齿轮传动是机械传动中最重要的传动之一，齿轮的承载能力、使用寿命和啮合质量尤其受到人们的关注.实践证明，齿轮修形可以有效地改善啮合性能，减小动载荷和提高承载能力，控制噪声^[1].一些专家学者采用力学强度分析、有限元分析技术和定量数值计算等方法分析相应的齿向修形和齿廓修形，使得齿轮的修形形式和方法有了较为深入的研究^{[2, 3, 4, 5]}.但是确定修形量的研究还有很大不足，其值的选择很大程度上都是根据经验选择确定.随着工业生产与科技的发展，以及人们对可靠性理论与技术研究的重视，从传统的可靠性(优化)设计^{[6, 7]}，到引入灵敏度的可靠性灵敏度设计^{[8, 9]} ，再到基于前两者之上的可靠性稳健设计^{[10, 11]} ，可以看出可靠性设计理论逐渐地完善，而且在不少的设计实践中也取得了显著效益.而齿面修形是目前提高齿轮副啮合性能的主要措施.本文融合两者，将这一系统的可靠性设计理论应用于齿轮轮齿修形量的确定中，根据国家标准GB/T3480—1997《渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法》，并应用基于高阶矩技术上的可靠性灵敏度分析方法，提出了确定齿轮轮齿最佳修形量的优化设计方法.选择齿顶修形量、修形高度为设计变量，以及目标可靠度、可靠性敏感度纳入可靠性优化设计模型之中，为确定齿轮轮齿最佳修形量提供了一种实用有效的计算方法.

根据可靠性摄动理论^[7]，当求得功能函数的前四阶矩时，齿轮基本随机参数的前两阶矩已知的情况下，可靠性指标定义为

当齿轮基本随机参数为正态分布参数时，得可靠度的估计值为

齿轮的随机参数前四阶矩已知情况下，可靠性指标为

齿轮的可靠度对基本随机参数求偏导数，得到可靠度对各随机变量的均值灵敏度为

其中：

根据以上各公式可计算X的均值灵敏度：dR/dX^T.分析设计参数的改变对齿轮可靠性的影响，依据各设计参数对产品失效影响的不同程度来进行控制再设计，从而提高产品的可靠性.

修缘齿轮的可靠性稳健设计问题的数学模型表示如下^[10]：

这里，取两个分目标函数：一个目标是f₁(X)为修缘齿轮的设计参数向量X=(x₁ x₂ … x_n)^T均值灵敏度的平方和并且再开方；目标函数f₂(X)表示修缘齿轮的质量，即f₂(X)=ρV.

不同齿轮存在不同的修形形式，并且修形的计算方法与修形量的选用至今没有统一的计算标准与方法.又由于齿轮修形本身就是一个复杂的涉及多个参量的设计，综合起来考虑非常的繁杂，本文为简化计算量，仅针对齿顶修缘问题中齿顶修形量和修形高度为设计变量进行定量的研究.

1) 修形量ΔS_α.根据齿轮传动过程中主、从动轮齿弹性变量确定修形量，即按齿轮副传递的转矩或功率确定作用在单位齿宽上的载荷，而后计算齿顶修形量的最小和最大值，并取其中间值作为修形量^[1].

主动轮(单位mm)：

从动轮(单位mm)：

所以，主、从动轮齿顶修行量分别为

所以由式(12)和式(14)可得主动轮情况：

2)修形高度Δh.修形高度的选取不统一，这里采用文献[1]给出的经验公式，所以公式变换得

齿轮的计算接触应力为

把式(15)和式(16)代入式(17)中，齿轮的计算接触应力变为

齿面的许用接触应力为

根据应力和强度相互关系，以应力极限状态表示的功能函数为

齿轮的计算弯曲应力为

把式(15)和式(16)代入式(21)，则

齿轮的许用齿根应力为

根据应力和强度关系，这里定义功能函数为

某种机器的齿轮，各参量的均值根据工作要求按国标规定的方法计算或查线图可以得到，标准差和三四阶矩值按文献[9]给出的估算原则可以得到，数值如表 1所示.

