多指标群决策是指由多个专家针对多个指标均给出评价信息，并通过将各专家的评价信息集结为群体评价信息，进而进行有限方案的排序或优选^[1]. 由于这类决策问题在诸多领域具有广泛的实际背景，所以有关多指标群决策方法的研究得到了许多学者的关注^{[2, 3, 4]}. 在早期的多指标群决策方法的研究中，大多要求专家使用精确数来表示其偏好信息或评价信息，但由于现实决策环境的复杂性与不确定性，专家们更多的是使用区间数和模糊数等来表示其偏好信息，并且针对定性指标，专家往往以语言信息形式给出其偏好信息. 例如，专家在对诸如汽车性能等定性指标进行评价时，一般会给出相应的语言评估信息(如：差、一般、好等形式). 因此，针对具有语言信息的多指标群决策方法的研究也越来越受到学术界的关注^{[5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]}. 需要指出的是，目前已有的多指标群决策方法大多假设指标之间是相互独立的，而在现实中一些指标之间往往是相互关联的；此外，文献[7]虽给出了直觉不确定语言变量的概念及其相关性质，并说明了直觉不确定语言变量在刻画不确定信息上的优势，但未进一步给出直觉不确定语言变量之间的距离计算公式. 本文则是针对已有研究存在的不足之处，着重研究指标之间存在关联且指标值为直觉不确定语言变量的多指标群决策问题，提出一种新的直觉不确定语言型多指标群决策方法，并给出该方法在项目风险应对策略选择方面的潜在应用.

设 S={s₀,s₁,…,s_l－1} 为一个有限离散语言标度集，其中 l 为奇数. 对于任意的离散语言标度集 S={s₀,s₁,…,s_l－1} ，其元素 s_i 关于下标 i 是严格单调递增的^[12]，故可定义函数 f:s_i=f(i) . 显然，函数 f(i) 关于i是严格单调递增的. 从而，离散语言标度集 S={s₀,s₁,…,s_l－1} 可被推广为一个连续语言标度集 ={s_α|α∈R}^[12].

依据文献[7, 8, 12]，给出如下定义与定理.

定义1 设=[s_a,s_b] ，其中 s_a,s_b∈且 a≤b ，s_a 和 s_b 分别为 的下限和上限，则称为一个不确定语言变量，并记全体不确定语言变量为.

定义2 设 X 为一给定的论域，[s_θ(x),s_τ(x)]∈，记 A={＜x[［s_θ(x),s_τ(x)],(u_A(x),v_A(x))］＞|x∈X} ，则 A 被称为一个直觉不确定语言集，并记全体直觉不确定语言集为IULS，其中 s_θ(x),s_τ(x)∈ S，u_A:X→[0, 1] 且 v_A:X→[0, 1] ，满足 0≤u_A(x)+v_A(x)≤1，x∈X . u_A(x) 与 v_A(x) 分别表示不确定语言变量 [s_θ(x),s_τ(x)] 的隶属度与非隶属度.

对于论域 X 上的任意直觉不确定语言集，若 π(x)=1－u_A(x)－v_A(x) ， x∈X ，则 π(x) 被称为不确定语言变量 [s_θ(x),s_τ(x)] 的不确定度. 显然，0≤ π(x)≤1 ，∀x∈X .

定义3 设 A={＜x[［s_θ(x),s_τ(x)],(u_A(x),v_A(x))］＞|x∈X} ∈IULS，四元组 ＜[s_θ(x),s_τ(x)],(u_A(x),v_A(x))＞ 则被称为一个直觉不确定语言变量.

此外，π(x)=1－u_A(x)－v_A(x) 表示直觉不确定语言变量的一种不确定程度，因此其被称为直觉不确定语言模糊度.

