振动机械广泛应用于各工业生产部门中，而其工作过程对基础的动态作用力会引起附近建筑物振动，严重影响周围环境，因此有效的隔振是振动机械设计需要解决的关键问题之一^{[1, 2, 3, 4]}.二次隔振及反共振是实现隔振的方法，而且隔振效果取决于系统动力学参数的匹配性^{[5, 6]}.但在振动机工作过程中，随物料参振质量增加，系统动力学参数是变化的，使现有的设计方法很难达到理想隔振效果.另外，在激励一定条件下，振动系统响应振幅是随激励频率比变化的，在振动机工作过程中，随物料参振质量的增加，激励频率比增大.若能利用这一特性，使振动机械响应幅值随参振物料质量增加而增大，可以起到节约能源、提高生产率的作用.但至今国内外尚未发现这方面研究工作.本文主要研究系统动力学参数及参振物料对系统响应幅值及隔振效果的影响规律，进而提出选择振动系统工况点的规则，以使振动机在物料加入后其振幅随给料量增加而增大，且保证隔振指标满足工程要求.

图 1为平面运动双质体振动系统的动力学模型.由工作质体m₁，隔振质体m2以及两偏心转子m₀组成.选择m₁在y方向的运动为y₁，m₂在x和y方向的运动为x₂，y₂，两偏心转子相位角φ₁和φ₂为广义坐标，利用拉格朗日方程得到系统的动力学方程为

图 1(Figure 1)

Fig. 1

图 1 振动系统的动力学模型 Fig. 1 The dynamic model of the vibrating system(a)—振动系统结构图； (b)—振动系统动力学模型

式中：M₁为系统的总质量，M₁=2m₀+m₁+m₂；M₂为隔振质体的总质量，M₂=2m₀+m₂;r为偏心转子半径.

振动系统的稳态响应解为

其中：

由式(2)可知，当系统以0相位差同步运行时，单偏心转子激励引起隔振架运动对基础作用力的幅值为

将隔振架对基础的作用力与y方向单偏心转子激励的幅值比定义为系统对基础的力传递系数.考虑到式(2)中的参数定义，得

对于此类双质体振动机，系统设计目标是在保证工作质体振幅的前提下，尽量减小系统工作过程传递给基础动态激振力.而由式(2)可知，μ_y1为表征工作质体振幅与系统动力学参数相关的特征量，在此定义为系统的特征幅值.

由双自由度振动理论可知，系统两个响应幅值大小与激励频率和系统两个固有频率比相关^{[1, 7]}.可以求得激励频率和系统两个固有频率比与n_y1，n_y2及η₂的关系为

其中，

文献[8, 9]讨论了本系统自同步问题，按照文献理论可知，n_x和n_ψ较大时，容易保证系统同步性能指标.在数值计算中取n_x和n_ψ为4，即可保证两偏心转子0相位差自同步.由于振动机械阻尼比较小，通常取0.07^[10]，因此，影响λ和μ_y1的系统参数为n_y1，n_y2和η₂，在此将其分别称为工作质体频率比、隔振频率比和质量比，工作质体频率比和隔振频率比统称为设计频率比.图 2给出了η₂=0.4时力传递系数和特征幅值随n_y1和n_y2变化的3D图.由图 2可见，力传递系数和特征幅值变化比较复杂，在设计频率比平面上各具有两个脊峰，而且脊峰方向不同，其峰值也是随参数变化.为了进一步分析这种变化产生的机制，图 3给出了力传递系数、特征幅值及两个固有频率比值在设计频率比平面内的等值线分布.由图 3c可见，n₁和n₂随n_y1和n_y2增大而增大.但在设计频率比平面内，n₁和n₂的等值线分别近似以(0,0)和无穷远处为中心的四分之一椭圆，等值线值和其最小曲率半径随其向(0,0)接近而减小.

图 2(Figure 2)

Fig. 2

图 2 η2=0.4时系统参数随ny1和ny2的变化 Fig. 2 Variations of system parameters withny1and ny1when η2=0.4(a)—力传递系数随ny1和ny2的变化； (b)—特征幅值随ny1和ny2的变化.

图 3(Figure 3)

Fig. 3

图 3 系统参数在ny1ny2平面内的等值线图(η2=0.4) Fig. 3 Isolines of system parameters in ny1ny2-plane (η2=0.4)(a)—力传递系数； (b)—特征幅值; (c)—两个固有频率比.