表 1

Table 1

表 1(Table 1)

表 1 各参量的数值表 Table 1 Value table for each parameter 参量符号 均值 标准差 三阶矩 四阶矩 ZNT 1.0 0.033 4.953 6×10-5 3.439 2×10-6 ZR 1.03 0.033 99 5.412 9×10-5 3.870 9×10-6 ZL 0.92 0.030 36 3.857 3×10-5 2.463 9×10-6 ZV 1.04 0.034 32 5.572 1×10-5 4.023 4×10-6 ZH 2.32 0.011 16 2.151 6×10-6 5.250 9×10-8 ZW 1.0 0.033 4.953 6×10-5 3.439 2×10-6 ZE 189(N/mm2)1/2 9.49 (N/mm2)1/2 1.178 1×103 (N/mm2)3/2 2.352 2×104(N/mm2)2 Zε 0.81 0.004 05 9.156 8×10-8 7.802 3×10-10 Zβ 0.957 0.004 785 1.510 2×10-7 1.520 3×10-9 KV 1.484 0.161 3 5.784 7×10-3 1.963 1×10-3 KA 1.0 0.033 4.953 6×10-5 3.439 3×10-6 KHα 1.16 0.038 28 7.732 0×10-5 6.227 1×10-6 KHβ 1.68 0.055 44 2.040 4×10-4 2.270 9×10-5 YNT 1.0 0.033 4.953 6×10-5 3.439 2×10-6 YST 2.1 0.069 3 4.587 5×104 6.688 6×105 Yδre1T1 0.99 0.032 67 4.806 5×10-5 3.303 7×10-6 Yδre1T2 1.01 0.033 33 5.103 7×10-5 3.578 9×10-6 YRre1T1= YRre1T2 1.065 0.035 145 5.983 7×10-5 4.424 4×10-6 YFα1 2.36 0.077 88 6.511 1×10-4 5.212 2×10-13 YFα2 2.14 0.070 62 4.854 7 ×10-4 7.212 9×10-15 YSα1 1.75 0.057 75 2.654 81×10-4 1.440 6×10-14 YSα2 1.94 0.064 02 3.616 79×10-4 4.962 5×10-14 Yε 0.715 0.003 575 6.298 1×10-8 4.737 0×10-10 Yβ 0.8 0.004 0 8.821 8×10-8 7.424 0×10-10 KFβ 1.603 0.052 899 2.040 4×10-4 2.270 9×10-5 KFα 1.16 0.038 28 7.732 0×10-5 6.227 1×10-6 Ft 34 644 519.66 1.934 3×108 6.114 9×1011 σFlim 310 62 0 4.432 9×107 σHlim 1 300 156 0 1.776 7×109 ZX 1.0 0.033 0 3.557 8×10-6 YX1=YX2 1.0 0.033 0 3.557 8×10-6 b 200 1.0 0 3.0 mn 4 0.02 0 4.8×10-7 d1 148.75 0.743 75 0 0.918 0 Δ1 0.016 8×10-5 0 1.228 8×10-12 Δh 1.333 3 6.666 5×10-5 0 5.925 3×10-9

表 1 各参量的数值表 Table 1 Value table for each parameter

设所要求的可靠度R₀=0.996 1 ,用可靠性稳健设计方法设计此齿轮的修形量、修形高度.

1) 建立目标函数：①要求齿轮的可靠度对设计变量X=[x₁ x₂]^T (x₁代表修形量Δ₁，x₂代表修形高度Δh)均值的灵敏度平方和再开方的值为最小f₁(x)；②要求齿轮的质量最小，易知，转变为体积V最小即可，这里使用简化计算f₂(x)=(π/4)×(1 + u²)m_n²·z₁²·b来表示齿轮体积.然后将式(15)和式(16)代入到f₂(x)中，f₁和f₂两者表达式分别为

2) 建立约束条件：约束条件为

3) 应用计算机程序优化求解：选取初值x₁=0.016 mm,x₂=1.333 3 mm,按照齿面接触强度计算求得小齿轮的修形量Δ₁=0.013 12 mm，修形高度Δh=0.889 9 mm.此时f有最小值为f=3.914 112 179(优化前f=5.321 416 986)，数值明显减小，得到此齿轮的可靠度指标、可靠度和可靠性灵敏度(见表 2优化前后).其中，R_MCS是使用Monte Carlo 数值技术模拟的可靠度，模拟过程中取样本数量10⁵；R_FM是采用四阶矩方法计算的可靠度(从动轮的求解方法相同略).