若任意给定两个直觉不确定语言变量为 ₁=＜[s_θ(a1),s_τ(a1)],(u(a₁),v(a₁))＞ 和 ₂=＜[s_θ(a2),s_τ(a2)],(u(a₂),v(a₂))＞ ，且 λ≥0 ，则

定理1 设ã₁=＜[s_θ(a1),s_τ(a1)],(u_A(a₁),v_A(a₁))＞ã和 ₂=＜[s_θ(a2),s_τ(a2)],(u_A(a₂),v_A(a₂))＞ 为两个直觉不确定语言变量，则

定义4 设ã_i=＜[s_θ(ai),s_τ(ai)],(u_A(a_i),v_A(a_i))＞(i=1,2,…,n )为一组直觉不确定语言变量，且IULWGA: ωⁿ→ω ，即

则称IULWGA为直觉不确定语言加权几何平均算子. 其中，ω 为全体直觉不确定语言变量集，ω=(ω₁,ω₂,…,ω_n)^T为权重向量，满足 ω_j∈[0, 1]，.

定理2 设ã_i=＜[s_θ(ai),s_τ(ai)],(u_A(a_i),v_A(a_i))＞(i=1,2,…,n )为一组直觉不确定语言变量，则通过IULWGA集结后的结果IULWGA _ω(ã₁,ã₂,…,ã_n) 仍为一个直觉不确定语言变量，且有

其中ω=[ω₁,ω₂,…,ω_n] ^T是权重向量，满足 ω_j∈[0, 1]，.

下面针对直觉不确定语言变量之间的距离进行讨论.

定义5 设ã₁=＜[s_θ(a1),s_τ(a1)],(u_A(a₁),v_A(a₁))＞ 和ã₂=＜[s_θ(a2),s_τ(a2)],(u_A(a₂),v_A(a₂))＞ 为两个直觉不确定语言变量，则ã₁ 与ã₂ 之间的距离定义为

其中.

由定义5可以看出，式(3)不仅考虑了两个直觉不确定语言变量各自所对应的不确定语言变量的取值，而且考虑了各自不确定语言变量所对应的隶属度与非隶属度的取值. 同时，不难推出 D(·,·) 满足如下性质.

性质1 任意给定直觉不确定语言变ã₁=＜[s_θ(a1),s_τ(a1)],(u(a₁),v(a₁))＞，ã₂=＜[s_θ(a2),s_τ(a2)],(u(a₂),v(a₂))＞和ã₃=＜[s_θ(a3),s_τ(a3)],(u(a₃),v(a₃))＞ ，则

1) D(ã₁,ã₂)≥0，D(ã₁,ã₂)=0当且仅当γ(a₁)(θ(a₁)+τ (a₁))=γ(a₂)(θ(a₂)+τ(a₂)) ；

2) D(₁,₂)=D(₂,₁) ；

3) D(ã₁,ã₂)+D(ã₂,ã₃)≥D(ã₁,ã₃) .

为便于分析，记 M={1,2,…,m}，N={1,2,…,n}，K={1,2,…,k}.A={a₁,a₂,…,a_m}为m 个备选方案的集合，其中 a_i 为第i个备选方案，i∈M ； D={D₁,D₂,…,D_k} 为参与群决策的 k 个专家的集合，其中 D_t 为第 t 个专家， t∈K ； C={C₁,C₂,…,C_n} 为 n 个指标的集合，其中 C_j 为第 j 个指标，且指标之间是相互关联的，j∈N .不失一般性，这里假定各指标均为效益型指标； R={R₁,R₂,…,R_k }为专家针对指标集所给出的直接关系矩阵集，其中R_t=[r^T_ij]_n×n 为专家 D_t 针对指标集 C 所给出的直接关系矩阵，t∈K ；w= [w₁,w₂,…,w_k] ^T为专家的权重向量，其中 w_t 为专家 D_t 的权重，且满足 w_t≥0，； ω =[ω ₁,ω ₂,…,ω _n]^T为决策者给出的“主观”指标权重向量，其中ω _j 为决策者针对指标 C_j 所给出的权重，且满足ω _j≥0，； S={s₀,s₁,…,s_l－1} 为给定的离散语言标度集，S ={s_α|α∈[0,…,l－1]} 为由离散语言标度集 S 推广得到的连续语言标度集，其中 l 为奇数；P_t =[]_m×n 为专家 D_t 的决策矩阵，其中为专家 D_t 给出的方案 a_i 针对指标 C_j 的评价值，且=＜[s_{θ(),sτ()],(u(),v())＞ 为直觉不确定语言变量，i∈M ， j∈N，t∈K .}

依据专家针对指标集所给出的直接关系矩阵集 R 和专家权重向量w，首先运用DEMATEL方法^[13]确定“客观”指标权重向量ω，然后将其与“主观”指标权重向量进行融合，进而得到综合指标权重向量 ω. 确定综合指标权重的具体计算过程如下.

