使得叶片前、后缘曲线分别向叶片内部延伸，回避了以往提取前、后缘切点可能导致的叶片涡流损失.

2) 针对基本特征点选取只考虑离散点曲率的问题，综合离散点曲率和区域曲线性质实现基本特征点的准确提取，提高基本特征点逼近曲线的精度.计算结果表明，本文方法能够更准确地实现基本特征点的提取.

3) 在Hausdorff距离求解过程中，使用距离法向量最近点去计算Hausdorff距离，解决计算耗时的问题.叶片两个截面线分别从2 401，2 211个离散点降低到30，27个特征点，实现测量点的大幅度压缩和特征点的快速提取.