表 2

Table 2

表 2(Table 2)

表 2 按照齿面接触强度稳健优化前后对比 Table 2 Contrast on robust optimization based on tooth surface contact strength 名称 优化前 优化后 βSM 2.945 5 3.164 4 βFM 3.515 9 3.827 3 RMCS 0.999 4 0.999 7 RFM 0.999 7 0.999 9 dRFM/dσHlim 6.014×10-6 1.963×10-6 dRFM/dZNT 7.819×10-3 2.552×10-3 dRFM/dZR 7.591×10-3 2.478×10-3 dRFM/dZV 7.518×10-3 2.454×10-3 dRFM/dZL 8.499×10-3 2.774×10-3 dRFM/dZW 7.819×10-3 2.552×10-3 dRFM/dZX 7.819×10-3 2.552×10-3 dRFM/dZH -1.871×10-3 -5.768×10-4 dRFM/dZE -2.287×10-5 -7.050×10-6 dRFM/dZε -5.360×10-3 -1.652×10-3 dRFM/dZβ -4.537×10-3 -1.398×10-3 dRFM/dΔ1 -3.053×10-1 -1.582×10-1 dRFM/dΔh 1.628×10-3 7.518×10-4 dRFM/dKA -2.171×10-3 -6.690×10-4 dRFM/dKV -1.463×10-3 -4.508×10-4 dRFM/dKHβ -1.292×10-3 -3.982×10-4 dRFM/dKHα -1.871×10-3 -5.768×10-4

表 2 按照齿面接触强度稳健优化前后对比 Table 2 Contrast on robust optimization based on tooth surface contact strength

选取同样的初值，按照齿根弯曲疲劳强度计算求得小齿轮的修形量Δ₁=0.013 12 mm，修形高度Δh=1.195 2 mm，此时f有最小值为f=0.393 104 461(优化前f=3.074 690 009)，数值明显减小.得到此齿轮的可靠度指标、可靠度和可靠性灵敏度(见表 3优化前后).

表 3

Table 3

表 3(Table 3)

表 3 按照齿根弯曲疲劳强度稳健优化前后对比 Table 3 Contrast on robust optimization based on tooth root bending fatigue strength 名称 优化前 优化后 βSM 1.745 8 2.423 3 βFM 1.749 0 2.444 2 RMCS 0.987 7 0.987 6 RFM 0.959 9 0.992 7 dRFM/dσFlim 1.273×10-3 3.063×10-4 dRFM/dYST 1.880×10-1 4.522×10-2 dRFM/dYNT 3.947×10-1 9.496×10-2 dRFM/dYδrelT1 3.987×10-1 9.592×10-2 dRFM/dYRrelT1 3.706×10-1 8.916×10-2 dRFM/dYX 3.947×10-1 9.496×10-2 dRFM/dYFα -6.952×10-2 -1.110×10-2 dRFM/dYSα -9.376×10-2 -1.497×10-2 dRFM/dYε -2.295×10-1 -3.664×10-2 dRFM/dYβ -2.051×10-1 -3.274×10-2 dRFM/dΔ1 -23.076 86 -6.912 66 dRFM/dΔh 1.231×10-1 2.192×10-2 dRFM/dKA -1.641×10-1 -2.619×10-2 dRFM/dKV -1.106×10-1 -1.765×10-2 dRFM/dKFβ -1.024×10-1 -1.634×10-2 dRFM/dKFα -1.414×10-1 -2.258×10-2

表 3 按照齿根弯曲疲劳强度稳健优化前后对比 Table 3 Contrast on robust optimization based on tooth root bending fatigue strength

从计算结果比较可以看出，无论是依据齿面接触强度可靠性稳健设计，还是通过齿根弯曲疲劳强度可靠性稳健设计获得的修形量大小与修形高度，均可以使齿轮的可靠性指标和可靠度增大，使设计参数的灵敏度的数量值明显变小，说明优化的设计参数不仅提高了齿轮的安全性，而且使得齿轮稳健性得到增强.

本文从渐开线圆柱齿轮的可靠性稳健设计角度出发对任意分布参数的齿轮修形量进行定量分析，所研究的方法解决了齿轮轮齿部分修形量的确定问题.不仅能得到最佳的修形量，而且能降低制造成本，提高承载能力，改善齿轮啮合性能，增强齿轮的可靠性和传动稳健性.数值计算结果可为工程设计人员定量和精确设计齿轮修形量提供设计依据，为齿轮的安全稳定设计、制造、使用和评价提供技术支持.但齿轮修形设计存在多种形式，本文介绍的基于可靠性稳健设计方法进行齿轮轮齿最佳修形量的确定方法，暂且只能解决部分低速齿轮齿向修形形式的修形量问题，而对于高速齿轮齿形修形和齿向修形问题的解决还需进一步的展开研究.