1) 依据 R={R₁,R₂,…,R_k }和w =[w₁,w₂,…,w k]^T，得到群体直接关系矩阵，即

2) 将R=[R_ij]_n×n 规范化为

3) 依据Z=[z_ij]_n×n，得到总体关系矩阵，即

4) 依据Z=[z_ij]_n×n ，分别计算行和矩阵O=[ z_i]_n×1 与列和矩阵S= [z”_j]_1×n ，即

进一步地，依据式(7)和式(8)，计算得到中心度矩阵Q=O^T+S= [z′_j+z″_j]_1×n .

5) 依据Q= [z′_j+z″_j]_1×n ，计算“客观”指标权重向量ω= [ω₁,ω₂,…,ω_n] ^T，其中 ω_j 的计算公式为

6) 将ω= [ω₁,ω₂,…,ω_n] ^T与 1 =[ω ₁,ω ₂,…,ω_n] ^T进行融合，得到综合指标权重向量1= [ω₁,ω₂,…,ω_n] ^T，其中 ω_j 的计算公式为

依据式(1)和w= [w₁,w₂,…,w_k] ^T，得到群体决策矩阵P= [_ij]_m×n ，其中 [_ij 的计算公式为

依据式(2)，式(11)可进一步表示为

进一步地，构建正理想点向量I⁺= [I⁺₁,I⁺₂,…,I⁺_n] ^T和负理想点向量I^－= [I^－₁,I^－₂,…,I^－_n] ^T，其中 I⁺_j 和 I^－_j 的计算公式分别为

依据式(3)，计算各方案针对指标 C_j 的评价值与正理想点 I_j⁺ 的距离 D⁺(_ij,I_j⁺) 和负理想点 I^－_j 的距离 D^－(_ij,I^－_j) ，即

依据ω= [ω₁,ω₂,…,ω_n]^T，分别计算各方案与正理想点向量I⁺的加权距离 d⁺_i 和各方案与负理想点向量I^－的加权距离 d^－_i ，即

最后，计算各方案的相似系数，即

显然，CC _i 愈大，方案 a_i 愈优. 因此，依据CC _i 的大小，可对所有备选方案进行排序或优选.

综上所述，考虑指标关联的直觉不确定语言型多指标群决策方法的计算步骤如下.

① 据式(4)~式(10)、专家给出的关于指标集的直接关系矩阵集R、专家权重向量w和决策者给出的“主观”指标权重向量，确定综合指标权重向量ω.

② 依据式(11)、式(12)和专家权重向量w，得到群体决策矩阵P.

③ 依据式(13)和式(14)，构建正理想点向量I⁺和负理想点向量I^－.

④ 依据式(15)~式(18)和综合指标权重向量ω，分别计算各方案与正理想点向量I⁺的加权距离 d⁺_i 及各方案与负理想点向量I^－的加权距离 d^－_i .

⑤ 依据式(19)，计算各方案的相似系数CC _i ，并依据CC _i 的大小对所有备选方案进行排序或选择最优方案.