比较图 2和图 3可以看出，力传递系数和特征幅值在3D图中都有一个脊峰，从(0,0.78)点开始，沿固有频率比n₁=1的等值线分布，并随n₁=1等值线偏离n_y2=0.78直线迅速衰减.力传递系数的另一个脊峰则从(4,1.02)开始，沿n₂=1的等值线分布，且随其偏离n_y2=1.02直线而迅速减小；而特征幅值的另一个脊峰则从点(1.31,4)开始，沿n₂=1的等值线分布，并随其偏离n_y1=1.31而衰减.力传递系数与特征幅值的脊峰存在不重合的一个分支，为减小力传递系数、提高特征幅值提供了可行的参数设计空间.图 4给出了η₂=0.7时设计参数平面内λ=0.10，λ=0.15，n₂=1.0，μ_y1=1.0及μ_y1=2.0的等值线.依据图 4可以确定满足工程设计要求、力传递系数小于10%~15%的参数空间，即设计频率比平面在λ=0.10或λ=0.15曲线上部分区域的力传递系数小于 0.1或0.15.另外，当系统物料参振质量增加时，n_y1增大.因此，若系统工作过程参振物料质量达到最大时，动力学参数仍处于n₂=1曲线的ab段或ac段与λ=0.10或λ=0.15围成的设计频率比平面左侧区域，则特征幅值随参振物料增加而增大.影响力传递系数和特征幅值的另一个设计参数是η₂，图 5为不同η₂时特征幅值从n_y2=6起沿n₂=1曲线的变化，而图 6为η₂值对λ=0.10曲线在设计频率比平面分布的影响.由图 5可见，当n_y2=6开始时，n₂=1曲线与n_y1为常数的直线之间斜率相差较小，所以特征幅值μ_y1变化不大，但随着n₂=1曲线斜率偏离n_y1常数直线的斜率，μ_y1值迅速减小.而当η₂=0.7时，μ_y1值略大于η₂=0.6时的值，由此可见，存在0.6<η₂₀<0.7为特征幅值的极值点，且随|η₂－η₂₀|增大，其特征幅值随之减小.由图 6可见，随着η₂值增大，力传递系数为0.1曲线会往参数平面右移动，扩大了参数可选择平面空间.而当参振物料质量增加时，η₂随之增大，因此，当参振物料质量达到最大值时，η₂应该选择小于η₂₀，才能保证特征幅值随给料量增加而增大.

图 4(Figure 4)

Fig. 4

图 4 ny1ny2平面内力传递系数与特征幅值等值线 Fig. 4 Isolines of force transmission coefficients and characteristic amplitude in ny1ny2-plane

图 5(Figure 5)

Fig. 5

图 5 η2对特征幅值沿n2=1曲线变化的影响 Fig. 5 Effect of η2 on the characteristic amplitude along the curve n2=1

图 6(Figure 6)

Fig. 6

图 6 η2对λ=0.1曲线在ny1ny2平面分布的影响 Fig. 6 Effect of η2 on the distribution of curve λ=0.1 inny1ny2-plane

设振动系统空载时工作质体质量为m₁，振动系统给料质量为m_m，物料结合系数为k_m^[10],将参振物料系数记为σ_m，

考虑参振物料质量时，系统的无量纲参数为

据图 4，将空载工作点选择在λ=0.1和ab围成参数区域.当n_y1较大时，n₂=1等值线几乎垂直于n_y1轴线，所以将n₂=1等值线与n_y2=6直线交点对应的n_y1值定义为工作质体临界频率比，记为n_y10.若设n_y1E为系统空载时工作质体频率比，n_y1E应小于n_y10，定义临界频率比差为

由于工作质体的振幅为rr_mμ_y1，而r_m随物料系数σ_m增加而减小，因此，将特征幅值修正为

由上述分析可知，当Δ>0时，特征幅值可能会随参振物料系数增加而增大.设系统空载时特征幅值为μ_y10，而达到最大参振物料系数σ_m时其特征幅值为μ′_y1max，定义δ为特征幅值增幅度,简称增幅度.

