2016, Vol. 37
2.鞍钢矿业公司 决策支持部, 辽宁 鞍山 114004;
3.中煤科工集团沈阳设计研究院有限公司 露天工程事业部, 辽宁 沈阳 110015
2.Resources Planning Management Department, Ansteel Mining Company, Anshan 114004, China;
3.Open-Pit Mine Engineering Business Unit, CCTEG Shenyang Engineering Company, Shenyang 110015, China
露天矿开采计划通常分为长期计划、中期计划、短期计划三个层次[1].长期计划确定矿山企业5~10年的长期战略目标，中期计划确定1~3年的营运发展计划，短期计划确定更详细的1周至数月的开采顺序.上层计划对下层计划起约束作用，下层计划确保上层计划的实现.
由于采矿进度计划时空发展的复杂性，目前国内外生产计划编制普遍采用人机交互的计算机辅助设计方法，即计算机图形显示矿岩分布和当前开采状态，计划员根据经验圈定开采区域，计算机自动计算圈定区域的矿岩量及品位，Surpac，Datamine，3Dmine，Dimine等国内外众多采矿设计软件均采用此方法.这种方法费时费力，通常只能做出生产计划中的几个关键位置，难以实现上下层计划的有效验证.以这种方法确定的上层计划中的相邻两个工程位置为起终点，采用数学优化算法快速有效地细化成多个时段的下层开采计划，是验证上层计划时空发展可行性的有效途径；也可通过优化快速形成多个时段的下层计划，为上层计划编制提供参考依据.
国内外对数学优化方法应用于采矿计划的研究比较广泛.文献[2]对采矿进度计划的解决办法进行了很好综述；文献[3]提出了应用动态规划模型求解短期计划的启发式方法；文献[4]提出了用于解决短期计划问题的混合整数规划模型；文献[5]将储矿堆与配矿堆结合，建立了一个混合整数规划模型；文献[6]提出了求解长期计划的4种混合整数规划模型并进行了对比；文献[7]建立了混合整数规划模型，并通过松弛变量分级求解；文献[8]论述了分支求解0-1整数规划的策略；文献[9-11]对开采区域规整性、文献[12-14]对减少线性规划中的整数约束进行了系统研究，增强了露天矿生产计划的现实可行性.这些文献或是对单一时段进行优化，或是对多时段进行分段优化，没有实现多时段的一次性整体优化.
1 前期工作基础及存在问题分析 1.1 露天矿时空发展要求露天矿分台阶、台阶分条带、条带分块段进行开采，其时空发展简化如图 1所示[15-16].从设计角度讲，其时空发展应满足以下约束条件：
1)块段发展顺序：同条带前一块段采完，后一块段才能开采.
2)条带发展顺序：同台阶前一条带采完，后一条带才能开采.
3)台阶发展超前性：为保证矿山空间发展，上下相邻台阶之间的距离不小于最小平盘宽度.
4)台阶发展滞后性：为保证经济效益，避免超前剥离过量，上下相邻台阶之间的距离不超过一定的宽度.
5)分时段产量、质量要求：各时段必须完成相应的产量和质量要求.
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图 1 露天矿时空发展顺序图 Fig.1 Spatial-temporal scheme for open-pit mine |
假设台阶从上到下顺序编号，条带按推进方向顺序编号，块段从条带的一端向另一端顺序编号.相关的参数及其符号如表 1所示.
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表 1 参数定义表 Table 1 Definition of parameters |
显然，要解决的问题就是根据1.1矿山时空发展要求，确定各(i, j, k)块在哪个时段t(t=1~T)开采.从表面看，如果用变量Xi, j, k表示(i, j, k)在哪个时段开采，这似乎是一个简单的整数规划问题.