为说明上文给出决策方法的可行性及其潜在应用，下面考虑一个项目风险应对策略选择问题. DR公司计划实施一个信息系统项目. 经分析，该信息系统项目在研发过程中主要面临4种风险(指标)，即研发过程中的管理有效性( C₁ )、现实用户的参与程度( C₂ )、现实需求分析的充分性( C₃ )和现实用户的期望预期满意程度( C₄ )，且这4项风险之间存在关联性. 该公司项目管理小组针对这4种风险提出了5个备选的项目风险应对策略( a₁ ,a₂ ,a₃ ,a₄ ,a₅ ). 同时，该公司聘请了两名资深的项目风险管理专家( D₁ ,D₂ )分别对4个指标的关联性及5个备选的项目风险应对策略进行评价，其中，采用的指标关联标度评价集为 E= {0 (没有影响),1 (影响极小),2 (稍微有影响),3(有影响),4(影响很大)}，针对4个指标( C₁ , C₂ , C₃ , C₄ )的评价值均为直觉不确定语言变量的形式，且已知语言标度集为 S=(s₀,s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆)= (非常差,差,较差,一般,较好,好,非常好). 假设该公司的项目管理小组针对4个指标给出的“主观”指标权重向量为=[0.25,0.25,0.25,0.25]^T，项目风险管理专家( D₁ ,D₂ )的权重向量为w=[0.4,0.6]^T，且两位项目风险管理专家针对4个指标给出的直接关系矩阵集为 R={R₁,R₂}，其中，R₁和R₂分别表示专家 D₁ 和专家 D₂ 针对4个指标给出的直接关系矩阵，即

两位项目风险管理专家给出的决策矩阵分别为P₁和P₂，即

为选择适合的信息系统项目风险应对策略，下面简要说明采用上文给出方法的计算过程.

首先，确定综合指标权重向量ω，且ω的具体计算过程如下.

1) 依据式(4)，计算得到群体直接关系矩阵R =[R_ij]_n×n ，并依据式(5)，得到规范化群体直接关系矩阵Z= [z_ij]_n×n ，即

2) 依据式(6)，计算得到总体关系矩阵Z= [z_ij]_n×n ，即

3) 依据式(7)和式(8)，计算得到行和矩阵与列和矩阵，进而计算得到中心度矩阵为Q=O^T+S=[6.90 4.05 6.18 6.27].

4) 依据式(9)，计算得到“客观”指标权重向量为ω=[0.30,0.17,0.26,0.27]^T，并依据式(10)，计算得到综合指标权重向量为ω=[0.30,0.17,0.26,0.27]^T.

然后，依据式(11)、式(12)和专家权重向量w=[0.4,0.6]^T，得到群体决策矩阵P:

依据式(13)和式(14)，分别构建正理想点向量和负理想点向量，即I⁺ =[I₁⁺,I₂⁺,I₃⁺,I₄⁺] ^T和I^－=[I₁^－,I₂^－,I₃^-,I₄^－] ^T，其中，I_j⁺=＜[s₆,s₆],(1,0)＞，I_j^－=＜[s₀,s₀],(1,0)＞，j∈{1,2,3,4} .

进一步地，依据式(15)~式(18)和综合指标权重向量ω=[0.30,0.17,0.26,0.27]^T，计算得到各备选项目风险应对策略与正理想点向量I⁺的加权距离 d⁺_i ，即 d⁺₁=8.11，d⁺₂=9.24，d⁺₃=6.84，d⁺₄=7.56，d⁺₅=7.68 ；同时，计算得到各备选项目风险应对策略与负理想点向量I^－的加权距离 d_i^－ ，即 d^－₁=3.89，d₂^－=2.76，d₃^－=5.16，d₄^－=4.44，d^－₅=4.32 .

最后，依据式(19)，计算各备选项目风险应对策略的相似系数CC _i ，即CC₁=0.32，CC₂=0.23，CC₃=0.43，CC₄=0.37，CC₅=0.36. 显然有CC₃>CC₄>CC₅>CC₁>CC₂，故备选项目风险应对策略的排序结果为 A₃＞A₄＞A₅＞A₁＞A₂ ，即 A₃ 是适合的项目风险应对策略.

本文给出了考虑指标关联且指标值为直觉不确定语言变量的多指标群决策方法，并进一步给出了该方法在选择项目风险应对策略上的潜在应用. 与已有方法不同的是，本文给出的方法着重考虑了直觉不确定语言型多指标群决策问题中指标之间存在关联的情形. 本文方法具有可操作性和实用价值，可应用于解决许多领域的多指标群决策问题.