图 7 a~7d分别为空载特征幅值、最大参振物料系数、增幅度、空载(虚线)和参振物料系数最大时(实线)的力传递系数等值线在Δ-η₂平面内分布，其中，图 7b和图 7c中最大参振物料系数小于0.1和增幅度小于5%的等值线没有给出.图 8给出了临界频率比n_y10随η₂的变化规律.依据图 7和图 8，可以确定振动系统的性能参数.如图 7中A点对应η₂=0.4，Δ=0.2；由图 8确定n_y10=1.28，n_y2=6，则由式(8)求得空载频率比n_y1E=1.48.由图 7查得空载特征幅值μ_y10=1.29 (图 7a)，最大参振物料系数σ_m=0.545(图 7b)，增幅度δ＝21%(图 7c)，空臷及参振物料最大时力的传递系数分别为0.012和0.052(图 7d虚线和实线).利用式(10)可计算得参振物料系数最大时的特征幅值μ′_y1max=1.56.由此可见，如果将图 7中的等值线设计得足够密集，则根据图 7和图 8可以进行此类振动系统动力学参数设计，既保证系统传给基础的动态力尽量小又能满足振动幅值要求，同时保证振幅随参振物料量的增加而增大，达到提高系统工作效率和节能效果.

图 7(Figure 7)

Fig. 7

图 7 系统参数的等值线在Δ-η2平面上的分布 Fig. 7 Isolines of system parameters in Δ-η2 plane(a)—空载特征幅值； (b)—最大参振物料系数; (c)—增幅度； (d)—力传递系数.

图 8(Figure 8)

Fig. 8

图 8 临界频率比随工作质体质量比的变化 Fig. 8 Variation of critical frequency ratio with the mass ratio

由图 7a可知，当η₂=0.645时，系统空载特征幅值最大值为2.67，而由图 8查得此时的临界频率比n_y10=1.69.在此将n_y2=6时(η₂,n_y1)对应空载工况点(0.645,1.69)定义为此类系统的特征幅值极值点.随系统空载动力学参数偏离特征幅值极值点，空载特征幅值减小.如图 7b和图 7c所示，在Δ-η₂参数平面内，最大参振物料系数及其对应增幅度的等值线近似为一组半葫芦外形曲线，内层值大，外层值小，且随临界频率比差增大，各等值线向η₂=0.1接近.由图 7c可知，质量比越大，最大参振物料系数和增幅度越小，而且当η₂>0.57时，系统特征幅值不随参振物料增加.比较图 7d中实线(有参振物料)与虚线(空载)分布可以看出，物料参振改变了力传递系数等值线的分布规律，而且随参振物料增加,力传递系数增大，但其最大值在图中所选参数区域内总是小于10%.

依据图 7和图 8，可按如下步骤确定系统的动力学参数指标.

1) 依据振动机的最大给料量m_m，确定工作质体质量m₁，并利用式(6)，计算σ_m.

2) 利用线性插值法，在图 7b中近似绘制最大参振物料系数为σ_m的等值线，依据其等值线选取系列点集，确定各点对应的坐标(Δ，η₂).

3) 对图 7a和图 7c等值线性插值，求得各点对应的μ_y10和δ值，并据式(10)求得μ′_y1max.

4) 可以以μ′_y1max最大为依据，也可以以δ最大为依据，或两者兼顾，确定工作点的η₂和Δ值.

5) 利用η₂值，依据图 8确定n_y10值，并利用式(8)计算空载n_y1E;利用工作频率ω_m，n_y1E和m₁，计算弹簧刚度k_y.

6) 依据工作振幅A=2rr_mμ′_max,确定偏心转子偏心距r和偏心块质量m₀₁=m₀₂=m₀.

7) 利用η计算隔振架质量，并利用n_y2=6计算弹簧刚度k_2y;利用n_x=4.0，n_ψ=4.0计算k_2x和k_ψ.

1) 通过理论分析，推导出了双质体振动系统响应的理论表达式，并提出了无量纲特征幅值、参振物料系数、临界频率比、临界频率比差和特征幅值增幅度的概念.

2) 在设计频率比平面内，双质体振动系统在主振方向的两个固有频率比等值线为近似四分之一椭圆.其中，固有频率比的等值线中心分别为(0,0)点和无穷远点.

3) 力传递系数和特征幅值在设计频率比平面上的3D图中各有两个脊峰.其值随等值线偏离该坐标轴方向而减小，隔振频率比越大，力传递系数越小.力传递系数与特征幅值的脊峰存在不重合的一个分支，为减小振动系统力传递系数、提高特征幅值提供了可行的参数设计空间.

4) 当工作质体质量比大于0.57时，特征幅值不会随参振物料增加而增大.工作质体质量比越小，实现低传递系数、高特征幅值及增幅度的参数设计空间越大.