据此，根据1.1时空关系的约束条件1)~4)，可以列出以下不等式：
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(1) |
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(2) |
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(3) |
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(4) |
但无法用Xi, j, k列出第(5)项对应的约束条件.为此，引入变量X(t)i, j, k，表示(i, j, k)是否在t时段开采，取值如下：
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(5) |
据此得产量约束方程：
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(6) |
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(7) |
同理还可得到质量约束、目标函数等.但用Lingo，Matlab，Eplex等多种软件均无法求解.经分析认为，这是由于变量X(t)i, j, k的引入，使模型由线性变为非线性引起的.
1.3 前期工作回顾及存在问题分析为解决整数规划无解的问题，已先后建立了两个模型.
最开始采用文献[15]分时段求解的0-1整数规划模型：先求出第一个时段的开采计划，再求出第二个时段的开采计划，直到求出最后一个时段的开采计划.其存在的主要问题：有时会发生前面时段有解、后面时段无解的情况，需要反复调整，既费时费力，求解结果又不唯一.
然后采用文献[16]渐进细化的0-1整数规划模型，对文献[15]的计算顺序进行改进：将前后顺序改为类似折叠的大小顺序，先求大时段，再求小时段，直到最小时段(类似由年到半年、由半年到季、由季到月)，并且折叠后只计算前一半，后一半认为自然有解(如年计划只计算上半年而不计算下半年)，不仅提高了计算速度，而且不存在无解的问题.
文献[16]虽然解决了文献[15]后时段无解的问题，但也埋下了后一半没有优化甚至无解的隐患.同时两个模型都是分段进行优化，没有实现各时段的整体优化.
2 整体优化模型的建立 2.1 总体思路前期工作的实践证明，应用目前软件采用非线性混合整数规划方法实现整体优化很困难，但由式(5)可以看出，即使决策变量采用整数，还是需要引入取值0或1的变量，体现出0-1变量解决此问题的方便性和有效性.既然文献[15-16]两个模型能够由0-1整数规划分时段求解，那么用0-1整数规划进行整体优化求解不失为一条有效的途径.
要进行0-1整体优化，必须将原来求(i, j, k)块在哪个时段t开采的问题，变为求(i, j, k)块在t时段是否开采的问题，即将原来求变量Xi, j, k=t的非线性整数规划问题，变为求Xi, j, k-t=0或1的0-1线性整数规划问题.因此需要对决策变量进行重新定义，进而列出模型.
2.2 变量和参数定义设决策变量Xi, j, k, t为0-1整数变量，表示(i, j, k)块在时段t(t=1~T)是否开采，开采等于1，不开采等于0(相当于式(5)中的X(t)i, j, k，但取消Xi, j, k定义).同时保持表 1的参数定义不变.
设此决策变量后，目标函数和产量、质量等约束与式(6)、式(7)类似，但式(1)~式(4)需作较大改变.
2.3 目标函数目标函数依矿山的具体条件不同而各异.以伊敏露天矿实现最下2个采煤台阶开采量最大、从而尽快倒出内排空间为例[15]，其目标函数为
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(8) |
1)块段发展顺序性约束：
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(9) |
其中τ表示时段.为实现从第一时段到时段τ的求和，又区别于t，所以加入τ，下同.
2)条带发展顺序性约束：
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(10) |
说明：因为式(9)已经约束了同一条带的前后块段开采顺序，所以式(10)只约束前条带的最后块段与后条带的第一块段，即可满足“前一条带采完，后一条带才能采”的限制条件，从而减少模型的复杂度，提高运算速度.下面式(11)、式(12)与此相同.
3)超前性约束：
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(11) |
4)滞后性约束：
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(12) |
5)产量约束：
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(13) |
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(14) |
6)质量约束：
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(15) |
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(16) |
7)重点工程约束：
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(17) |
式中：IQ1, IQ2为重点工程起止台阶号，τ1, τ2为重点工程起止时段，Kn1, Kn2为重点工程量下限、上限.
