作为一类混杂系统,随机Markov切换系统由微分(或者差分)方程组、It型随机干扰和Markov过程(或者Markov链)组成.这类系统已被广泛研究,并取得了许多成果^[1].实际中的控制系统,由于某些随机因素的突然变化,可以描述为Markov切换系统,例如经济系统、网络控制系统、容错控制系统等.作为关键性的因素,转移概率决定了Markov切换系统的性能.关于Markov切换系统的分析和综合,大多建立在假设转移概率完全已知的情况下.在实际情况下,由于各种复杂因素,转移概率不可能完全得到.因此,转移概率部分未知的随机Markov切换系统已经成为研究热点^{[2, 3, 4]}.

另一方面,由于物理限制或安全因素的考虑,执行器饱和会出现在实际的控制系统中.由于执行器饱和的存在,会导致系统的性能下降或者闭环系统的不稳定.许多学者对于执行器饱和问题进行了研究，例如线性系统执行器饱和的稳定性分析和控制器设计方法^[5]、吸引域的估计问题^[6].近年来,执行器饱和的Markov切换系统的稳定性分析和控制器设计已有部分文献报道^{[7, 8]}.

跳变和随机理论方面的最新研究成果包括有限时间稳定^[9]、模糊控制^[10]、神经网络^[11]等.通过上面的分析，关于执行器饱和的随机Markov切换系统的观测器设计问题还有待深入的研究.通过采用Lyapunov函数,保证了闭环饱和系统的随机稳定性.在此基础上,设计了基于状态反馈的观测器,并且得到了均方意义下吸引域的估计值.最后,数值算例验证了该方法的有效性.

考虑如下随机Markov切换系统:

g_t为有限集S={1,2,…,N}中取值的连续Markov过程.从t时刻模态i到t+Δt时刻模态j的转移概率:

当i≠j，

转移概率是建立在部分未知情况下的，意味着转移概率矩阵Π=[π_ij]中有一些元素是部分未知的. 对于∀i∈S,Sⁱ=S_kⁱ+Sⁱuk,

S_kⁱ={j:π_ij是已知的，对于任意j∈S}，

S_ukⁱ={j:π_ij是未知的，对于任意j∈S}.

如果Sⁱ≠∅,可以描述为S_kⁱ={k₁ⁱ,k₂ⁱ,…,k_mⁱ},1≤m≤N.其中k_mⁱ∈S代表矩阵Π第i行中序号为k_mⁱ的第m个已知元素.本文构造n维观测器状态:

定义状态估计误差：

对于正定对称矩阵P_i>0，定义椭圆集合

给定一组矩阵F_i,定义多面体集合

ψ(F_i)={ξ(t)∈R²ⁿ:|f_ijξ(t)|≤1,j=1,2,…,m}, f_ij为矩阵F_i的第j行.

引理1^[6]:对于已知矩阵_i，F_i∈R^m×2n，如果ξ(t)∈ψ(F_i),则σ(_iξ(t))可表示为

ψ(F_i)={ξ(t)∈R²ⁿ:|f_ijξ(t)|≤1,j=1,2,…,m}， f_ij为矩阵F_i的第j行.其中U_v表示一个m×m阶对角元素不是1就是0的对角矩阵集.该集合中有2^m个元素，其中每个元素表示为U_v，v=1,2,…,2^m，令 U_v^-=(I－U_v)，如果U_v^-在这个集合内，那么U_v也在这个集合内.

定义

由此可得

基于状态反馈的观测器(3)，可得闭环误差随机Markov切换系统如下：

定义1 在任意的初始模态g₀∈S，初始状态ξ₀∈∂,∂⊂R²ⁿ下,存在一个正的标量参数T(ξ₀,g₀)使得

那么集合∂⊂R²ⁿ被称为随机Markov切换系统(4)均方意义下的吸引域.

定义2^[1] 定义随机Markov饱和切换系统(4)的Lyapunov函数为V(ξ(t),i),其无穷小算子为

首先,考虑随机Markov切换系统(4)的稳定性.

定理1 转移概率部分未知的闭环随机Markov切换系统(4)是随机稳定的,如果存在对称正定矩阵P_i∈R^2n×2n以及对称矩阵Q_i∈R^2n×2n,对于∀i∈S,使得下列不等式成立:

此外,集合∩_i=1^Nζ(P_i)包含闭环系统在均方意义下的吸引域.

证明：对于系统(4),选择Lyapunov函数：

由于,其中Q_i为对称矩阵,则

对∀j∈S_ukⁱ,若i∈S_kⁱ,由条件(6),条件(7)和π_ij≥0(∀i,j∈S,i≠j)可得Π_ij < 0.另一方面,对∀j∈S_ukⁱ,若i∈S_ukⁱ,π_ii=,由条件 (6)~条件(8) 同样可得 Π_ij < 0.所以，

最终

综上所述，转移概率部分未知的随机Markov切换系统(4)是随机稳定的,集合∩_i=1^Nζ(P_i)包含闭环系统在均方意义下的吸引域.证明完毕.

其次,设计基于状态反馈的观测器(3)获得随机Markov切换系统(4)在均方意义下的最大吸引域.对于∩_i=1^Nζ(P_i)的大小由参数χ_R取最大α通过αχ_R⊂∩_i=1^Nζ(P_i)得到.通常取椭球体χ_R={ξ∈R²ⁿ:ξ^TR₁₁ξ≤1,R₁₁>0}.此外,可以解决估计集合∩_i=1^Nζ(P_i)最大值优化问题.

令β=α^-2,X_i=P_i^-1,R_i=F_1iX_1i,

通过Schur补引理,不等式(9)等价于

通过Schur补引理,条件(Ⅰ)等价于

对不等式(6)左乘和右乘X_i，通过Schur补引理,可得

接下来,讨论式(15)的两种不同情况.

情况1 对于i∈S_kⁱ,通过Schur补引理,不等式 (15)等价于

情况2 对于iS_kⁱ,通过Schur补引理,不等式(15)等价于

对不等式(7)左乘和右乘X_i，通过Schur补引理,可得

对不等式(8)左乘和右乘X_i，可得

综上所述,优化问题(12)转变为

若β_min < 1(即α_max>1),那么初始状态是在均方意义下的,并且转移概率部分未知的闭环系统是随机稳定的.此外,状态反馈控制器增益为K_i=Y_iX_1i^－1和观测器增益为H_i= X_1iC_yi^T.

系统的初始状态为x₀=[-0.5 0.4]^T.

观测器的初始状态为x_c0=[0.5 -0.4]^T.

系统的初始模态为g₀=2.

部分未知转移概率矩阵如下：

求解优化问题 (20),可得β=0.824 8,α=1.101 1,状态反馈控制器增益参数和观测器增益参数如下：

图 1为系统模态，图 2为系统和观测器状态轨迹.

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 系统模态 Fig. 1 System mode

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 系统和观测器状态轨迹 Fig. 2 State trajectories of the system and observer

由图可见，所求解的观测器使得初始状态属于ζ(P_i)的系统(4)随机稳定.求解优化问题(20)可得β=0.712 4,α=1.184 8，由此可得完全已知转移概率能扩大饱和吸引域的范围.

本文针对转移概率部分未知的随机Markov饱和切换系统，采用椭圆不变集构造系统均方意义下的稳定域，完成了基于观测器的状态反馈设计.在线性矩阵不等式的框架下，实现了观测器和最大吸引域的求解.最后，数值仿真验证了本文方法的有效性.