8)开采时段约束：
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(18) |
此约束为本模型较文献[15-16]新增加的约束条件，表示每个块段(i, j, k)能并且只能在一个时段开采，从而保证∑各时段下层计划≡上层计划.如果改为≤1，则表示块段(i, j, k)可不开采(=0)，∑各时段下层计划≤上层计划，即完成但未必全等于上层计划.=1和≤1都可用于对上层计划进行细化，实现用下层计划验证上层计划；而≤1还可用于先作出多个时段的下层计划，为有效编制上层计划提供重要参考依据.
3 模型对比与改进完善 3.1 模型对比文献[15]从前到后分时段求解，文献[16]从大到小分时段求解，本模型一次性求解各时段.
同文献[15-16]的模型相比，本文模型的决策变量增加了1个时段下标，使决策变量数成倍增加.以12 000块构成的年计划作出12个月的月计划为例，文献[15]要从前到后求解12次，变量数依次为12 000，11 000，…，1 000，总数78 000.文献[16]第一次计算12 000块，分成前8 000块和后4 000块，随后8 000，4 000，2 000各自计算1，3，6次，求解次数为11，变量总数44 000[16].本模型求解次数为1，变量总数144 000.
文献[15-16]模型对不同时段进行多次运算，实现分段优化但没实现整体优化，且存在无解的隐患；本模型一次计算求解全部时段，实现整体优化，经多次运行还没发现无解情况, 实现了线性规划与采矿计划整体优化的完美结合.三种模型具体对比见表 2.
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表 2 三种模型对比 Table 2 Comparison among three models |
本文模型存在的主要问题是由于增加了时间维度，导致变量数增加、运算速度慢，可通过减少时段、块段两种途径解决.
1)类似渐进细化的减少时段法：这种方法与文献[16]的渐进细化法的思路相同，但具体做法有较大差异.前者不限于两个时段(如可直接由年计划作季计划)，即使是制作两个时段也是两个时段同时优化；而后者必须分为两个时段，且只对前时段进行优化，对后时段既不求解，也不验证.
2)超级块方式的减少块段法：所谓“超级块”，就是对同一条带上的相邻块段进行组合.这种方法对三种模型都适用，但在本模型和文献[16]渐进细化法中更实用，因为大时段可以用大块、小时段用小块，并可逐级缩小，从而保证精度需要；而文献[15]前后时段法用大块则降低精度、用小块则达不到提速的目的.
显然，时段数较块段数对运算速度的影响更大，因此采用第一种方法更有效.同样以12 000块构成的年计划作出12个月计划为例，如果先作季计划，再作月计划，并且作季计划时采用2合1的超级块，则年计划分4个时段计算1次形成季计划、季计划分3个时段计算4次形成月计划.求解次数为5，第一次变量数为12 000/2×4=24 000，后4次变量数为3 000×3×4=36 000，变量总数为60 000，较一次性计算144 000减少很多，较文献[15]的78 000也少.如作季计划采用4合1的超级块，则变量总数为48 000，与文献[16]的44 000相差无几.
在文献[16]中程序的基础上，按本文模型进行了改进，并以4个时段为上限，结合超级块逐级进行整体优化，既实现整体优化，又保证运行速度和块段精度，达到了实用的目的.
4 结论1)建立的整体0-1整数线性规划模型可一次性求解各个时段的开采计划，并可实现整体最优.解决了分时段0-1整数规划模型要各个时段求解，分段达到优化、整体没有优化、且存在无解隐患的问题.
2)同分时段0-1整数规划相比，决策变量的下标增加了时段，造成决策变量成倍增加，计算速度显著降低，这是本模型存在的主要问题.
3)减少一次性计算的时段数，使用超级块减少块段数量，可有效提高计算速度，其中以减少时段数最佳.建议以4个时段为上限，结合超级块技术逐级进行整体优化，可达到事半功倍的效果.
4)本模型既可实现用下层验证上层计划，也可由下层计划推出上层计划，因此本模型的实用性更强.
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